Theorem pcoval 25181

Description: The concatenation of two paths. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcoval.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoval.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))

Assertion

Ref	Expression
pcoval	⊢ (𝜑 → (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥   𝑥,𝐽

Proof of Theorem pcoval

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcoval.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
2		pcoval.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
3		fveq1 6880	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘(2 · 𝑥)) = (𝐹‘(2 · 𝑥)))
4	3	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (𝑓‘(2 · 𝑥)) = (𝐹‘(2 · 𝑥)))
5		fveq1 6880	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑔‘((2 · 𝑥) − 1)) = (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))
6	5	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (𝑔‘((2 · 𝑥) − 1)) = (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))
7	4, 6	ifeq12d 4508	. . . 4 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝑓‘(2 · 𝑥)), (𝑔‘((2 · 𝑥) − 1))) = if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))
8	7	mpteq2dv 5204	. . 3 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝑓‘(2 · 𝑥)), (𝑔‘((2 · 𝑥) − 1)))) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))))
9		pcofval 25180	. . 3 ⊢ (*𝑝‘𝐽) = (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽), 𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ↦ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝑓‘(2 · 𝑥)), (𝑔‘((2 · 𝑥) − 1)))))
10		ovex 7445	. . . 4 ⊢ (0[,]1) ∈ V
11	10	mptex 7221	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))) ∈ V
12	8, 9, 11	ovmpoa 7567	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽)) → (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))))
13	1, 2, 12	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ifcif 4486   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5191  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  0cc0 11106  1c1 11107   · cmul 11111   ≤ cle 11250   − cmin 11447   / cdiv 11877  2c2 12301  [,]cicc 13381   Cn ccn 23392  IIcii 25045  *_𝑝cpco 25170

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-map 8824  df-top 23062  df-topon 23079  df-cn 23395  df-pco 25175

This theorem is used by:  pcovalg  25182  pco1  25185  pcocn  25187  copco  25188  pcopt  25192  pcopt2  25193  pcoass  25194