Theorem pcoval 24080

Description: The concatenation of two paths. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcoval.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoval.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))

Assertion

Ref	Expression
pcoval	⊢ (𝜑 → (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥   𝑥,𝐽

Proof of Theorem pcoval

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcoval.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
2		pcoval.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
3		fveq1 6755	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘(2 · 𝑥)) = (𝐹‘(2 · 𝑥)))
4	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (𝑓‘(2 · 𝑥)) = (𝐹‘(2 · 𝑥)))
5		fveq1 6755	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑔‘((2 · 𝑥) − 1)) = (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))
6	5	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (𝑔‘((2 · 𝑥) − 1)) = (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))
7	4, 6	ifeq12d 4477	. . . 4 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝑓‘(2 · 𝑥)), (𝑔‘((2 · 𝑥) − 1))) = if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))
8	7	mpteq2dv 5172	. . 3 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝑓‘(2 · 𝑥)), (𝑔‘((2 · 𝑥) − 1)))) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))))
9		pcofval 24079	. . 3 ⊢ (*𝑝‘𝐽) = (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽), 𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ↦ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝑓‘(2 · 𝑥)), (𝑔‘((2 · 𝑥) − 1)))))
10		ovex 7288	. . . 4 ⊢ (0[,]1) ∈ V
11	10	mptex 7081	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))) ∈ V
12	8, 9, 11	ovmpoa 7406	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽)) → (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))))
13	1, 2, 12	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ifcif 4456   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  0cc0 10802  1c1 10803   · cmul 10807   ≤ cle 10941   − cmin 11135   / cdiv 11562  2c2 11958  [,]cicc 13011   Cn ccn 22283  IIcii 23944  *_𝑝cpco 24069

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-map 8575  df-top 21951  df-topon 21968  df-cn 22286  df-pco 24074

This theorem is referenced by:  pcovalg  24081  pco1  24084  pcocn  24086  copco  24087  pcopt  24091  pcopt2  24092  pcoass  24093