Theorem pcoval 24938

Description: The concatenation of two paths. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcoval.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoval.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))

Assertion

Ref	Expression
pcoval	⊢ (𝜑 → (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥   𝑥,𝐽

Proof of Theorem pcoval

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcoval.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
2		pcoval.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
3		fveq1 6821	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘(2 · 𝑥)) = (𝐹‘(2 · 𝑥)))
4	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (𝑓‘(2 · 𝑥)) = (𝐹‘(2 · 𝑥)))
5		fveq1 6821	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑔‘((2 · 𝑥) − 1)) = (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))
6	5	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (𝑔‘((2 · 𝑥) − 1)) = (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))
7	4, 6	ifeq12d 4494	. . . 4 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝑓‘(2 · 𝑥)), (𝑔‘((2 · 𝑥) − 1))) = if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))
8	7	mpteq2dv 5183	. . 3 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝑓‘(2 · 𝑥)), (𝑔‘((2 · 𝑥) − 1)))) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))))
9		pcofval 24937	. . 3 ⊢ (*𝑝‘𝐽) = (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽), 𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ↦ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝑓‘(2 · 𝑥)), (𝑔‘((2 · 𝑥) − 1)))))
10		ovex 7379	. . . 4 ⊢ (0[,]1) ∈ V
11	10	mptex 7157	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))) ∈ V
12	8, 9, 11	ovmpoa 7501	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽)) → (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))))
13	1, 2, 12	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ifcif 4472   class class class wbr 5089   ↦ cmpt 5170  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  0cc0 11006  1c1 11007   · cmul 11011   ≤ cle 11147   − cmin 11344   / cdiv 11774  2c2 12180  [,]cicc 13248   Cn ccn 23139  IIcii 24795  *_𝑝cpco 24927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-map 8752  df-top 22809  df-topon 22826  df-cn 23142  df-pco 24932

This theorem is referenced by:  pcovalg  24939  pco1  24942  pcocn  24944  copco  24945  pcopt  24949  pcopt2  24950  pcoass  24951