Theorem pcoval2 25245

Description: Evaluate the concatenation of two paths on the second half. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcoval.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoval.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoval2.4	⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))

Assertion

Ref	Expression
pcoval2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘𝑋) = (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1)))

Proof of Theorem pcoval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11235	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		1re 11233	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		halfge0 12485	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ (1 / 2)
4		1le1 11867	. . . . 5 ⊢ 1 ≤ 1
5		iccss 13468	. . . . 5 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 / 2) ∧ 1 ≤ 1)) → ((1 / 2)[,]1) ⊆ (0[,]1))
6	1, 2, 3, 4, 5	mp4an 706	. . . 4 ⊢ ((1 / 2)[,]1) ⊆ (0[,]1)
7	6	sseli 3927	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) → 𝑋 ∈ (0[,]1))
8		pcoval.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
9		pcoval.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
10	8, 9	pcovalg 25241	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘𝑋) = if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))))
11	7, 10	sylan2 605	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘𝑋) = if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))))
12		pcoval2.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))
13	12	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))
14		simprr 785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → 𝑋 ≤ (1 / 2))
15		halfre 12482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
16	15, 2	elicc2i 13466	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))
17	16	simp2bi 1164	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) → (1 / 2) ≤ 𝑋)
18	17	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → (1 / 2) ≤ 𝑋)
19	16	simp1bi 1163	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) → 𝑋 ∈ ℝ)
20	19	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → 𝑋 ∈ ℝ)
21		letri3 11320	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (𝑋 = (1 / 2) ↔ (𝑋 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) ≤ 𝑋)))
22	20, 15, 21	sylancl 598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → (𝑋 = (1 / 2) ↔ (𝑋 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) ≤ 𝑋)))
23	14, 18, 22	mpbir2and 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → 𝑋 = (1 / 2))
24	23	oveq2d 7430	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → (2 · 𝑋) = (2 · (1 / 2)))
25		2thalfe1 12373	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · (1 / 2)) = 1
26	24, 25	eqtrdi 2811	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → (2 · 𝑋) = 1)
27	26	fveq2d 6883	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → (𝐹‘(2 · 𝑋)) = (𝐹‘1))
28	26	oveq1d 7429	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → ((2 · 𝑋) − 1) = (1 − 1))
29		1m1e0 12338	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 − 1) = 0
30	28, 29	eqtrdi 2811	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → ((2 · 𝑋) − 1) = 0)
31	30	fveq2d 6883	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1)) = (𝐺‘0))
32	13, 27, 31	3eqtr4d 2805	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → (𝐹‘(2 · 𝑋)) = (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1)))
33	32	ifeq1d 4502	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))) = if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))))
34		ifid 4523	. . . . 5 ⊢ if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))) = (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))
35	33, 34	eqtrdi 2811	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))) = (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1)))
36	35	expr 462	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → (𝑋 ≤ (1 / 2) → if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))) = (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))))
37		iffalse 4491	. . 3 ⊢ (¬ 𝑋 ≤ (1 / 2) → if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))) = (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1)))
38	36, 37	pm2.61d1 182	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))) = (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1)))
39	11, 38	eqtrd 2795	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘𝑋) = (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ifcif 4482   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℝcr 11124  0cc0 11125  1c1 11126   · cmul 11130   ≤ cle 11269   − cmin 11466   / cdiv 11896  2c2 12320  [,]cicc 13402   Cn ccn 23450  IIcii 25104  *_𝑝cpco 25229

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-map 8829  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-icc 13406  df-top 23120  df-topon 23137  df-cn 23453  df-pco 25234

This theorem is used by:  pcoass  25253  pcorevlem  25255