MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcoval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcoval2 24532
Description: Evaluate the concatenation of two paths on the second half. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcoval.2 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (II Cn ๐ฝ))
pcoval.3 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ (II Cn ๐ฝ))
pcoval2.4 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜1) = (๐บโ€˜0))
Assertion
Ref Expression
pcoval2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ ((1 / 2)[,]1)) โ†’ ((๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐บ)โ€˜๐‘‹) = (๐บโ€˜((2 ยท ๐‘‹) โˆ’ 1)))

Proof of Theorem pcoval2
StepHypRef Expression
1 0re 11216 . . . . 5 0 โˆˆ โ„
2 1re 11214 . . . . 5 1 โˆˆ โ„
3 halfge0 12429 . . . . 5 0 โ‰ค (1 / 2)
4 1le1 11842 . . . . 5 1 โ‰ค 1
5 iccss 13392 . . . . 5 (((0 โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (1 / 2) โˆง 1 โ‰ค 1)) โ†’ ((1 / 2)[,]1) โŠ† (0[,]1))
61, 2, 3, 4, 5mp4an 692 . . . 4 ((1 / 2)[,]1) โŠ† (0[,]1)
76sseli 3979 . . 3 (๐‘‹ โˆˆ ((1 / 2)[,]1) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (0[,]1))
8 pcoval.2 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (II Cn ๐ฝ))
9 pcoval.3 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ (II Cn ๐ฝ))
108, 9pcovalg 24528 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐บ)โ€˜๐‘‹) = if(๐‘‹ โ‰ค (1 / 2), (๐นโ€˜(2 ยท ๐‘‹)), (๐บโ€˜((2 ยท ๐‘‹) โˆ’ 1))))
117, 10sylan2 594 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ ((1 / 2)[,]1)) โ†’ ((๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐บ)โ€˜๐‘‹) = if(๐‘‹ โ‰ค (1 / 2), (๐นโ€˜(2 ยท ๐‘‹)), (๐บโ€˜((2 ยท ๐‘‹) โˆ’ 1))))
12 pcoval2.4 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜1) = (๐บโ€˜0))
1312adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ((1 / 2)[,]1) โˆง ๐‘‹ โ‰ค (1 / 2))) โ†’ (๐นโ€˜1) = (๐บโ€˜0))
14 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ((1 / 2)[,]1) โˆง ๐‘‹ โ‰ค (1 / 2))) โ†’ ๐‘‹ โ‰ค (1 / 2))
15 halfre 12426 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 / 2) โˆˆ โ„
1615, 2elicc2i 13390 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘‹ โˆˆ ((1 / 2)[,]1) โ†” (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง (1 / 2) โ‰ค ๐‘‹ โˆง ๐‘‹ โ‰ค 1))
1716simp2bi 1147 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘‹ โˆˆ ((1 / 2)[,]1) โ†’ (1 / 2) โ‰ค ๐‘‹)
1817ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ((1 / 2)[,]1) โˆง ๐‘‹ โ‰ค (1 / 2))) โ†’ (1 / 2) โ‰ค ๐‘‹)
1916simp1bi 1146 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘‹ โˆˆ ((1 / 2)[,]1) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
2019ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ((1 / 2)[,]1) โˆง ๐‘‹ โ‰ค (1 / 2))) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
21 letri3 11299 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง (1 / 2) โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘‹ = (1 / 2) โ†” (๐‘‹ โ‰ค (1 / 2) โˆง (1 / 2) โ‰ค ๐‘‹)))
2220, 15, 21sylancl 587 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ((1 / 2)[,]1) โˆง ๐‘‹ โ‰ค (1 / 2))) โ†’ (๐‘‹ = (1 / 2) โ†” (๐‘‹ โ‰ค (1 / 2) โˆง (1 / 2) โ‰ค ๐‘‹)))
2314, 18, 22mpbir2and 712 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ((1 / 2)[,]1) โˆง ๐‘‹ โ‰ค (1 / 2))) โ†’ ๐‘‹ = (1 / 2))
2423oveq2d 7425 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ((1 / 2)[,]1) โˆง ๐‘‹ โ‰ค (1 / 2))) โ†’ (2 ยท ๐‘‹) = (2 ยท (1 / 2)))
25 2cn 12287 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„‚
26 2ne0 12316 . . . . . . . . . 10 2 โ‰  0
2725, 26recidi 11945 . . . . . . . . 9 (2 ยท (1 / 2)) = 1
2824, 27eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ((1 / 2)[,]1) โˆง ๐‘‹ โ‰ค (1 / 2))) โ†’ (2 ยท ๐‘‹) = 1)
2928fveq2d 6896 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ((1 / 2)[,]1) โˆง ๐‘‹ โ‰ค (1 / 2))) โ†’ (๐นโ€˜(2 ยท ๐‘‹)) = (๐นโ€˜1))
3028oveq1d 7424 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ((1 / 2)[,]1) โˆง ๐‘‹ โ‰ค (1 / 2))) โ†’ ((2 ยท ๐‘‹) โˆ’ 1) = (1 โˆ’ 1))
31 1m1e0 12284 . . . . . . . . 9 (1 โˆ’ 1) = 0
3230, 31eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ((1 / 2)[,]1) โˆง ๐‘‹ โ‰ค (1 / 2))) โ†’ ((2 ยท ๐‘‹) โˆ’ 1) = 0)
3332fveq2d 6896 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ((1 / 2)[,]1) โˆง ๐‘‹ โ‰ค (1 / 2))) โ†’ (๐บโ€˜((2 ยท ๐‘‹) โˆ’ 1)) = (๐บโ€˜0))
3413, 29, 333eqtr4d 2783 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ((1 / 2)[,]1) โˆง ๐‘‹ โ‰ค (1 / 2))) โ†’ (๐นโ€˜(2 ยท ๐‘‹)) = (๐บโ€˜((2 ยท ๐‘‹) โˆ’ 1)))
3534ifeq1d 4548 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ((1 / 2)[,]1) โˆง ๐‘‹ โ‰ค (1 / 2))) โ†’ if(๐‘‹ โ‰ค (1 / 2), (๐นโ€˜(2 ยท ๐‘‹)), (๐บโ€˜((2 ยท ๐‘‹) โˆ’ 1))) = if(๐‘‹ โ‰ค (1 / 2), (๐บโ€˜((2 ยท ๐‘‹) โˆ’ 1)), (๐บโ€˜((2 ยท ๐‘‹) โˆ’ 1))))
36 ifid 4569 . . . . 5 if(๐‘‹ โ‰ค (1 / 2), (๐บโ€˜((2 ยท ๐‘‹) โˆ’ 1)), (๐บโ€˜((2 ยท ๐‘‹) โˆ’ 1))) = (๐บโ€˜((2 ยท ๐‘‹) โˆ’ 1))
3735, 36eqtrdi 2789 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ((1 / 2)[,]1) โˆง ๐‘‹ โ‰ค (1 / 2))) โ†’ if(๐‘‹ โ‰ค (1 / 2), (๐นโ€˜(2 ยท ๐‘‹)), (๐บโ€˜((2 ยท ๐‘‹) โˆ’ 1))) = (๐บโ€˜((2 ยท ๐‘‹) โˆ’ 1)))
3837expr 458 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ ((1 / 2)[,]1)) โ†’ (๐‘‹ โ‰ค (1 / 2) โ†’ if(๐‘‹ โ‰ค (1 / 2), (๐นโ€˜(2 ยท ๐‘‹)), (๐บโ€˜((2 ยท ๐‘‹) โˆ’ 1))) = (๐บโ€˜((2 ยท ๐‘‹) โˆ’ 1))))
39 iffalse 4538 . . 3 (ยฌ ๐‘‹ โ‰ค (1 / 2) โ†’ if(๐‘‹ โ‰ค (1 / 2), (๐นโ€˜(2 ยท ๐‘‹)), (๐บโ€˜((2 ยท ๐‘‹) โˆ’ 1))) = (๐บโ€˜((2 ยท ๐‘‹) โˆ’ 1)))
4038, 39pm2.61d1 180 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ ((1 / 2)[,]1)) โ†’ if(๐‘‹ โ‰ค (1 / 2), (๐นโ€˜(2 ยท ๐‘‹)), (๐บโ€˜((2 ยท ๐‘‹) โˆ’ 1))) = (๐บโ€˜((2 ยท ๐‘‹) โˆ’ 1)))
4111, 40eqtrd 2773 1 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ ((1 / 2)[,]1)) โ†’ ((๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐บ)โ€˜๐‘‹) = (๐บโ€˜((2 ยท ๐‘‹) โˆ’ 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โŠ† wss 3949  ifcif 4529   class class class wbr 5149  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   ยท cmul 11115   โ‰ค cle 11249   โˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  2c2 12267  [,]cicc 13327   Cn ccn 22728  IIcii 24391  *๐‘cpco 24516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-2 12275  df-icc 13331  df-top 22396  df-topon 22413  df-cn 22731  df-pco 24521
This theorem is referenced by:  pcoass  24540  pcorevlem  24542
  Copyright terms: Public domain W3C validator