MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcoval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcoval2 24763
Description: Evaluate the concatenation of two paths on the second half. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcoval.2 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (II Cn ๐ฝ))
pcoval.3 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ (II Cn ๐ฝ))
pcoval2.4 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜1) = (๐บโ€˜0))
Assertion
Ref Expression
pcoval2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ ((1 / 2)[,]1)) โ†’ ((๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐บ)โ€˜๐‘‹) = (๐บโ€˜((2 ยท ๐‘‹) โˆ’ 1)))

Proof of Theorem pcoval2
StepHypRef Expression
1 0re 11220 . . . . 5 0 โˆˆ โ„
2 1re 11218 . . . . 5 1 โˆˆ โ„
3 halfge0 12433 . . . . 5 0 โ‰ค (1 / 2)
4 1le1 11846 . . . . 5 1 โ‰ค 1
5 iccss 13396 . . . . 5 (((0 โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (1 / 2) โˆง 1 โ‰ค 1)) โ†’ ((1 / 2)[,]1) โŠ† (0[,]1))
61, 2, 3, 4, 5mp4an 689 . . . 4 ((1 / 2)[,]1) โŠ† (0[,]1)
76sseli 3977 . . 3 (๐‘‹ โˆˆ ((1 / 2)[,]1) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (0[,]1))
8 pcoval.2 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (II Cn ๐ฝ))
9 pcoval.3 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ (II Cn ๐ฝ))
108, 9pcovalg 24759 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐บ)โ€˜๐‘‹) = if(๐‘‹ โ‰ค (1 / 2), (๐นโ€˜(2 ยท ๐‘‹)), (๐บโ€˜((2 ยท ๐‘‹) โˆ’ 1))))
117, 10sylan2 591 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ ((1 / 2)[,]1)) โ†’ ((๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐บ)โ€˜๐‘‹) = if(๐‘‹ โ‰ค (1 / 2), (๐นโ€˜(2 ยท ๐‘‹)), (๐บโ€˜((2 ยท ๐‘‹) โˆ’ 1))))
12 pcoval2.4 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜1) = (๐บโ€˜0))
1312adantr 479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ((1 / 2)[,]1) โˆง ๐‘‹ โ‰ค (1 / 2))) โ†’ (๐นโ€˜1) = (๐บโ€˜0))
14 simprr 769 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ((1 / 2)[,]1) โˆง ๐‘‹ โ‰ค (1 / 2))) โ†’ ๐‘‹ โ‰ค (1 / 2))
15 halfre 12430 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 / 2) โˆˆ โ„
1615, 2elicc2i 13394 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘‹ โˆˆ ((1 / 2)[,]1) โ†” (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง (1 / 2) โ‰ค ๐‘‹ โˆง ๐‘‹ โ‰ค 1))
1716simp2bi 1144 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘‹ โˆˆ ((1 / 2)[,]1) โ†’ (1 / 2) โ‰ค ๐‘‹)
1817ad2antrl 724 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ((1 / 2)[,]1) โˆง ๐‘‹ โ‰ค (1 / 2))) โ†’ (1 / 2) โ‰ค ๐‘‹)
1916simp1bi 1143 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘‹ โˆˆ ((1 / 2)[,]1) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
2019ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ((1 / 2)[,]1) โˆง ๐‘‹ โ‰ค (1 / 2))) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
21 letri3 11303 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง (1 / 2) โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘‹ = (1 / 2) โ†” (๐‘‹ โ‰ค (1 / 2) โˆง (1 / 2) โ‰ค ๐‘‹)))
2220, 15, 21sylancl 584 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ((1 / 2)[,]1) โˆง ๐‘‹ โ‰ค (1 / 2))) โ†’ (๐‘‹ = (1 / 2) โ†” (๐‘‹ โ‰ค (1 / 2) โˆง (1 / 2) โ‰ค ๐‘‹)))
2314, 18, 22mpbir2and 709 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ((1 / 2)[,]1) โˆง ๐‘‹ โ‰ค (1 / 2))) โ†’ ๐‘‹ = (1 / 2))
2423oveq2d 7427 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ((1 / 2)[,]1) โˆง ๐‘‹ โ‰ค (1 / 2))) โ†’ (2 ยท ๐‘‹) = (2 ยท (1 / 2)))
25 2cn 12291 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„‚
26 2ne0 12320 . . . . . . . . . 10 2 โ‰  0
2725, 26recidi 11949 . . . . . . . . 9 (2 ยท (1 / 2)) = 1
2824, 27eqtrdi 2786 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ((1 / 2)[,]1) โˆง ๐‘‹ โ‰ค (1 / 2))) โ†’ (2 ยท ๐‘‹) = 1)
2928fveq2d 6894 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ((1 / 2)[,]1) โˆง ๐‘‹ โ‰ค (1 / 2))) โ†’ (๐นโ€˜(2 ยท ๐‘‹)) = (๐นโ€˜1))
3028oveq1d 7426 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ((1 / 2)[,]1) โˆง ๐‘‹ โ‰ค (1 / 2))) โ†’ ((2 ยท ๐‘‹) โˆ’ 1) = (1 โˆ’ 1))
31 1m1e0 12288 . . . . . . . . 9 (1 โˆ’ 1) = 0
3230, 31eqtrdi 2786 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ((1 / 2)[,]1) โˆง ๐‘‹ โ‰ค (1 / 2))) โ†’ ((2 ยท ๐‘‹) โˆ’ 1) = 0)
3332fveq2d 6894 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ((1 / 2)[,]1) โˆง ๐‘‹ โ‰ค (1 / 2))) โ†’ (๐บโ€˜((2 ยท ๐‘‹) โˆ’ 1)) = (๐บโ€˜0))
3413, 29, 333eqtr4d 2780 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ((1 / 2)[,]1) โˆง ๐‘‹ โ‰ค (1 / 2))) โ†’ (๐นโ€˜(2 ยท ๐‘‹)) = (๐บโ€˜((2 ยท ๐‘‹) โˆ’ 1)))
3534ifeq1d 4546 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ((1 / 2)[,]1) โˆง ๐‘‹ โ‰ค (1 / 2))) โ†’ if(๐‘‹ โ‰ค (1 / 2), (๐นโ€˜(2 ยท ๐‘‹)), (๐บโ€˜((2 ยท ๐‘‹) โˆ’ 1))) = if(๐‘‹ โ‰ค (1 / 2), (๐บโ€˜((2 ยท ๐‘‹) โˆ’ 1)), (๐บโ€˜((2 ยท ๐‘‹) โˆ’ 1))))
36 ifid 4567 . . . . 5 if(๐‘‹ โ‰ค (1 / 2), (๐บโ€˜((2 ยท ๐‘‹) โˆ’ 1)), (๐บโ€˜((2 ยท ๐‘‹) โˆ’ 1))) = (๐บโ€˜((2 ยท ๐‘‹) โˆ’ 1))
3735, 36eqtrdi 2786 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ((1 / 2)[,]1) โˆง ๐‘‹ โ‰ค (1 / 2))) โ†’ if(๐‘‹ โ‰ค (1 / 2), (๐นโ€˜(2 ยท ๐‘‹)), (๐บโ€˜((2 ยท ๐‘‹) โˆ’ 1))) = (๐บโ€˜((2 ยท ๐‘‹) โˆ’ 1)))
3837expr 455 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ ((1 / 2)[,]1)) โ†’ (๐‘‹ โ‰ค (1 / 2) โ†’ if(๐‘‹ โ‰ค (1 / 2), (๐นโ€˜(2 ยท ๐‘‹)), (๐บโ€˜((2 ยท ๐‘‹) โˆ’ 1))) = (๐บโ€˜((2 ยท ๐‘‹) โˆ’ 1))))
39 iffalse 4536 . . 3 (ยฌ ๐‘‹ โ‰ค (1 / 2) โ†’ if(๐‘‹ โ‰ค (1 / 2), (๐นโ€˜(2 ยท ๐‘‹)), (๐บโ€˜((2 ยท ๐‘‹) โˆ’ 1))) = (๐บโ€˜((2 ยท ๐‘‹) โˆ’ 1)))
4038, 39pm2.61d1 180 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ ((1 / 2)[,]1)) โ†’ if(๐‘‹ โ‰ค (1 / 2), (๐นโ€˜(2 ยท ๐‘‹)), (๐บโ€˜((2 ยท ๐‘‹) โˆ’ 1))) = (๐บโ€˜((2 ยท ๐‘‹) โˆ’ 1)))
4111, 40eqtrd 2770 1 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ ((1 / 2)[,]1)) โ†’ ((๐น(*๐‘โ€˜๐ฝ)๐บ)โ€˜๐‘‹) = (๐บโ€˜((2 ยท ๐‘‹) โˆ’ 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โŠ† wss 3947  ifcif 4527   class class class wbr 5147  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   ยท cmul 11117   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  2c2 12271  [,]cicc 13331   Cn ccn 22948  IIcii 24615  *๐‘cpco 24747
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-2 12279  df-icc 13335  df-top 22616  df-topon 22633  df-cn 22951  df-pco 24752
This theorem is referenced by:  pcoass  24771  pcorevlem  24773
  Copyright terms: Public domain W3C validator