Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcoval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcoval2 23718
 Description: Evaluate the concatenation of two paths on the second half. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcoval.2 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoval.3 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoval2.4 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))
Assertion
Ref Expression
pcoval2 ((𝜑𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘𝑋) = (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1)))

Proof of Theorem pcoval2
StepHypRef Expression
1 0re 10682 . . . . 5 0 ∈ ℝ
2 1re 10680 . . . . 5 1 ∈ ℝ
3 halfge0 11892 . . . . 5 0 ≤ (1 / 2)
4 1le1 11307 . . . . 5 1 ≤ 1
5 iccss 12848 . . . . 5 (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 / 2) ∧ 1 ≤ 1)) → ((1 / 2)[,]1) ⊆ (0[,]1))
61, 2, 3, 4, 5mp4an 693 . . . 4 ((1 / 2)[,]1) ⊆ (0[,]1)
76sseli 3889 . . 3 (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) → 𝑋 ∈ (0[,]1))
8 pcoval.2 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
9 pcoval.3 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
108, 9pcovalg 23714 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘𝑋) = if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))))
117, 10sylan2 596 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘𝑋) = if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))))
12 pcoval2.4 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))
1312adantr 485 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))
14 simprr 773 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → 𝑋 ≤ (1 / 2))
15 halfre 11889 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 / 2) ∈ ℝ
1615, 2elicc2i 12846 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ≤ 𝑋𝑋 ≤ 1))
1716simp2bi 1144 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) → (1 / 2) ≤ 𝑋)
1817ad2antrl 728 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → (1 / 2) ≤ 𝑋)
1916simp1bi 1143 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) → 𝑋 ∈ ℝ)
2019ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → 𝑋 ∈ ℝ)
21 letri3 10765 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (𝑋 = (1 / 2) ↔ (𝑋 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) ≤ 𝑋)))
2220, 15, 21sylancl 590 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → (𝑋 = (1 / 2) ↔ (𝑋 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) ≤ 𝑋)))
2314, 18, 22mpbir2and 713 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → 𝑋 = (1 / 2))
2423oveq2d 7167 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → (2 · 𝑋) = (2 · (1 / 2)))
25 2cn 11750 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
26 2ne0 11779 . . . . . . . . . 10 2 ≠ 0
2725, 26recidi 11410 . . . . . . . . 9 (2 · (1 / 2)) = 1
2824, 27eqtrdi 2810 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → (2 · 𝑋) = 1)
2928fveq2d 6663 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → (𝐹‘(2 · 𝑋)) = (𝐹‘1))
3028oveq1d 7166 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → ((2 · 𝑋) − 1) = (1 − 1))
31 1m1e0 11747 . . . . . . . . 9 (1 − 1) = 0
3230, 31eqtrdi 2810 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → ((2 · 𝑋) − 1) = 0)
3332fveq2d 6663 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1)) = (𝐺‘0))
3413, 29, 333eqtr4d 2804 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → (𝐹‘(2 · 𝑋)) = (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1)))
3534ifeq1d 4440 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))) = if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))))
36 ifid 4461 . . . . 5 if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))) = (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))
3735, 36eqtrdi 2810 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))) = (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1)))
3837expr 461 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → (𝑋 ≤ (1 / 2) → if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))) = (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))))
39 iffalse 4430 . . 3 𝑋 ≤ (1 / 2) → if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))) = (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1)))
4038, 39pm2.61d1 183 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))) = (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1)))
4111, 40eqtrd 2794 1 ((𝜑𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘𝑋) = (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ⊆ wss 3859  ifcif 4421   class class class wbr 5033  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151  ℝcr 10575  0cc0 10576  1c1 10577   · cmul 10581   ≤ cle 10715   − cmin 10909   / cdiv 11336  2c2 11730  [,]cicc 12783   Cn ccn 21925  IIcii 23577  *𝑝cpco 23702 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10632  ax-resscn 10633  ax-1cn 10634  ax-icn 10635  ax-addcl 10636  ax-addrcl 10637  ax-mulcl 10638  ax-mulrcl 10639  ax-mulcom 10640  ax-addass 10641  ax-mulass 10642  ax-distr 10643  ax-i2m1 10644  ax-1ne0 10645  ax-1rid 10646  ax-rnegex 10647  ax-rrecex 10648  ax-cnre 10649  ax-pre-lttri 10650  ax-pre-lttrn 10651  ax-pre-ltadd 10652  ax-pre-mulgt0 10653 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-op 4530  df-uni 4800  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5431  df-po 5444  df-so 5445  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-er 8300  df-map 8419  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-pnf 10716  df-mnf 10717  df-xr 10718  df-ltxr 10719  df-le 10720  df-sub 10911  df-neg 10912  df-div 11337  df-2 11738  df-icc 12787  df-top 21595  df-topon 21612  df-cn 21928  df-pco 23707 This theorem is referenced by:  pcoass  23726  pcorevlem  23728
 Copyright terms: Public domain W3C validator