Theorem pcoval2 23323

Description: Evaluate the concatenation of two paths on the second half. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcoval.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoval.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoval2.4	⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))

Assertion

Ref	Expression
pcoval2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘𝑋) = (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1)))

Proof of Theorem pcoval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 10441	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		1re 10439	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		halfge0 11664	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ (1 / 2)
4		1le1 11069	. . . . 5 ⊢ 1 ≤ 1
5		iccss 12620	. . . . 5 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 / 2) ∧ 1 ≤ 1)) → ((1 / 2)[,]1) ⊆ (0[,]1))
6	1, 2, 3, 4, 5	mp4an 680	. . . 4 ⊢ ((1 / 2)[,]1) ⊆ (0[,]1)
7	6	sseli 3855	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) → 𝑋 ∈ (0[,]1))
8		pcoval.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
9		pcoval.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
10	8, 9	pcovalg 23319	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘𝑋) = if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))))
11	7, 10	sylan2 583	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘𝑋) = if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))))
12		pcoval2.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))
13	12	adantr 473	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))
14		simprr 760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → 𝑋 ≤ (1 / 2))
15		halfre 11661	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
16	15, 2	elicc2i 12618	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))
17	16	simp2bi 1126	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) → (1 / 2) ≤ 𝑋)
18	17	ad2antrl 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → (1 / 2) ≤ 𝑋)
19	16	simp1bi 1125	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) → 𝑋 ∈ ℝ)
20	19	ad2antrl 715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → 𝑋 ∈ ℝ)
21		letri3 10526	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (𝑋 = (1 / 2) ↔ (𝑋 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) ≤ 𝑋)))
22	20, 15, 21	sylancl 577	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → (𝑋 = (1 / 2) ↔ (𝑋 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) ≤ 𝑋)))
23	14, 18, 22	mpbir2and 700	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → 𝑋 = (1 / 2))
24	23	oveq2d 6992	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → (2 · 𝑋) = (2 · (1 / 2)))
25		2cn 11515	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
26		2ne0 11551	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≠ 0
27	25, 26	recidi 11172	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · (1 / 2)) = 1
28	24, 27	syl6eq 2831	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → (2 · 𝑋) = 1)
29	28	fveq2d 6503	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → (𝐹‘(2 · 𝑋)) = (𝐹‘1))
30	28	oveq1d 6991	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → ((2 · 𝑋) − 1) = (1 − 1))
31		1m1e0 11512	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 − 1) = 0
32	30, 31	syl6eq 2831	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → ((2 · 𝑋) − 1) = 0)
33	32	fveq2d 6503	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1)) = (𝐺‘0))
34	13, 29, 33	3eqtr4d 2825	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → (𝐹‘(2 · 𝑋)) = (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1)))
35	34	ifeq1d 4368	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))) = if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))))
36		ifid 4389	. . . . 5 ⊢ if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))) = (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))
37	35, 36	syl6eq 2831	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))) = (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1)))
38	37	expr 449	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → (𝑋 ≤ (1 / 2) → if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))) = (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))))
39		iffalse 4359	. . 3 ⊢ (¬ 𝑋 ≤ (1 / 2) → if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))) = (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1)))
40	38, 39	pm2.61d1 173	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))) = (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1)))
41	11, 40	eqtrd 2815	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘𝑋) = (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   ⊆ wss 3830  ifcif 4350   class class class wbr 4929  ‘cfv 6188  (class class class)co 6976  ℝcr 10334  0cc0 10335  1c1 10336   · cmul 10340   ≤ cle 10475   − cmin 10670   / cdiv 11098  2c2 11495  [,]cicc 12557   Cn ccn 21536  IIcii 23186  *_𝑝cpco 23307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-id 5312  df-po 5326  df-so 5327  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-er 8089  df-map 8208  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-2 11503  df-icc 12561  df-top 21206  df-topon 21223  df-cn 21539  df-pco 23312

This theorem is referenced by:  pcoass  23331  pcorevlem  23333