MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcoval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcoval2 24307
Description: Evaluate the concatenation of two paths on the second half. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcoval.2 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoval.3 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoval2.4 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))
Assertion
Ref Expression
pcoval2 ((𝜑𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘𝑋) = (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1)))

Proof of Theorem pcoval2
StepHypRef Expression
1 0re 11091 . . . . 5 0 ∈ ℝ
2 1re 11089 . . . . 5 1 ∈ ℝ
3 halfge0 12304 . . . . 5 0 ≤ (1 / 2)
4 1le1 11717 . . . . 5 1 ≤ 1
5 iccss 13262 . . . . 5 (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 / 2) ∧ 1 ≤ 1)) → ((1 / 2)[,]1) ⊆ (0[,]1))
61, 2, 3, 4, 5mp4an 692 . . . 4 ((1 / 2)[,]1) ⊆ (0[,]1)
76sseli 3939 . . 3 (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) → 𝑋 ∈ (0[,]1))
8 pcoval.2 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
9 pcoval.3 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
108, 9pcovalg 24303 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘𝑋) = if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))))
117, 10sylan2 594 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘𝑋) = if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))))
12 pcoval2.4 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))
1312adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))
14 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → 𝑋 ≤ (1 / 2))
15 halfre 12301 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 / 2) ∈ ℝ
1615, 2elicc2i 13260 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ≤ 𝑋𝑋 ≤ 1))
1716simp2bi 1147 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) → (1 / 2) ≤ 𝑋)
1817ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → (1 / 2) ≤ 𝑋)
1916simp1bi 1146 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) → 𝑋 ∈ ℝ)
2019ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → 𝑋 ∈ ℝ)
21 letri3 11174 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (𝑋 = (1 / 2) ↔ (𝑋 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) ≤ 𝑋)))
2220, 15, 21sylancl 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → (𝑋 = (1 / 2) ↔ (𝑋 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) ≤ 𝑋)))
2314, 18, 22mpbir2and 712 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → 𝑋 = (1 / 2))
2423oveq2d 7366 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → (2 · 𝑋) = (2 · (1 / 2)))
25 2cn 12162 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
26 2ne0 12191 . . . . . . . . . 10 2 ≠ 0
2725, 26recidi 11820 . . . . . . . . 9 (2 · (1 / 2)) = 1
2824, 27eqtrdi 2794 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → (2 · 𝑋) = 1)
2928fveq2d 6842 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → (𝐹‘(2 · 𝑋)) = (𝐹‘1))
3028oveq1d 7365 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → ((2 · 𝑋) − 1) = (1 − 1))
31 1m1e0 12159 . . . . . . . . 9 (1 − 1) = 0
3230, 31eqtrdi 2794 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → ((2 · 𝑋) − 1) = 0)
3332fveq2d 6842 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1)) = (𝐺‘0))
3413, 29, 333eqtr4d 2788 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → (𝐹‘(2 · 𝑋)) = (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1)))
3534ifeq1d 4504 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))) = if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))))
36 ifid 4525 . . . . 5 if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))) = (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))
3735, 36eqtrdi 2794 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))) = (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1)))
3837expr 458 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → (𝑋 ≤ (1 / 2) → if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))) = (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))))
39 iffalse 4494 . . 3 𝑋 ≤ (1 / 2) → if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))) = (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1)))
4038, 39pm2.61d1 180 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))) = (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1)))
4111, 40eqtrd 2778 1 ((𝜑𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘𝑋) = (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wss 3909  ifcif 4485   class class class wbr 5104  cfv 6492  (class class class)co 7350  cr 10984  0cc0 10985  1c1 10986   · cmul 10990  cle 11124  cmin 11319   / cdiv 11746  2c2 12142  [,]cicc 13197   Cn ccn 22503  IIcii 24166  *𝑝cpco 24291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5529  df-po 5543  df-so 5544  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-er 8582  df-map 8701  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-2 12150  df-icc 13201  df-top 22171  df-topon 22188  df-cn 22506  df-pco 24296
This theorem is referenced by:  pcoass  24315  pcorevlem  24317
  Copyright terms: Public domain W3C validator