Theorem pcoval2 25001

Description: Evaluate the concatenation of two paths on the second half. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcoval.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoval.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoval2.4	⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))

Assertion

Ref	Expression
pcoval2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘𝑋) = (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1)))

Proof of Theorem pcoval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11137	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		1re 11135	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		halfge0 12384	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ (1 / 2)
4		1le1 11769	. . . . 5 ⊢ 1 ≤ 1
5		iccss 13358	. . . . 5 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 / 2) ∧ 1 ≤ 1)) → ((1 / 2)[,]1) ⊆ (0[,]1))
6	1, 2, 3, 4, 5	mp4an 699	. . . 4 ⊢ ((1 / 2)[,]1) ⊆ (0[,]1)
7	6	sseli 3911	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) → 𝑋 ∈ (0[,]1))
8		pcoval.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
9		pcoval.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
10	8, 9	pcovalg 24997	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘𝑋) = if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))))
11	7, 10	sylan2 599	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘𝑋) = if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))))
12		pcoval2.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))
13	12	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))
14		simprr 778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → 𝑋 ≤ (1 / 2))
15		halfre 12381	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
16	15, 2	elicc2i 13356	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))
17	16	simp2bi 1152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) → (1 / 2) ≤ 𝑋)
18	17	ad2antrl 734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → (1 / 2) ≤ 𝑋)
19	16	simp1bi 1151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) → 𝑋 ∈ ℝ)
20	19	ad2antrl 734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → 𝑋 ∈ ℝ)
21		letri3 11222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (𝑋 = (1 / 2) ↔ (𝑋 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) ≤ 𝑋)))
22	20, 15, 21	sylancl 592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → (𝑋 = (1 / 2) ↔ (𝑋 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) ≤ 𝑋)))
23	14, 18, 22	mpbir2and 719	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → 𝑋 = (1 / 2))
24	23	oveq2d 7372	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → (2 · 𝑋) = (2 · (1 / 2)))
25		2cn 12247	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
26		2ne0 12276	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≠ 0
27	25, 26	recidi 11877	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · (1 / 2)) = 1
28	24, 27	eqtrdi 2790	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → (2 · 𝑋) = 1)
29	28	fveq2d 6831	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → (𝐹‘(2 · 𝑋)) = (𝐹‘1))
30	28	oveq1d 7371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → ((2 · 𝑋) − 1) = (1 − 1))
31		1m1e0 12244	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 − 1) = 0
32	30, 31	eqtrdi 2790	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → ((2 · 𝑋) − 1) = 0)
33	32	fveq2d 6831	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1)) = (𝐺‘0))
34	13, 29, 33	3eqtr4d 2784	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → (𝐹‘(2 · 𝑋)) = (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1)))
35	34	ifeq1d 4474	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))) = if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))))
36		ifid 4495	. . . . 5 ⊢ if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))) = (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))
37	35, 36	eqtrdi 2790	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))) = (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1)))
38	37	expr 457	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → (𝑋 ≤ (1 / 2) → if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))) = (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))))
39		iffalse 4463	. . 3 ⊢ (¬ 𝑋 ≤ (1 / 2) → if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))) = (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1)))
40	38, 39	pm2.61d1 181	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))) = (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1)))
41	11, 40	eqtrd 2774	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘𝑋) = (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ⊆ wss 3883  ifcif 4454   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   · cmul 11034   ≤ cle 11171   − cmin 11368   / cdiv 11798  2c2 12227  [,]cicc 13292   Cn ccn 23207  IIcii 24860  *_𝑝cpco 24985

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-icc 13296  df-top 22877  df-topon 22894  df-cn 23210  df-pco 24990

This theorem is referenced by:  pcoass  25009  pcorevlem  25011