Theorem phplem3 8494

Description: Lemma for Pigeonhole Principle. A natural number is equinumerous to its successor minus any element of the successor. (Contributed by NM, 26-May-1998.)

Hypotheses

Ref	Expression
phplem2.1	⊢ 𝐴 ∈ V
phplem2.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
phplem3	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))

Proof of Theorem phplem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elsuci 6095	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ suc 𝐴 → (𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴))
2		phplem2.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		phplem2.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	2, 3	phplem2 8493	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))
5	2	enref 8339	. . . 4 ⊢ 𝐴 ≈ 𝐴
6		nnord 7404	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
7		orddif 6122	. . . . . 6 ⊢ (Ord 𝐴 → 𝐴 = (suc 𝐴 ∖ {𝐴}))
8	6, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 = (suc 𝐴 ∖ {𝐴}))
9		sneq 4451	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴} = {𝐵})
10	9	difeq2d 3989	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (suc 𝐴 ∖ {𝐴}) = (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))
11	10	eqcoms 2786	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (suc 𝐴 ∖ {𝐴}) = (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))
12	8, 11	sylan9eq 2834	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 = 𝐴) → 𝐴 = (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))
13	5, 12	syl5breq 4966	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 = 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))
14	4, 13	jaodan 940	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴)) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))
15	1, 14	sylan2 583	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   ∨ wo 833   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  Vcvv 3415   ∖ cdif 3826  {csn 4441   class class class wbr 4929  Ord word 6028  suc csuc 6031  ωcom 7396   ≈ cen 8303

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-ral 3093  df-rex 3094  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-br 4930  df-opab 4992  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-om 7397  df-en 8307

This theorem is referenced by:  phplem4  8495  php  8497