Theorem phplem2 8428

Description: Lemma for Pigeonhole Principle. A natural number is equinumerous to its successor minus one of its elements. (Contributed by NM, 11-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
phplem2.1	⊢ 𝐴 ∈ V
phplem2.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
phplem2	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))

Proof of Theorem phplem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snex 5140	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝐵, 𝐴⟩} ∈ V
2		phplem2.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		phplem2.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ V
4	2, 3	f1osn 6430	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝐵, 𝐴⟩}:{𝐵}–1-1-onto→{𝐴}
5		f1oen3g 8257	. . . . . 6 ⊢ (({⟨𝐵, 𝐴⟩} ∈ V ∧ {⟨𝐵, 𝐴⟩}:{𝐵}–1-1-onto→{𝐴}) → {𝐵} ≈ {𝐴})
6	1, 4, 5	mp2an 682	. . . . 5 ⊢ {𝐵} ≈ {𝐴}
7	3	difexi 5046	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∈ V
8	7	enref 8274	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∖ {𝐵}) ≈ (𝐴 ∖ {𝐵})
9	6, 8	pm3.2i 464	. . . 4 ⊢ ({𝐵} ≈ {𝐴} ∧ (𝐴 ∖ {𝐵}) ≈ (𝐴 ∖ {𝐵}))
10		incom 4028	. . . . . 6 ⊢ ({𝐴} ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∩ {𝐴})
11		difss 3960	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴
12		ssrin 4058	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∩ {𝐴}) ⊆ (𝐴 ∩ {𝐴}))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∩ {𝐴}) ⊆ (𝐴 ∩ {𝐴})
14		nnord 7351	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
15		orddisj 6014	. . . . . . . . 9 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅)
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅)
17	13, 16	syl5sseq 3872	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∩ {𝐴}) ⊆ ∅)
18		ss0 4200	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∖ {𝐵}) ∩ {𝐴}) ⊆ ∅ → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∩ {𝐴}) = ∅)
19	17, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∩ {𝐴}) = ∅)
20	10, 19	syl5eq 2826	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ({𝐴} ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ∅)
21		disjdif 4264	. . . . 5 ⊢ ({𝐵} ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ∅
22	20, 21	jctil 515	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (({𝐵} ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ∅ ∧ ({𝐴} ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ∅))
23		unen 8328	. . . 4 ⊢ ((({𝐵} ≈ {𝐴} ∧ (𝐴 ∖ {𝐵}) ≈ (𝐴 ∖ {𝐵})) ∧ (({𝐵} ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ∅ ∧ ({𝐴} ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ∅)) → ({𝐵} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≈ ({𝐴} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})))
24	9, 22, 23	sylancr 581	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ({𝐵} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≈ ({𝐴} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})))
25	24	adantr 474	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ({𝐵} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≈ ({𝐴} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})))
26		uncom 3980	. . . 4 ⊢ ({𝐵} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵})
27		difsnid 4572	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) = 𝐴)
28	26, 27	syl5eq 2826	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → ({𝐵} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) = 𝐴)
29	28	adantl 475	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ({𝐵} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) = 𝐴)
30		phplem1 8427	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ({𝐴} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))
31	25, 29, 30	3brtr3d 4917	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  Vcvv 3398   ∖ cdif 3789   ∪ cun 3790   ∩ cin 3791   ⊆ wss 3792  ∅c0 4141  {csn 4398  ⟨cop 4404   class class class wbr 4886  Ord word 5975  suc csuc 5978  –1-1-onto→wf1o 6134  ωcom 7343   ≈ cen 8238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-om 7344  df-en 8242

This theorem is referenced by:  phplem3  8429