Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pl42N Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pl42N 38792
Description: Law holding in a Hilbert lattice that fails in orthomodular lattice L42 (Figure 7 in [MegPav2000] p. 2366). (Contributed by NM, 8-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pl42.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
pl42.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
pl42.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
pl42.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
pl42.o βŠ₯ = (ocβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
pl42N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑍 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Š)) β†’ ((((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ∨ π‘Š) ∧ 𝑉) ≀ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ ((𝑋 ∨ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∨ 𝑉)))))
Proof of Theorem pl42N
StepHypRef Expression
1 pl42.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 pl42.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 pl42.j . . 3 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
4 pl42.m . . 3 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
5 pl42.o . . 3 βŠ₯ = (ocβ€˜πΎ)
6 eqid 2733 . . 3 (pmapβ€˜πΎ) = (pmapβ€˜πΎ)
7 eqid 2733 . . 3 (+π‘ƒβ€˜πΎ) = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7pl42lem4N 38791 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑍 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Š)) β†’ ((pmapβ€˜πΎ)β€˜((((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ∨ π‘Š) ∧ 𝑉)) βŠ† ((pmapβ€˜πΎ)β€˜((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ ((𝑋 ∨ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∨ 𝑉))))))
9 simpl1 1192 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
109hllatd 38172 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
11 simpl2 1193 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
12 simpl3 1194 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
131, 3latjcl 18388 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
1410, 11, 12, 13syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
15 simpr1 1195 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
161, 4latmcl 18389 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ∈ 𝐡)
1710, 14, 15, 16syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ∈ 𝐡)
18 simpr2 1196 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
191, 3latjcl 18388 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ (((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ∨ π‘Š) ∈ 𝐡)
2010, 17, 18, 19syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ∨ π‘Š) ∈ 𝐡)
21 simpr3 1197 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑉 ∈ 𝐡)
221, 4latmcl 18389 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ∨ π‘Š) ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) β†’ ((((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ∨ π‘Š) ∧ 𝑉) ∈ 𝐡)
2310, 20, 21, 22syl3anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ ((((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ∨ π‘Š) ∧ 𝑉) ∈ 𝐡)
241, 3latjcl 18388 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ π‘Š) ∈ 𝐡)
2510, 11, 18, 24syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∨ π‘Š) ∈ 𝐡)
261, 3latjcl 18388 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ∨ 𝑉) ∈ 𝐡)
2710, 12, 21, 26syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Œ ∨ 𝑉) ∈ 𝐡)
281, 4latmcl 18389 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∨ π‘Š) ∈ 𝐡 ∧ (π‘Œ ∨ 𝑉) ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∨ 𝑉)) ∈ 𝐡)
2910, 25, 27, 28syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∨ 𝑉)) ∈ 𝐡)
301, 3latjcl 18388 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ ((𝑋 ∨ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∨ 𝑉)) ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ ((𝑋 ∨ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∨ 𝑉))) ∈ 𝐡)
3110, 14, 29, 30syl3anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ ((𝑋 ∨ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∨ 𝑉))) ∈ 𝐡)
321, 2, 6pmaple 38570 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ∨ π‘Š) ∧ 𝑉) ∈ 𝐡 ∧ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ ((𝑋 ∨ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∨ 𝑉))) ∈ 𝐡) β†’ (((((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ∨ π‘Š) ∧ 𝑉) ≀ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ ((𝑋 ∨ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∨ 𝑉))) ↔ ((pmapβ€˜πΎ)β€˜((((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ∨ π‘Š) ∧ 𝑉)) βŠ† ((pmapβ€˜πΎ)β€˜((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ ((𝑋 ∨ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∨ 𝑉))))))
339, 23, 31, 32syl3anc 1372 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ (((((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ∨ π‘Š) ∧ 𝑉) ≀ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ ((𝑋 ∨ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∨ 𝑉))) ↔ ((pmapβ€˜πΎ)β€˜((((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ∨ π‘Š) ∧ 𝑉)) βŠ† ((pmapβ€˜πΎ)β€˜((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ ((𝑋 ∨ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∨ 𝑉))))))
348, 33sylibrd 259 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑍 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Š)) β†’ ((((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ∨ π‘Š) ∧ 𝑉) ≀ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ ((𝑋 ∨ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∨ 𝑉)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7404  Basecbs 17140  lecple 17200  occoc 17201  joincjn 18260  meetcmee 18261  Latclat 18380  HLchlt 38158  pmapcpmap 38306  +𝑃cpadd 38604
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-p1 18375  df-lat 18381  df-clat 18448  df-oposet 37984  df-ol 37986  df-oml 37987  df-covers 38074  df-ats 38075  df-atl 38106  df-cvlat 38130  df-hlat 38159  df-psubsp 38312  df-pmap 38313  df-padd 38605  df-polarityN 38712  df-psubclN 38744
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator