Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddssat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem paddssat 38623
Description: A projective subspace sum is a set of atoms. (Contributed by NM, 3-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
padd0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
padd0.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
paddssat ((𝐾𝐵𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴)

Proof of Theorem paddssat
Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . 3 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2 eqid 2733 . . 3 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
3 padd0.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 padd0.p . . 3 + = (+𝑃𝐾)
51, 2, 3, 4paddval 38607 . 2 ((𝐾𝐵𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋 + 𝑌) = ((𝑋𝑌) ∪ {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)}))
6 unss 4183 . . . . . 6 ((𝑋𝐴𝑌𝐴) ↔ (𝑋𝑌) ⊆ 𝐴)
76biimpi 215 . . . . 5 ((𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋𝑌) ⊆ 𝐴)
8 ssrab2 4076 . . . . 5 {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)} ⊆ 𝐴
97, 8jctir 522 . . . 4 ((𝑋𝐴𝑌𝐴) → ((𝑋𝑌) ⊆ 𝐴 ∧ {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)} ⊆ 𝐴))
10 unss 4183 . . . 4 (((𝑋𝑌) ⊆ 𝐴 ∧ {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)} ⊆ 𝐴) ↔ ((𝑋𝑌) ∪ {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)}) ⊆ 𝐴)
119, 10sylib 217 . . 3 ((𝑋𝐴𝑌𝐴) → ((𝑋𝑌) ∪ {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)}) ⊆ 𝐴)
12113adant1 1131 . 2 ((𝐾𝐵𝑋𝐴𝑌𝐴) → ((𝑋𝑌) ∪ {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)}) ⊆ 𝐴)
135, 12eqsstrd 4019 1 ((𝐾𝐵𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wrex 3071  {crab 3433  cun 3945  wss 3947   class class class wbr 5147  cfv 6540  (class class class)co 7404  lecple 17200  joincjn 18260  Atomscatm 38071  +𝑃cpadd 38604
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-padd 38605
This theorem is referenced by:  paddasslem8  38636  paddasslem11  38639  paddasslem12  38640  paddasslem13  38641  paddasslem16  38644  paddasslem17  38645  paddass  38647  padd4N  38649  paddclN  38651  pmodl42N  38660  pclunN  38707  paddunN  38736  pmapocjN  38739  pclfinclN  38759  osumcllem1N  38765  osumcllem2N  38766  osumcllem9N  38773  osumcllem11N  38775  osumclN  38776  pexmidlem6N  38784  pexmidlem8N  38786  pl42lem3N  38790
  Copyright terms: Public domain W3C validator