Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddssat Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem paddssat 38989
Description: A projective subspace sum is a set of atoms. (Contributed by NM, 3-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
padd0.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
padd0.p + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
paddssat ((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† 𝐴)
Proof of Theorem paddssat
Dummy variables π‘ž 𝑝 π‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2731 . . 3 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
2 eqid 2731 . . 3 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
3 padd0.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
4 padd0.p . . 3 + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
51, 2, 3, 4paddval 38973 . 2 ((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ (𝑋 + π‘Œ) = ((𝑋 βˆͺ π‘Œ) βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)}))
6 unss 4184 . . . . . 6 ((𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ↔ (𝑋 βˆͺ π‘Œ) βŠ† 𝐴)
76biimpi 215 . . . . 5 ((𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ (𝑋 βˆͺ π‘Œ) βŠ† 𝐴)
8 ssrab2 4077 . . . . 5 {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)} βŠ† 𝐴
97, 8jctir 520 . . . 4 ((𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ ((𝑋 βˆͺ π‘Œ) βŠ† 𝐴 ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)} βŠ† 𝐴))
10 unss 4184 . . . 4 (((𝑋 βˆͺ π‘Œ) βŠ† 𝐴 ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)} βŠ† 𝐴) ↔ ((𝑋 βˆͺ π‘Œ) βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)}) βŠ† 𝐴)
119, 10sylib 217 . . 3 ((𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ ((𝑋 βˆͺ π‘Œ) βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)}) βŠ† 𝐴)
12113adant1 1129 . 2 ((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ ((𝑋 βˆͺ π‘Œ) βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑝(leβ€˜πΎ)(π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘Ÿ)}) βŠ† 𝐴)
135, 12eqsstrd 4020 1 ((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆƒwrex 3069  {crab 3431   βˆͺ cun 3946   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  lecple 17209  joincjn 18269  Atomscatm 38437  +𝑃cpadd 38970
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-padd 38971
This theorem is referenced by:  paddasslem8  39002  paddasslem11  39005  paddasslem12  39006  paddasslem13  39007  paddasslem16  39010  paddasslem17  39011  paddass  39013  padd4N  39015  paddclN  39017  pmodl42N  39026  pclunN  39073  paddunN  39102  pmapocjN  39105  pclfinclN  39125  osumcllem1N  39131  osumcllem2N  39132  osumcllem9N  39139  osumcllem11N  39141  osumclN  39142  pexmidlem6N  39150  pexmidlem8N  39152  pl42lem3N  39156
  Copyright terms: Public domain W3C validator