Theorem paddssat 37755

Description: A projective subspace sum is a set of atoms. (Contributed by NM, 3-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
padd0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
padd0.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
paddssat	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴)

Proof of Theorem paddssat

Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . 3 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2		eqid 2738	. . 3 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
3		padd0.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		padd0.p	. . 3 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	paddval 37739	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑋 + 𝑌) = ((𝑋 ∪ 𝑌) ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)}))
6		unss 4114	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ↔ (𝑋 ∪ 𝑌) ⊆ 𝐴)
7	6	biimpi 215	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑋 ∪ 𝑌) ⊆ 𝐴)
8		ssrab2 4009	. . . . 5 ⊢ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)} ⊆ 𝐴
9	7, 8	jctir 520	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → ((𝑋 ∪ 𝑌) ⊆ 𝐴 ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)} ⊆ 𝐴))
10		unss 4114	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∪ 𝑌) ⊆ 𝐴 ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)} ⊆ 𝐴) ↔ ((𝑋 ∪ 𝑌) ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)}) ⊆ 𝐴)
11	9, 10	sylib 217	. . 3 ⊢ ((𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → ((𝑋 ∪ 𝑌) ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)}) ⊆ 𝐴)
12	11	3adant1 1128	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → ((𝑋 ∪ 𝑌) ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)}) ⊆ 𝐴)
13	5, 12	eqsstrd 3955	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3064  {crab 3067   ∪ cun 3881   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  lecple 16895  joincjn 17944  Atomscatm 37204  +_𝑃cpadd 37736

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-padd 37737

This theorem is referenced by:  paddasslem8  37768  paddasslem11  37771  paddasslem12  37772  paddasslem13  37773  paddasslem16  37776  paddasslem17  37777  paddass  37779  padd4N  37781  paddclN  37783  pmodl42N  37792  pclunN  37839  paddunN  37868  pmapocjN  37871  pclfinclN  37891  osumcllem1N  37897  osumcllem2N  37898  osumcllem9N  37905  osumcllem11N  37907  osumclN  37908  pexmidlem6N  37916  pexmidlem8N  37918  pl42lem3N  37922