Theorem paddssat 40648

Description: A projective subspace sum is a set of atoms. (Contributed by NM, 3-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
padd0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
padd0.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
paddssat	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴)

Proof of Theorem paddssat

Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . 3 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2		eqid 2765	. . 3 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
3		padd0.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		padd0.p	. . 3 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	paddval 40632	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑋 + 𝑌) = ((𝑋 ∪ 𝑌) ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)}))
6		unss 4143	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ↔ (𝑋 ∪ 𝑌) ⊆ 𝐴)
7	6	biimpi 219	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑋 ∪ 𝑌) ⊆ 𝐴)
8		ssrab2 4035	. . . . 5 ⊢ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)} ⊆ 𝐴
9	7, 8	jctir 530	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → ((𝑋 ∪ 𝑌) ⊆ 𝐴 ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)} ⊆ 𝐴))
10		unss 4143	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∪ 𝑌) ⊆ 𝐴 ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)} ⊆ 𝐴) ↔ ((𝑋 ∪ 𝑌) ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)}) ⊆ 𝐴)
11	9, 10	sylib 221	. . 3 ⊢ ((𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → ((𝑋 ∪ 𝑌) ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)}) ⊆ 𝐴)
12	11	3adant1 1148	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → ((𝑋 ∪ 𝑌) ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)}) ⊆ 𝐴)
13	5, 12	eqsstrd 3972	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3091  {crab 3418   ∪ cun 3904   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  lecple 17341  joincjn 18391  Atomscatm 40097  +_𝑃cpadd 40629

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-padd 40630

This theorem is used by:  paddasslem8  40661  paddasslem11  40664  paddasslem12  40665  paddasslem13  40666  paddasslem16  40669  paddasslem17  40670  paddass  40672  padd4N  40674  paddclN  40676  pmodl42N  40685  pclunN  40732  paddunN  40761  pmapocjN  40764  pclfinclN  40784  osumcllem1N  40790  osumcllem2N  40791  osumcllem9N  40798  osumcllem11N  40800  osumclN  40801  pexmidlem6N  40809  pexmidlem8N  40811  pl42lem3N  40815