Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddssat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem paddssat 36820
Description: A projective subspace sum is a set of atoms. (Contributed by NM, 3-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
padd0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
padd0.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
paddssat ((𝐾𝐵𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴)

Proof of Theorem paddssat
Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2826 . . 3 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2 eqid 2826 . . 3 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
3 padd0.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 padd0.p . . 3 + = (+𝑃𝐾)
51, 2, 3, 4paddval 36804 . 2 ((𝐾𝐵𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋 + 𝑌) = ((𝑋𝑌) ∪ {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)}))
6 unss 4164 . . . . . 6 ((𝑋𝐴𝑌𝐴) ↔ (𝑋𝑌) ⊆ 𝐴)
76biimpi 217 . . . . 5 ((𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋𝑌) ⊆ 𝐴)
8 ssrab2 4060 . . . . 5 {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)} ⊆ 𝐴
97, 8jctir 521 . . . 4 ((𝑋𝐴𝑌𝐴) → ((𝑋𝑌) ⊆ 𝐴 ∧ {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)} ⊆ 𝐴))
10 unss 4164 . . . 4 (((𝑋𝑌) ⊆ 𝐴 ∧ {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)} ⊆ 𝐴) ↔ ((𝑋𝑌) ∪ {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)}) ⊆ 𝐴)
119, 10sylib 219 . . 3 ((𝑋𝐴𝑌𝐴) → ((𝑋𝑌) ∪ {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)}) ⊆ 𝐴)
12113adant1 1124 . 2 ((𝐾𝐵𝑋𝐴𝑌𝐴) → ((𝑋𝑌) ∪ {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)}) ⊆ 𝐴)
135, 12eqsstrd 4009 1 ((𝐾𝐵𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wrex 3144  {crab 3147  cun 3938  wss 3940   class class class wbr 5063  cfv 6352  (class class class)co 7148  lecple 16562  joincjn 17544  Atomscatm 36269  +𝑃cpadd 36801
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-padd 36802
This theorem is referenced by:  paddasslem8  36833  paddasslem11  36836  paddasslem12  36837  paddasslem13  36838  paddasslem16  36841  paddasslem17  36842  paddass  36844  padd4N  36846  paddclN  36848  pmodl42N  36857  pclunN  36904  paddunN  36933  pmapocjN  36936  pclfinclN  36956  osumcllem1N  36962  osumcllem2N  36963  osumcllem9N  36970  osumcllem11N  36972  osumclN  36973  pexmidlem6N  36981  pexmidlem8N  36983  pl42lem3N  36987
  Copyright terms: Public domain W3C validator