Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddssat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem paddssat 39797
Description: A projective subspace sum is a set of atoms. (Contributed by NM, 3-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
padd0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
padd0.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
paddssat ((𝐾𝐵𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴)

Proof of Theorem paddssat
Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2735 . . 3 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2 eqid 2735 . . 3 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
3 padd0.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 padd0.p . . 3 + = (+𝑃𝐾)
51, 2, 3, 4paddval 39781 . 2 ((𝐾𝐵𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋 + 𝑌) = ((𝑋𝑌) ∪ {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)}))
6 unss 4200 . . . . . 6 ((𝑋𝐴𝑌𝐴) ↔ (𝑋𝑌) ⊆ 𝐴)
76biimpi 216 . . . . 5 ((𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋𝑌) ⊆ 𝐴)
8 ssrab2 4090 . . . . 5 {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)} ⊆ 𝐴
97, 8jctir 520 . . . 4 ((𝑋𝐴𝑌𝐴) → ((𝑋𝑌) ⊆ 𝐴 ∧ {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)} ⊆ 𝐴))
10 unss 4200 . . . 4 (((𝑋𝑌) ⊆ 𝐴 ∧ {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)} ⊆ 𝐴) ↔ ((𝑋𝑌) ∪ {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)}) ⊆ 𝐴)
119, 10sylib 218 . . 3 ((𝑋𝐴𝑌𝐴) → ((𝑋𝑌) ∪ {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)}) ⊆ 𝐴)
12113adant1 1129 . 2 ((𝐾𝐵𝑋𝐴𝑌𝐴) → ((𝑋𝑌) ∪ {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)}) ⊆ 𝐴)
135, 12eqsstrd 4034 1 ((𝐾𝐵𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wrex 3068  {crab 3433  cun 3961  wss 3963   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  lecple 17305  joincjn 18369  Atomscatm 39245  +𝑃cpadd 39778
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-padd 39779
This theorem is referenced by:  paddasslem8  39810  paddasslem11  39813  paddasslem12  39814  paddasslem13  39815  paddasslem16  39818  paddasslem17  39819  paddass  39821  padd4N  39823  paddclN  39825  pmodl42N  39834  pclunN  39881  paddunN  39910  pmapocjN  39913  pclfinclN  39933  osumcllem1N  39939  osumcllem2N  39940  osumcllem9N  39947  osumcllem11N  39949  osumclN  39950  pexmidlem6N  39958  pexmidlem8N  39960  pl42lem3N  39964
  Copyright terms: Public domain W3C validator