Theorem pl42lem4N 39969

Description: Lemma for pl42N 39970. (Contributed by NM, 8-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pl42lem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pl42lem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
pl42lem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
pl42lem.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
pl42lem.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
pl42lem.f	⊢ 𝐹 = (pmap‘𝐾)
pl42lem.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pl42lem4N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑍 ≤ ( ⊥ ‘𝑊)) → (𝐹‘((((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍) ∨ 𝑊) ∧ 𝑉)) ⊆ (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ ((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉))))))

Proof of Theorem pl42lem4N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pl42lem.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		pl42lem.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		pl42lem.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		pl42lem.m	. . . . 5 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
5		pl42lem.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
6		pl42lem.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (pmap‘𝐾)
7		pl42lem.p	. . . . 5 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	pl42lem1N 39966	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑍 ≤ ( ⊥ ‘𝑊)) → (𝐹‘((((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍) ∨ 𝑊) ∧ 𝑉)) = (((((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) ∩ (𝐹‘𝑍)) + (𝐹‘𝑊)) ∩ (𝐹‘𝑉))))
9	8	3impia 1117	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑍 ≤ ( ⊥ ‘𝑊))) → (𝐹‘((((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍) ∨ 𝑊) ∧ 𝑉)) = (((((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) ∩ (𝐹‘𝑍)) + (𝐹‘𝑊)) ∩ (𝐹‘𝑉)))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	pl42lem3N 39968	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (((((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) ∩ (𝐹‘𝑍)) + (𝐹‘𝑊)) ∩ (𝐹‘𝑉)) ⊆ ((((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (𝐹‘𝑊)) ∩ (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (𝐹‘𝑉))))
11		simpl1 1192	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ HL)
12	11	hllatd 39350	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
13		simpl2 1193	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
14		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (PSubSp‘𝐾) = (PSubSp‘𝐾)
15	1, 14, 6	pmapsub 39755	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑋) ∈ (PSubSp‘𝐾))
16	12, 13, 15	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑋) ∈ (PSubSp‘𝐾))
17		simpl3 1194	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
18	1, 14, 6	pmapsub 39755	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑌) ∈ (PSubSp‘𝐾))
19	12, 17, 18	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑌) ∈ (PSubSp‘𝐾))
20		simpr2 1196	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → 𝑊 ∈ 𝐵)
21	1, 14, 6	pmapsub 39755	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑊) ∈ (PSubSp‘𝐾))
22	12, 20, 21	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑊) ∈ (PSubSp‘𝐾))
23		simpr3 1197	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → 𝑉 ∈ 𝐵)
24	1, 14, 6	pmapsub 39755	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑉) ∈ (PSubSp‘𝐾))
25	12, 23, 24	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑉) ∈ (PSubSp‘𝐾))
26	14, 7	pmodl42N 39838	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ (PSubSp‘𝐾) ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ (PSubSp‘𝐾)) ∧ ((𝐹‘𝑊) ∈ (PSubSp‘𝐾) ∧ (𝐹‘𝑉) ∈ (PSubSp‘𝐾))) → ((((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (𝐹‘𝑊)) ∩ (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (𝐹‘𝑉))) = (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑊)) ∩ ((𝐹‘𝑌) + (𝐹‘𝑉)))))
27	11, 16, 19, 22, 25, 26	syl32anc 1380	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → ((((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (𝐹‘𝑊)) ∩ (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (𝐹‘𝑉))) = (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑊)) ∩ ((𝐹‘𝑌) + (𝐹‘𝑉)))))
28	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	pl42lem2N 39967	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑊)) ∩ ((𝐹‘𝑌) + (𝐹‘𝑉)))) ⊆ (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ ((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉)))))
29	27, 28	eqsstrd 3978	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → ((((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (𝐹‘𝑊)) ∩ (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (𝐹‘𝑉))) ⊆ (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ ((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉)))))
30	10, 29	sstrd 3954	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (((((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) ∩ (𝐹‘𝑍)) + (𝐹‘𝑊)) ∩ (𝐹‘𝑉)) ⊆ (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ ((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉)))))
31	30	3adant3 1132	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑍 ≤ ( ⊥ ‘𝑊))) → (((((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) ∩ (𝐹‘𝑍)) + (𝐹‘𝑊)) ∩ (𝐹‘𝑉)) ⊆ (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ ((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉)))))
32	9, 31	eqsstrd 3978	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑍 ≤ ( ⊥ ‘𝑊))) → (𝐹‘((((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍) ∨ 𝑊) ∧ 𝑉)) ⊆ (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ ((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉)))))
33	32	3expia 1121	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑍 ≤ ( ⊥ ‘𝑊)) → (𝐹‘((((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍) ∨ 𝑊) ∧ 𝑉)) ⊆ (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ ((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3910   ⊆ wss 3911   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  lecple 17203  occoc 17204  joincjn 18252  meetcmee 18253  Latclat 18372  HLchlt 39336  PSubSpcpsubsp 39483  pmapcpmap 39484  +_𝑃cpadd 39782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-proset 18235  df-poset 18254  df-plt 18269  df-lub 18285  df-glb 18286  df-join 18287  df-meet 18288  df-p0 18364  df-p1 18365  df-lat 18373  df-clat 18440  df-oposet 39162  df-ol 39164  df-oml 39165  df-covers 39252  df-ats 39253  df-atl 39284  df-cvlat 39308  df-hlat 39337  df-psubsp 39490  df-pmap 39491  df-padd 39783  df-polarityN 39890  df-psubclN 39922

This theorem is referenced by:  pl42N  39970