Theorem pl42lem4N 40683

Description: Lemma for pl42N 40684. (Contributed by NM, 8-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pl42lem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pl42lem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
pl42lem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
pl42lem.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
pl42lem.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
pl42lem.f	⊢ 𝐹 = (pmap‘𝐾)
pl42lem.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pl42lem4N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑍 ≤ ( ⊥ ‘𝑊)) → (𝐹‘((((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍) ∨ 𝑊) ∧ 𝑉)) ⊆ (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ ((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉))))))

Proof of Theorem pl42lem4N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pl42lem.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		pl42lem.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		pl42lem.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		pl42lem.m	. . . . 5 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
5		pl42lem.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
6		pl42lem.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (pmap‘𝐾)
7		pl42lem.p	. . . . 5 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	pl42lem1N 40680	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑍 ≤ ( ⊥ ‘𝑊)) → (𝐹‘((((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍) ∨ 𝑊) ∧ 𝑉)) = (((((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) ∩ (𝐹‘𝑍)) + (𝐹‘𝑊)) ∩ (𝐹‘𝑉))))
9	8	3impia 1133	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑍 ≤ ( ⊥ ‘𝑊))) → (𝐹‘((((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍) ∨ 𝑊) ∧ 𝑉)) = (((((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) ∩ (𝐹‘𝑍)) + (𝐹‘𝑊)) ∩ (𝐹‘𝑉)))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	pl42lem3N 40682	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (((((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) ∩ (𝐹‘𝑍)) + (𝐹‘𝑊)) ∩ (𝐹‘𝑉)) ⊆ ((((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (𝐹‘𝑊)) ∩ (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (𝐹‘𝑉))))
11		simpl1 1208	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ HL)
12	11	hllatd 40065	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
13		simpl2 1209	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
14		eqid 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (PSubSp‘𝐾) = (PSubSp‘𝐾)
15	1, 14, 6	pmapsub 40469	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑋) ∈ (PSubSp‘𝐾))
16	12, 13, 15	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑋) ∈ (PSubSp‘𝐾))
17		simpl3 1210	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
18	1, 14, 6	pmapsub 40469	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑌) ∈ (PSubSp‘𝐾))
19	12, 17, 18	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑌) ∈ (PSubSp‘𝐾))
20		simpr2 1212	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → 𝑊 ∈ 𝐵)
21	1, 14, 6	pmapsub 40469	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑊) ∈ (PSubSp‘𝐾))
22	12, 20, 21	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑊) ∈ (PSubSp‘𝐾))
23		simpr3 1213	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → 𝑉 ∈ 𝐵)
24	1, 14, 6	pmapsub 40469	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑉) ∈ (PSubSp‘𝐾))
25	12, 23, 24	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑉) ∈ (PSubSp‘𝐾))
26	14, 7	pmodl42N 40552	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ (PSubSp‘𝐾) ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ (PSubSp‘𝐾)) ∧ ((𝐹‘𝑊) ∈ (PSubSp‘𝐾) ∧ (𝐹‘𝑉) ∈ (PSubSp‘𝐾))) → ((((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (𝐹‘𝑊)) ∩ (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (𝐹‘𝑉))) = (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑊)) ∩ ((𝐹‘𝑌) + (𝐹‘𝑉)))))
27	11, 16, 19, 22, 25, 26	syl32anc 1403	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → ((((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (𝐹‘𝑊)) ∩ (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (𝐹‘𝑉))) = (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑊)) ∩ ((𝐹‘𝑌) + (𝐹‘𝑉)))))
28	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	pl42lem2N 40681	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑊)) ∩ ((𝐹‘𝑌) + (𝐹‘𝑉)))) ⊆ (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ ((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉)))))
29	27, 28	eqsstrd 3979	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → ((((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (𝐹‘𝑊)) ∩ (((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) + (𝐹‘𝑉))) ⊆ (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ ((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉)))))
30	10, 29	sstrd 3955	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → (((((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) ∩ (𝐹‘𝑍)) + (𝐹‘𝑊)) ∩ (𝐹‘𝑉)) ⊆ (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ ((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉)))))
31	30	3adant3 1148	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑍 ≤ ( ⊥ ‘𝑊))) → (((((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) ∩ (𝐹‘𝑍)) + (𝐹‘𝑊)) ∩ (𝐹‘𝑉)) ⊆ (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ ((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉)))))
32	9, 31	eqsstrd 3979	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑍 ≤ ( ⊥ ‘𝑊))) → (𝐹‘((((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍) ∨ 𝑊) ∧ 𝑉)) ⊆ (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ ((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉)))))
33	32	3expia 1137	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑍 ≤ ( ⊥ ‘𝑊)) → (𝐹‘((((𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑍) ∨ 𝑊) ∧ 𝑉)) ⊆ (𝐹‘((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ ((𝑋 ∨ 𝑊) ∧ (𝑌 ∨ 𝑉))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5113  ‘cfv 6539  (class class class)co 7413  Basecbs 17271  lecple 17319  occoc 17320  joincjn 18369  meetcmee 18370  Latclat 18489  HLchlt 40051  PSubSpcpsubsp 40197  pmapcpmap 40198  +_𝑃cpadd 40496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5559  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18386  df-lub 18402  df-glb 18403  df-join 18404  df-meet 18405  df-p0 18481  df-p1 18482  df-lat 18490  df-clat 18557  df-oposet 39877  df-ol 39879  df-oml 39880  df-covers 39967  df-ats 39968  df-atl 39999  df-cvlat 40023  df-hlat 40052  df-psubsp 40204  df-pmap 40205  df-padd 40497  df-polarityN 40604  df-psubclN 40636

This theorem is referenced by:  pl42N  40684