Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pl42lem4N Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pl42lem4N 38551
Description: Lemma for pl42N 38552. (Contributed by NM, 8-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pl42lem.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
pl42lem.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
pl42lem.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
pl42lem.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
pl42lem.o βŠ₯ = (ocβ€˜πΎ)
pl42lem.f 𝐹 = (pmapβ€˜πΎ)
pl42lem.p + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
pl42lem4N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑍 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜((((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ∨ π‘Š) ∧ 𝑉)) βŠ† (πΉβ€˜((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ ((𝑋 ∨ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∨ 𝑉))))))
Proof of Theorem pl42lem4N
StepHypRef Expression
1 pl42lem.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 pl42lem.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 pl42lem.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
4 pl42lem.m . . . . 5 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
5 pl42lem.o . . . . 5 βŠ₯ = (ocβ€˜πΎ)
6 pl42lem.f . . . . 5 𝐹 = (pmapβ€˜πΎ)
7 pl42lem.p . . . . 5 + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7pl42lem1N 38548 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑍 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜((((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ∨ π‘Š) ∧ 𝑉)) = (((((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) ∩ (πΉβ€˜π‘)) + (πΉβ€˜π‘Š)) ∩ (πΉβ€˜π‘‰))))
983impia 1117 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑍 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Š))) β†’ (πΉβ€˜((((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ∨ π‘Š) ∧ 𝑉)) = (((((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) ∩ (πΉβ€˜π‘)) + (πΉβ€˜π‘Š)) ∩ (πΉβ€˜π‘‰)))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7pl42lem3N 38550 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ (((((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) ∩ (πΉβ€˜π‘)) + (πΉβ€˜π‘Š)) ∩ (πΉβ€˜π‘‰)) βŠ† ((((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) + (πΉβ€˜π‘Š)) ∩ (((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) + (πΉβ€˜π‘‰))))
11 simpl1 1191 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
1211hllatd 37932 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
13 simpl2 1192 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
14 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (PSubSpβ€˜πΎ) = (PSubSpβ€˜πΎ)
151, 14, 6pmapsub 38337 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ (PSubSpβ€˜πΎ))
1612, 13, 15syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ (PSubSpβ€˜πΎ))
17 simpl3 1193 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
181, 14, 6pmapsub 38337 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ (PSubSpβ€˜πΎ))
1912, 17, 18syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ (PSubSpβ€˜πΎ))
20 simpr2 1195 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
211, 14, 6pmapsub 38337 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘Š) ∈ (PSubSpβ€˜πΎ))
2212, 20, 21syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘Š) ∈ (PSubSpβ€˜πΎ))
23 simpr3 1196 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑉 ∈ 𝐡)
241, 14, 6pmapsub 38337 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘‰) ∈ (PSubSpβ€˜πΎ))
2512, 23, 24syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘‰) ∈ (PSubSpβ€˜πΎ))
2614, 7pmodl42N 38420 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ (PSubSpβ€˜πΎ) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ (PSubSpβ€˜πΎ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘Š) ∈ (PSubSpβ€˜πΎ) ∧ (πΉβ€˜π‘‰) ∈ (PSubSpβ€˜πΎ))) β†’ ((((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) + (πΉβ€˜π‘Š)) ∩ (((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) + (πΉβ€˜π‘‰))) = (((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) + (((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Š)) ∩ ((πΉβ€˜π‘Œ) + (πΉβ€˜π‘‰)))))
2711, 16, 19, 22, 25, 26syl32anc 1378 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) + (πΉβ€˜π‘Š)) ∩ (((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) + (πΉβ€˜π‘‰))) = (((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) + (((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Š)) ∩ ((πΉβ€˜π‘Œ) + (πΉβ€˜π‘‰)))))
281, 2, 3, 4, 5, 6, 7pl42lem2N 38549 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ (((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) + (((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Š)) ∩ ((πΉβ€˜π‘Œ) + (πΉβ€˜π‘‰)))) βŠ† (πΉβ€˜((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ ((𝑋 ∨ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∨ 𝑉)))))
2927, 28eqsstrd 4000 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) + (πΉβ€˜π‘Š)) ∩ (((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) + (πΉβ€˜π‘‰))) βŠ† (πΉβ€˜((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ ((𝑋 ∨ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∨ 𝑉)))))
3010, 29sstrd 3972 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ (((((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) ∩ (πΉβ€˜π‘)) + (πΉβ€˜π‘Š)) ∩ (πΉβ€˜π‘‰)) βŠ† (πΉβ€˜((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ ((𝑋 ∨ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∨ 𝑉)))))
31303adant3 1132 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑍 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Š))) β†’ (((((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) ∩ (πΉβ€˜π‘)) + (πΉβ€˜π‘Š)) ∩ (πΉβ€˜π‘‰)) βŠ† (πΉβ€˜((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ ((𝑋 ∨ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∨ 𝑉)))))
329, 31eqsstrd 4000 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑍 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Š))) β†’ (πΉβ€˜((((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ∨ π‘Š) ∧ 𝑉)) βŠ† (πΉβ€˜((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ ((𝑋 ∨ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∨ 𝑉)))))
33323expia 1121 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ∧ 𝑍 ≀ ( βŠ₯ β€˜π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜((((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ∨ π‘Š) ∧ 𝑉)) βŠ† (πΉβ€˜((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ ((𝑋 ∨ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∨ 𝑉))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3927   βŠ† wss 3928   class class class wbr 5125  β€˜cfv 6516  (class class class)co 7377  Basecbs 17109  lecple 17169  occoc 17170  joincjn 18229  meetcmee 18230  Latclat 18349  HLchlt 37918  PSubSpcpsubsp 38065  pmapcpmap 38066  +𝑃cpadd 38364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-iun 4976  df-iin 4977  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-id 5551  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-proset 18213  df-poset 18231  df-plt 18248  df-lub 18264  df-glb 18265  df-join 18266  df-meet 18267  df-p0 18343  df-p1 18344  df-lat 18350  df-clat 18417  df-oposet 37744  df-ol 37746  df-oml 37747  df-covers 37834  df-ats 37835  df-atl 37866  df-cvlat 37890  df-hlat 37919  df-psubsp 38072  df-pmap 38073  df-padd 38365  df-polarityN 38472  df-psubclN 38504
This theorem is referenced by:  pl42N  38552
  Copyright terms: Public domain W3C validator