Theorem pmapocjN 38796

Description: The projective map of the orthocomplement of the join of two lattice elements. (Contributed by NM, 14-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmapocj.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapocj.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
pmapocj.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
pmapocj.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
pmapocj.f	⊢ 𝐹 = (pmap‘𝐾)
pmapocj.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
pmapocj.r	⊢ 𝑁 = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmapocjN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘( ⊥ ‘(𝑋 ∨ 𝑌))) = (𝑁‘((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌))))

Proof of Theorem pmapocjN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmapocj.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		pmapocj.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		pmapocj.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (pmap‘𝐾)
4		pmapocj.p	. . . 4 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
5		pmapocj.r	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (⊥𝑃‘𝐾)
6	1, 2, 3, 4, 5	pmapj2N 38795	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌)) = (𝑁‘(𝑁‘((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)))))
7	6	fveq2d 6895	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌))) = (𝑁‘(𝑁‘(𝑁‘((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌))))))
8		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ HL)
9		hllat 38228	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
10	1, 2	latjcl 18391	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
11	9, 10	syl3an1 1163	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
12		pmapocj.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
13	1, 12, 3, 5	polpmapN 38778	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌))) = (𝐹‘( ⊥ ‘(𝑋 ∨ 𝑌))))
14	8, 11, 13	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌))) = (𝐹‘( ⊥ ‘(𝑋 ∨ 𝑌))))
15		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
16	1, 15, 3	pmapssat 38625	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾))
17	16	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾))
18	1, 15, 3	pmapssat 38625	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
19	18	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
20	15, 4	paddssat 38680	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹‘𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝐹‘𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) ⊆ (Atoms‘𝐾))
21	8, 17, 19, 20	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) ⊆ (Atoms‘𝐾))
22	15, 5	3polN 38782	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) ⊆ (Atoms‘𝐾)) → (𝑁‘(𝑁‘(𝑁‘((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌))))) = (𝑁‘((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌))))
23	8, 21, 22	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑁‘(𝑁‘((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌))))) = (𝑁‘((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌))))
24	7, 14, 23	3eqtr3d 2780	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘( ⊥ ‘(𝑋 ∨ 𝑌))) = (𝑁‘((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3948  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  occoc 17204  joincjn 18263  meetcmee 18264  Latclat 18383  Atomscatm 38128  HLchlt 38215  pmapcpmap 38363  +_𝑃cpadd 38661  ⊥_𝑃cpolN 38768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-proset 18247  df-poset 18265  df-plt 18282  df-lub 18298  df-glb 18299  df-join 18300  df-meet 18301  df-p0 18377  df-p1 18378  df-lat 18384  df-clat 18451  df-oposet 38041  df-ol 38043  df-oml 38044  df-covers 38131  df-ats 38132  df-atl 38163  df-cvlat 38187  df-hlat 38216  df-psubsp 38369  df-pmap 38370  df-padd 38662  df-polarityN 38769

This theorem is referenced by: (None)