Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmapocjN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmapocjN 39314
Description: The projective map of the orthocomplement of the join of two lattice elements. (Contributed by NM, 14-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pmapocj.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
pmapocj.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
pmapocj.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
pmapocj.o βŠ₯ = (ocβ€˜πΎ)
pmapocj.f 𝐹 = (pmapβ€˜πΎ)
pmapocj.p + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
pmapocj.r 𝑁 = (βŠ₯π‘ƒβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
pmapocjN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜( βŠ₯ β€˜(𝑋 ∨ π‘Œ))) = (π‘β€˜((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ))))

Proof of Theorem pmapocjN
StepHypRef Expression
1 pmapocj.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 pmapocj.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
3 pmapocj.f . . . 4 𝐹 = (pmapβ€˜πΎ)
4 pmapocj.p . . . 4 + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
5 pmapocj.r . . . 4 𝑁 = (βŠ₯π‘ƒβ€˜πΎ)
61, 2, 3, 4, 5pmapj2N 39313 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) = (π‘β€˜(π‘β€˜((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)))))
76fveq2d 6889 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘β€˜(πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ))) = (π‘β€˜(π‘β€˜(π‘β€˜((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ))))))
8 simp1 1133 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ HL)
9 hllat 38746 . . . 4 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
101, 2latjcl 18404 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
119, 10syl3an1 1160 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
12 pmapocj.o . . . 4 βŠ₯ = (ocβ€˜πΎ)
131, 12, 3, 5polpmapN 39296 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ (π‘β€˜(πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ))) = (πΉβ€˜( βŠ₯ β€˜(𝑋 ∨ π‘Œ))))
148, 11, 13syl2anc 583 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘β€˜(πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ))) = (πΉβ€˜( βŠ₯ β€˜(𝑋 ∨ π‘Œ))))
15 eqid 2726 . . . . . 6 (Atomsβ€˜πΎ) = (Atomsβ€˜πΎ)
161, 15, 3pmapssat 39143 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ))
17163adant3 1129 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ))
181, 15, 3pmapssat 39143 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ))
19183adant2 1128 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ))
2015, 4paddssat 39198 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (πΉβ€˜π‘‹) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ))
218, 17, 19, 20syl3anc 1368 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ))
2215, 53polN 39300 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘β€˜(π‘β€˜(π‘β€˜((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ))))) = (π‘β€˜((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ))))
238, 21, 22syl2anc 583 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘β€˜(π‘β€˜(π‘β€˜((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ))))) = (π‘β€˜((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ))))
247, 14, 233eqtr3d 2774 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜( βŠ₯ β€˜(𝑋 ∨ π‘Œ))) = (π‘β€˜((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3943  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  occoc 17214  joincjn 18276  meetcmee 18277  Latclat 18396  Atomscatm 38646  HLchlt 38733  pmapcpmap 38881  +𝑃cpadd 39179  βŠ₯𝑃cpolN 39286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-p1 18391  df-lat 18397  df-clat 18464  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-psubsp 38887  df-pmap 38888  df-padd 39180  df-polarityN 39287
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator