Theorem pmapocjN 40767

Description: The projective map of the orthocomplement of the join of two lattice elements. (Contributed by NM, 14-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmapocj.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapocj.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
pmapocj.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
pmapocj.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
pmapocj.f	⊢ 𝐹 = (pmap‘𝐾)
pmapocj.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
pmapocj.r	⊢ 𝑁 = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmapocjN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘( ⊥ ‘(𝑋 ∨ 𝑌))) = (𝑁‘((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌))))

Proof of Theorem pmapocjN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmapocj.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		pmapocj.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		pmapocj.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (pmap‘𝐾)
4		pmapocj.p	. . . 4 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
5		pmapocj.r	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (⊥𝑃‘𝐾)
6	1, 2, 3, 4, 5	pmapj2N 40766	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌)) = (𝑁‘(𝑁‘((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)))))
7	6	fveq2d 6890	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌))) = (𝑁‘(𝑁‘(𝑁‘((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌))))))
8		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ HL)
9		hllat 40200	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
10	1, 2	latjcl 18522	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
11	9, 10	syl3an1 1181	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
12		pmapocj.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
13	1, 12, 3, 5	polpmapN 40749	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌))) = (𝐹‘( ⊥ ‘(𝑋 ∨ 𝑌))))
14	8, 11, 13	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌))) = (𝐹‘( ⊥ ‘(𝑋 ∨ 𝑌))))
15		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
16	1, 15, 3	pmapssat 40596	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾))
17	16	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾))
18	1, 15, 3	pmapssat 40596	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
19	18	3adant2 1149	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
20	15, 4	paddssat 40651	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹‘𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝐹‘𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) ⊆ (Atoms‘𝐾))
21	8, 17, 19, 20	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) ⊆ (Atoms‘𝐾))
22	15, 5	3polN 40753	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) ⊆ (Atoms‘𝐾)) → (𝑁‘(𝑁‘(𝑁‘((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌))))) = (𝑁‘((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌))))
23	8, 21, 22	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑁‘(𝑁‘((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌))))) = (𝑁‘((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌))))
24	7, 14, 23	3eqtr3d 2808	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘( ⊥ ‘(𝑋 ∨ 𝑌))) = (𝑁‘((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3906  ‘cfv 6541  (class class class)co 7420  Basecbs 17296  occoc 17345  joincjn 18394  meetcmee 18395  Latclat 18514  Atomscatm 40100  HLchlt 40187  pmapcpmap 40334  +_𝑃cpadd 40632  ⊥_𝑃cpolN 40739

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7743

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6497  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-proset 18377  df-poset 18396  df-plt 18411  df-lub 18427  df-glb 18428  df-join 18429  df-meet 18430  df-p0 18506  df-p1 18507  df-lat 18515  df-clat 18582  df-oposet 40013  df-ol 40015  df-oml 40016  df-covers 40103  df-ats 40104  df-atl 40135  df-cvlat 40159  df-hlat 40188  df-psubsp 40340  df-pmap 40341  df-padd 40633  df-polarityN 40740

This theorem is used by: (None)