Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmapocjN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmapocjN 39932
Description: The projective map of the orthocomplement of the join of two lattice elements. (Contributed by NM, 14-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pmapocj.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapocj.j = (join‘𝐾)
pmapocj.m = (meet‘𝐾)
pmapocj.o = (oc‘𝐾)
pmapocj.f 𝐹 = (pmap‘𝐾)
pmapocj.p + = (+𝑃𝐾)
pmapocj.r 𝑁 = (⊥𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
pmapocjN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝐹‘( ‘(𝑋 𝑌))) = (𝑁‘((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌))))

Proof of Theorem pmapocjN
StepHypRef Expression
1 pmapocj.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 pmapocj.j . . . 4 = (join‘𝐾)
3 pmapocj.f . . . 4 𝐹 = (pmap‘𝐾)
4 pmapocj.p . . . 4 + = (+𝑃𝐾)
5 pmapocj.r . . . 4 𝑁 = (⊥𝑃𝐾)
61, 2, 3, 4, 5pmapj2N 39931 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝐹‘(𝑋 𝑌)) = (𝑁‘(𝑁‘((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌)))))
76fveq2d 6910 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑁‘(𝐹‘(𝑋 𝑌))) = (𝑁‘(𝑁‘(𝑁‘((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌))))))
8 simp1 1137 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ HL)
9 hllat 39364 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
101, 2latjcl 18484 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
119, 10syl3an1 1164 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
12 pmapocj.o . . . 4 = (oc‘𝐾)
131, 12, 3, 5polpmapN 39914 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝐹‘(𝑋 𝑌))) = (𝐹‘( ‘(𝑋 𝑌))))
148, 11, 13syl2anc 584 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑁‘(𝐹‘(𝑋 𝑌))) = (𝐹‘( ‘(𝑋 𝑌))))
15 eqid 2737 . . . . . 6 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
161, 15, 3pmapssat 39761 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (𝐹𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾))
17163adant3 1133 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝐹𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾))
181, 15, 3pmapssat 39761 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐵) → (𝐹𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
19183adant2 1132 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝐹𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
2015, 4paddssat 39816 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝐹𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌)) ⊆ (Atoms‘𝐾))
218, 17, 19, 20syl3anc 1373 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌)) ⊆ (Atoms‘𝐾))
2215, 53polN 39918 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌)) ⊆ (Atoms‘𝐾)) → (𝑁‘(𝑁‘(𝑁‘((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌))))) = (𝑁‘((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌))))
238, 21, 22syl2anc 584 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑁‘(𝑁‘(𝑁‘((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌))))) = (𝑁‘((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌))))
247, 14, 233eqtr3d 2785 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝐹‘( ‘(𝑋 𝑌))) = (𝑁‘((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wss 3951  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  occoc 17305  joincjn 18357  meetcmee 18358  Latclat 18476  Atomscatm 39264  HLchlt 39351  pmapcpmap 39499  +𝑃cpadd 39797  𝑃cpolN 39904
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-p1 18471  df-lat 18477  df-clat 18544  df-oposet 39177  df-ol 39179  df-oml 39180  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352  df-psubsp 39505  df-pmap 39506  df-padd 39798  df-polarityN 39905
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator