Theorem pmapocjN 37871

Description: The projective map of the orthocomplement of the join of two lattice elements. (Contributed by NM, 14-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmapocj.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapocj.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
pmapocj.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
pmapocj.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
pmapocj.f	⊢ 𝐹 = (pmap‘𝐾)
pmapocj.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
pmapocj.r	⊢ 𝑁 = (⊥𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmapocjN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘( ⊥ ‘(𝑋 ∨ 𝑌))) = (𝑁‘((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌))))

Proof of Theorem pmapocjN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmapocj.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		pmapocj.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		pmapocj.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (pmap‘𝐾)
4		pmapocj.p	. . . 4 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
5		pmapocj.r	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (⊥𝑃‘𝐾)
6	1, 2, 3, 4, 5	pmapj2N 37870	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌)) = (𝑁‘(𝑁‘((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)))))
7	6	fveq2d 6760	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌))) = (𝑁‘(𝑁‘(𝑁‘((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌))))))
8		simp1 1134	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ HL)
9		hllat 37304	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
10	1, 2	latjcl 18072	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
11	9, 10	syl3an1 1161	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
12		pmapocj.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
13	1, 12, 3, 5	polpmapN 37853	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌))) = (𝐹‘( ⊥ ‘(𝑋 ∨ 𝑌))))
14	8, 11, 13	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌))) = (𝐹‘( ⊥ ‘(𝑋 ∨ 𝑌))))
15		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
16	1, 15, 3	pmapssat 37700	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾))
17	16	3adant3 1130	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾))
18	1, 15, 3	pmapssat 37700	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
19	18	3adant2 1129	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
20	15, 4	paddssat 37755	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹‘𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝐹‘𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) ⊆ (Atoms‘𝐾))
21	8, 17, 19, 20	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) ⊆ (Atoms‘𝐾))
22	15, 5	3polN 37857	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌)) ⊆ (Atoms‘𝐾)) → (𝑁‘(𝑁‘(𝑁‘((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌))))) = (𝑁‘((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌))))
23	8, 21, 22	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑁‘(𝑁‘((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌))))) = (𝑁‘((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌))))
24	7, 14, 23	3eqtr3d 2786	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘( ⊥ ‘(𝑋 ∨ 𝑌))) = (𝑁‘((𝐹‘𝑋) + (𝐹‘𝑌))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3883  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  occoc 16896  joincjn 17944  meetcmee 17945  Latclat 18064  Atomscatm 37204  HLchlt 37291  pmapcpmap 37438  +_𝑃cpadd 37736  ⊥_𝑃cpolN 37843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-riotaBAD 36894

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-undef 8060  df-proset 17928  df-poset 17946  df-plt 17963  df-lub 17979  df-glb 17980  df-join 17981  df-meet 17982  df-p0 18058  df-p1 18059  df-lat 18065  df-clat 18132  df-oposet 37117  df-ol 37119  df-oml 37120  df-covers 37207  df-ats 37208  df-atl 37239  df-cvlat 37263  df-hlat 37292  df-psubsp 37444  df-pmap 37445  df-padd 37737  df-polarityN 37844

This theorem is referenced by: (None)