Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmapocjN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmapocjN 39443
Description: The projective map of the orthocomplement of the join of two lattice elements. (Contributed by NM, 14-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pmapocj.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
pmapocj.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
pmapocj.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
pmapocj.o βŠ₯ = (ocβ€˜πΎ)
pmapocj.f 𝐹 = (pmapβ€˜πΎ)
pmapocj.p + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
pmapocj.r 𝑁 = (βŠ₯π‘ƒβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
pmapocjN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜( βŠ₯ β€˜(𝑋 ∨ π‘Œ))) = (π‘β€˜((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ))))

Proof of Theorem pmapocjN
StepHypRef Expression
1 pmapocj.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 pmapocj.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
3 pmapocj.f . . . 4 𝐹 = (pmapβ€˜πΎ)
4 pmapocj.p . . . 4 + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
5 pmapocj.r . . . 4 𝑁 = (βŠ₯π‘ƒβ€˜πΎ)
61, 2, 3, 4, 5pmapj2N 39442 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) = (π‘β€˜(π‘β€˜((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)))))
76fveq2d 6906 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘β€˜(πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ))) = (π‘β€˜(π‘β€˜(π‘β€˜((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ))))))
8 simp1 1133 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ HL)
9 hllat 38875 . . . 4 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
101, 2latjcl 18440 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
119, 10syl3an1 1160 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
12 pmapocj.o . . . 4 βŠ₯ = (ocβ€˜πΎ)
131, 12, 3, 5polpmapN 39425 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ (π‘β€˜(πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ))) = (πΉβ€˜( βŠ₯ β€˜(𝑋 ∨ π‘Œ))))
148, 11, 13syl2anc 582 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘β€˜(πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ))) = (πΉβ€˜( βŠ₯ β€˜(𝑋 ∨ π‘Œ))))
15 eqid 2728 . . . . . 6 (Atomsβ€˜πΎ) = (Atomsβ€˜πΎ)
161, 15, 3pmapssat 39272 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ))
17163adant3 1129 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ))
181, 15, 3pmapssat 39272 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ))
19183adant2 1128 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ))
2015, 4paddssat 39327 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (πΉβ€˜π‘‹) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ))
218, 17, 19, 20syl3anc 1368 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ))
2215, 53polN 39429 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘β€˜(π‘β€˜(π‘β€˜((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ))))) = (π‘β€˜((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ))))
238, 21, 22syl2anc 582 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘β€˜(π‘β€˜(π‘β€˜((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ))))) = (π‘β€˜((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ))))
247, 14, 233eqtr3d 2776 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜( βŠ₯ β€˜(𝑋 ∨ π‘Œ))) = (π‘β€˜((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3949  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17189  occoc 17250  joincjn 18312  meetcmee 18313  Latclat 18432  Atomscatm 38775  HLchlt 38862  pmapcpmap 39010  +𝑃cpadd 39308  βŠ₯𝑃cpolN 39415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-proset 18296  df-poset 18314  df-plt 18331  df-lub 18347  df-glb 18348  df-join 18349  df-meet 18350  df-p0 18426  df-p1 18427  df-lat 18433  df-clat 18500  df-oposet 38688  df-ol 38690  df-oml 38691  df-covers 38778  df-ats 38779  df-atl 38810  df-cvlat 38834  df-hlat 38863  df-psubsp 39016  df-pmap 39017  df-padd 39309  df-polarityN 39416
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator