Theorem qtopconn 23596

Description: A quotient of a connected space is connected. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
qtopcmp.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
qtopconn	⊢ ((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹 Fn 𝑋) → (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Conn)

Proof of Theorem qtopconn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qtopcmp.1	. 2 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		conntop 23304	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Conn → 𝐽 ∈ Top)
3		eqid 2729	. . 3 ⊢ ∪ (𝐽 qTop 𝐹) = ∪ (𝐽 qTop 𝐹)
4	3	cnconn 23309	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋–onto→∪ (𝐽 qTop 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn (𝐽 qTop 𝐹))) → (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Conn)
5	1, 2, 4	qtopcmplem 23594	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹 Fn 𝑋) → (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Conn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∪ cuni 4871   Fn wfn 6506  (class class class)co 7387   qTop cqtop 17466  Conncconn 23298

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-map 8801  df-qtop 17470  df-top 22781  df-topon 22798  df-cld 22906  df-cn 23114  df-conn 23299

This theorem is referenced by: (None)