Theorem qtopconn 23603

Description: A quotient of a connected space is connected. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
qtopcmp.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
qtopconn	⊢ ((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹 Fn 𝑋) → (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Conn)

Proof of Theorem qtopconn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qtopcmp.1	. 2 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		conntop 23311	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Conn → 𝐽 ∈ Top)
3		eqid 2730	. . 3 ⊢ ∪ (𝐽 qTop 𝐹) = ∪ (𝐽 qTop 𝐹)
4	3	cnconn 23316	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋–onto→∪ (𝐽 qTop 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn (𝐽 qTop 𝐹))) → (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Conn)
5	1, 2, 4	qtopcmplem 23601	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹 Fn 𝑋) → (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Conn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∪ cuni 4874   Fn wfn 6509  (class class class)co 7390   qTop cqtop 17473  Conncconn 23305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-map 8804  df-qtop 17477  df-top 22788  df-topon 22805  df-cld 22913  df-cn 23121  df-conn 23306

This theorem is referenced by: (None)