Theorem qtopconn 23572

Description: A quotient of a connected space is connected. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
qtopcmp.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
qtopconn	⊢ ((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹 Fn 𝑋) → (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Conn)

Proof of Theorem qtopconn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qtopcmp.1	. 2 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		conntop 23280	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Conn → 𝐽 ∈ Top)
3		eqid 2729	. . 3 ⊢ ∪ (𝐽 qTop 𝐹) = ∪ (𝐽 qTop 𝐹)
4	3	cnconn 23285	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋–onto→∪ (𝐽 qTop 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn (𝐽 qTop 𝐹))) → (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Conn)
5	1, 2, 4	qtopcmplem 23570	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹 Fn 𝑋) → (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Conn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∪ cuni 4867   Fn wfn 6494  (class class class)co 7369   qTop cqtop 17442  Conncconn 23274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-map 8778  df-qtop 17446  df-top 22757  df-topon 22774  df-cld 22882  df-cn 23090  df-conn 23275

This theorem is referenced by: (None)