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Theorem cnconn 22573
Description: Connectedness is respected by a continuous onto map. (Contributed by Jeff Hankins, 12-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnconn.2 𝑌 = 𝐾
Assertion
Ref Expression
cnconn ((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐾 ∈ Conn)

Proof of Theorem cnconn
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntop2 22392 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
213ad2ant3 1134 . 2 ((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐾 ∈ Top)
3 df-ne 2944 . . . . . . 7 (𝑥 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝑥 = ∅)
4 eqid 2738 . . . . . . . . . . . 12 𝐽 = 𝐽
5 simpl1 1190 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝐽 ∈ Conn)
6 simpl3 1192 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
7 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)))
87elin1d 4132 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥𝐾)
9 cnima 22416 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑥𝐾) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐽)
106, 8, 9syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐽)
11 elssuni 4871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥𝐾𝑥 𝐾)
128, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥 𝐾)
13 cnconn.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑌 = 𝐾
1412, 13sseqtrrdi 3972 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥𝑌)
15 simpl2 1191 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝐹:𝑋onto𝑌)
16 forn 6691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹:𝑋onto𝑌 → ran 𝐹 = 𝑌)
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → ran 𝐹 = 𝑌)
1814, 17sseqtrrd 3962 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥 ⊆ ran 𝐹)
19 df-rn 5600 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ran 𝐹 = dom 𝐹
2018, 19sseqtrdi 3971 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥 ⊆ dom 𝐹)
21 sseqin2 4149 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ⊆ dom 𝐹 ↔ (dom 𝐹𝑥) = 𝑥)
2220, 21sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → (dom 𝐹𝑥) = 𝑥)
23 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥 ≠ ∅)
2422, 23eqnetrd 3011 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → (dom 𝐹𝑥) ≠ ∅)
25 imadisj 5988 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝑥) = ∅ ↔ (dom 𝐹𝑥) = ∅)
2625necon3bii 2996 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑥) ≠ ∅ ↔ (dom 𝐹𝑥) ≠ ∅)
2724, 26sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → (𝐹𝑥) ≠ ∅)
287elin2d 4133 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥 ∈ (Clsd‘𝐾))
29 cnclima 22419 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (Clsd‘𝐾)) → (𝐹𝑥) ∈ (Clsd‘𝐽))
306, 28, 29syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → (𝐹𝑥) ∈ (Clsd‘𝐽))
314, 5, 10, 27, 30connclo 22566 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → (𝐹𝑥) = 𝐽)
324, 13cnf 22397 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹: 𝐽𝑌)
33 fdm 6609 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹: 𝐽𝑌 → dom 𝐹 = 𝐽)
346, 32, 333syl 18 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → dom 𝐹 = 𝐽)
35 fof 6688 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑋onto𝑌𝐹:𝑋𝑌)
36 fdm 6609 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑋𝑌 → dom 𝐹 = 𝑋)
3715, 35, 363syl 18 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → dom 𝐹 = 𝑋)
3831, 34, 373eqtr2d 2784 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → (𝐹𝑥) = 𝑋)
3938imaeq2d 5969 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → (𝐹 “ (𝐹𝑥)) = (𝐹𝑋))
40 foimacnv 6733 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝑋onto𝑌𝑥𝑌) → (𝐹 “ (𝐹𝑥)) = 𝑥)
4115, 14, 40syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → (𝐹 “ (𝐹𝑥)) = 𝑥)
42 foima 6693 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝑋onto𝑌 → (𝐹𝑋) = 𝑌)
4315, 42syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → (𝐹𝑋) = 𝑌)
4439, 41, 433eqtr3d 2786 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥 = 𝑌)
4544expr 457 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾))) → (𝑥 ≠ ∅ → 𝑥 = 𝑌))
463, 45syl5bir 242 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾))) → (¬ 𝑥 = ∅ → 𝑥 = 𝑌))
4746orrd 860 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾))) → (𝑥 = ∅ ∨ 𝑥 = 𝑌))
48 vex 3436 . . . . . 6 𝑥 ∈ V
4948elpr 4584 . . . . 5 (𝑥 ∈ {∅, 𝑌} ↔ (𝑥 = ∅ ∨ 𝑥 = 𝑌))
5047, 49sylibr 233 . . . 4 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾))) → 𝑥 ∈ {∅, 𝑌})
5150ex 413 . . 3 ((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) → 𝑥 ∈ {∅, 𝑌}))
5251ssrdv 3927 . 2 ((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ⊆ {∅, 𝑌})
5313isconn2 22565 . 2 (𝐾 ∈ Conn ↔ (𝐾 ∈ Top ∧ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ⊆ {∅, 𝑌}))
542, 52, 53sylanbrc 583 1 ((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐾 ∈ Conn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wo 844  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  cin 3886  wss 3887  c0 4256  {cpr 4563   cuni 4839  ccnv 5588  dom cdm 5589  ran crn 5590  cima 5592  wf 6429  ontowfo 6431  cfv 6433  (class class class)co 7275  Topctop 22042  Clsdccld 22167   Cn ccn 22375  Conncconn 22562
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-fo 6439  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-map 8617  df-top 22043  df-topon 22060  df-cld 22170  df-cn 22378  df-conn 22563
This theorem is referenced by:  connima  22576  conncn  22577  qtopconn  22860  connhmph  22940  ivthALT  34524
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