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Theorem cnconn 21958
Description: Connectedness is respected by a continuous onto map. (Contributed by Jeff Hankins, 12-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnconn.2 𝑌 = 𝐾
Assertion
Ref Expression
cnconn ((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐾 ∈ Conn)

Proof of Theorem cnconn
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntop2 21777 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
213ad2ant3 1127 . 2 ((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐾 ∈ Top)
3 df-ne 3014 . . . . . . 7 (𝑥 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝑥 = ∅)
4 eqid 2818 . . . . . . . . . . . 12 𝐽 = 𝐽
5 simpl1 1183 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝐽 ∈ Conn)
6 simpl3 1185 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
7 simprl 767 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)))
87elin1d 4172 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥𝐾)
9 cnima 21801 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑥𝐾) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐽)
106, 8, 9syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐽)
11 elssuni 4859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥𝐾𝑥 𝐾)
128, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥 𝐾)
13 cnconn.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑌 = 𝐾
1412, 13sseqtrrdi 4015 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥𝑌)
15 simpl2 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝐹:𝑋onto𝑌)
16 forn 6586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹:𝑋onto𝑌 → ran 𝐹 = 𝑌)
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → ran 𝐹 = 𝑌)
1814, 17sseqtrrd 4005 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥 ⊆ ran 𝐹)
19 df-rn 5559 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ran 𝐹 = dom 𝐹
2018, 19sseqtrdi 4014 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥 ⊆ dom 𝐹)
21 sseqin2 4189 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ⊆ dom 𝐹 ↔ (dom 𝐹𝑥) = 𝑥)
2220, 21sylib 219 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → (dom 𝐹𝑥) = 𝑥)
23 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥 ≠ ∅)
2422, 23eqnetrd 3080 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → (dom 𝐹𝑥) ≠ ∅)
25 imadisj 5941 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝑥) = ∅ ↔ (dom 𝐹𝑥) = ∅)
2625necon3bii 3065 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑥) ≠ ∅ ↔ (dom 𝐹𝑥) ≠ ∅)
2724, 26sylibr 235 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → (𝐹𝑥) ≠ ∅)
287elin2d 4173 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥 ∈ (Clsd‘𝐾))
29 cnclima 21804 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (Clsd‘𝐾)) → (𝐹𝑥) ∈ (Clsd‘𝐽))
306, 28, 29syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → (𝐹𝑥) ∈ (Clsd‘𝐽))
314, 5, 10, 27, 30connclo 21951 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → (𝐹𝑥) = 𝐽)
324, 13cnf 21782 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹: 𝐽𝑌)
33 fdm 6515 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹: 𝐽𝑌 → dom 𝐹 = 𝐽)
346, 32, 333syl 18 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → dom 𝐹 = 𝐽)
35 fof 6583 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑋onto𝑌𝐹:𝑋𝑌)
36 fdm 6515 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑋𝑌 → dom 𝐹 = 𝑋)
3715, 35, 363syl 18 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → dom 𝐹 = 𝑋)
3831, 34, 373eqtr2d 2859 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → (𝐹𝑥) = 𝑋)
3938imaeq2d 5922 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → (𝐹 “ (𝐹𝑥)) = (𝐹𝑋))
40 foimacnv 6625 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝑋onto𝑌𝑥𝑌) → (𝐹 “ (𝐹𝑥)) = 𝑥)
4115, 14, 40syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → (𝐹 “ (𝐹𝑥)) = 𝑥)
42 foima 6588 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝑋onto𝑌 → (𝐹𝑋) = 𝑌)
4315, 42syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → (𝐹𝑋) = 𝑌)
4439, 41, 433eqtr3d 2861 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥 = 𝑌)
4544expr 457 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾))) → (𝑥 ≠ ∅ → 𝑥 = 𝑌))
463, 45syl5bir 244 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾))) → (¬ 𝑥 = ∅ → 𝑥 = 𝑌))
4746orrd 857 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾))) → (𝑥 = ∅ ∨ 𝑥 = 𝑌))
48 vex 3495 . . . . . 6 𝑥 ∈ V
4948elpr 4580 . . . . 5 (𝑥 ∈ {∅, 𝑌} ↔ (𝑥 = ∅ ∨ 𝑥 = 𝑌))
5047, 49sylibr 235 . . . 4 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾))) → 𝑥 ∈ {∅, 𝑌})
5150ex 413 . . 3 ((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) → 𝑥 ∈ {∅, 𝑌}))
5251ssrdv 3970 . 2 ((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ⊆ {∅, 𝑌})
5313isconn2 21950 . 2 (𝐾 ∈ Conn ↔ (𝐾 ∈ Top ∧ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ⊆ {∅, 𝑌}))
542, 52, 53sylanbrc 583 1 ((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐾 ∈ Conn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wo 841  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  cin 3932  wss 3933  c0 4288  {cpr 4559   cuni 4830  ccnv 5547  dom cdm 5548  ran crn 5549  cima 5551  wf 6344  ontowfo 6346  cfv 6348  (class class class)co 7145  Topctop 21429  Clsdccld 21552   Cn ccn 21760  Conncconn 21947
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-fo 6354  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-map 8397  df-top 21430  df-topon 21447  df-cld 21555  df-cn 21763  df-conn 21948
This theorem is referenced by:  connima  21961  conncn  21962  qtopconn  22245  connhmph  22325  ivthALT  33580
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