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Theorem cnconn 23430
Description: Connectedness is respected by a continuous onto map. (Contributed by Jeff Hankins, 12-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnconn.2 𝑌 = 𝐾
Assertion
Ref Expression
cnconn ((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐾 ∈ Conn)

Proof of Theorem cnconn
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntop2 23249 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
213ad2ant3 1136 . 2 ((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐾 ∈ Top)
3 df-ne 2941 . . . . . . 7 (𝑥 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝑥 = ∅)
4 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 𝐽 = 𝐽
5 simpl1 1192 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝐽 ∈ Conn)
6 simpl3 1194 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
7 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)))
87elin1d 4204 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥𝐾)
9 cnima 23273 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑥𝐾) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐽)
106, 8, 9syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐽)
11 elssuni 4937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥𝐾𝑥 𝐾)
128, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥 𝐾)
13 cnconn.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑌 = 𝐾
1412, 13sseqtrrdi 4025 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥𝑌)
15 simpl2 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝐹:𝑋onto𝑌)
16 forn 6823 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹:𝑋onto𝑌 → ran 𝐹 = 𝑌)
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → ran 𝐹 = 𝑌)
1814, 17sseqtrrd 4021 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥 ⊆ ran 𝐹)
19 df-rn 5696 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ran 𝐹 = dom 𝐹
2018, 19sseqtrdi 4024 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥 ⊆ dom 𝐹)
21 sseqin2 4223 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ⊆ dom 𝐹 ↔ (dom 𝐹𝑥) = 𝑥)
2220, 21sylib 218 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → (dom 𝐹𝑥) = 𝑥)
23 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥 ≠ ∅)
2422, 23eqnetrd 3008 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → (dom 𝐹𝑥) ≠ ∅)
25 imadisj 6098 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝑥) = ∅ ↔ (dom 𝐹𝑥) = ∅)
2625necon3bii 2993 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑥) ≠ ∅ ↔ (dom 𝐹𝑥) ≠ ∅)
2724, 26sylibr 234 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → (𝐹𝑥) ≠ ∅)
287elin2d 4205 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥 ∈ (Clsd‘𝐾))
29 cnclima 23276 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (Clsd‘𝐾)) → (𝐹𝑥) ∈ (Clsd‘𝐽))
306, 28, 29syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → (𝐹𝑥) ∈ (Clsd‘𝐽))
314, 5, 10, 27, 30connclo 23423 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → (𝐹𝑥) = 𝐽)
324, 13cnf 23254 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹: 𝐽𝑌)
33 fdm 6745 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹: 𝐽𝑌 → dom 𝐹 = 𝐽)
346, 32, 333syl 18 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → dom 𝐹 = 𝐽)
35 fof 6820 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑋onto𝑌𝐹:𝑋𝑌)
36 fdm 6745 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑋𝑌 → dom 𝐹 = 𝑋)
3715, 35, 363syl 18 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → dom 𝐹 = 𝑋)
3831, 34, 373eqtr2d 2783 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → (𝐹𝑥) = 𝑋)
3938imaeq2d 6078 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → (𝐹 “ (𝐹𝑥)) = (𝐹𝑋))
40 foimacnv 6865 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝑋onto𝑌𝑥𝑌) → (𝐹 “ (𝐹𝑥)) = 𝑥)
4115, 14, 40syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → (𝐹 “ (𝐹𝑥)) = 𝑥)
42 foima 6825 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝑋onto𝑌 → (𝐹𝑋) = 𝑌)
4315, 42syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → (𝐹𝑋) = 𝑌)
4439, 41, 433eqtr3d 2785 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥 = 𝑌)
4544expr 456 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾))) → (𝑥 ≠ ∅ → 𝑥 = 𝑌))
463, 45biimtrrid 243 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾))) → (¬ 𝑥 = ∅ → 𝑥 = 𝑌))
4746orrd 864 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾))) → (𝑥 = ∅ ∨ 𝑥 = 𝑌))
48 vex 3484 . . . . . 6 𝑥 ∈ V
4948elpr 4650 . . . . 5 (𝑥 ∈ {∅, 𝑌} ↔ (𝑥 = ∅ ∨ 𝑥 = 𝑌))
5047, 49sylibr 234 . . . 4 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾))) → 𝑥 ∈ {∅, 𝑌})
5150ex 412 . . 3 ((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) → 𝑥 ∈ {∅, 𝑌}))
5251ssrdv 3989 . 2 ((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ⊆ {∅, 𝑌})
5313isconn2 23422 . 2 (𝐾 ∈ Conn ↔ (𝐾 ∈ Top ∧ (𝐾 ∩ (Clsd‘𝐾)) ⊆ {∅, 𝑌}))
542, 52, 53sylanbrc 583 1 ((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐾 ∈ Conn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  cin 3950  wss 3951  c0 4333  {cpr 4628   cuni 4907  ccnv 5684  dom cdm 5685  ran crn 5686  cima 5688  wf 6557  ontowfo 6559  cfv 6561  (class class class)co 7431  Topctop 22899  Clsdccld 23024   Cn ccn 23232  Conncconn 23419
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fo 6567  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8868  df-top 22900  df-topon 22917  df-cld 23027  df-cn 23235  df-conn 23420
This theorem is referenced by:  connima  23433  conncn  23434  qtopconn  23717  connhmph  23797  ivthALT  36336
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