Theorem seff 45133

Description: Let set 𝑆 be the real or complex numbers. Then the exponential function restricted to 𝑆 is a mapping from 𝑆 to 𝑆. (Contributed by Steve Rodriguez, 6-Nov-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
seff.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})

Assertion

Ref	Expression
seff	⊢ (𝜑 → (exp ↾ 𝑆):𝑆⟶𝑆)

Proof of Theorem seff

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seff.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2		elpri 4608	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
3		reeff1 16208	. . . . . 6 ⊢ (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+
4		f1f 6771	. . . . . 6 ⊢ ((exp ↾ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+ → (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+)
5		rpssre 13050	. . . . . . 7 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
6		fss 6719	. . . . . . 7 ⊢ (((exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+ ∧ ℝ+ ⊆ ℝ) → (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
7	5, 6	mpan2 704	. . . . . 6 ⊢ ((exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+ → (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
8	3, 4, 7	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ
9		feq23 6683	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 = ℝ ∧ 𝑆 = ℝ) → ((exp ↾ ℝ):𝑆⟶𝑆 ↔ (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ))
10	9	anidms 577	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = ℝ → ((exp ↾ ℝ):𝑆⟶𝑆 ↔ (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ))
11	8, 10	mpbiri 261	. . . 4 ⊢ (𝑆 = ℝ → (exp ↾ ℝ):𝑆⟶𝑆)
12		reseq2 5967	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = ℝ → (exp ↾ 𝑆) = (exp ↾ ℝ))
13	12	feq1d 6684	. . . 4 ⊢ (𝑆 = ℝ → ((exp ↾ 𝑆):𝑆⟶𝑆 ↔ (exp ↾ ℝ):𝑆⟶𝑆))
14	11, 13	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝑆 = ℝ → (exp ↾ 𝑆):𝑆⟶𝑆)
15		eff 16167	. . . . . 6 ⊢ exp:ℂ⟶ℂ
16		frel 6708	. . . . . . . . 9 ⊢ (exp:ℂ⟶ℂ → Rel exp)
17		resdm 6019	. . . . . . . . 9 ⊢ (Rel exp → (exp ↾ dom exp) = exp)
18	15, 16, 17	mp2b 10	. . . . . . . 8 ⊢ (exp ↾ dom exp) = exp
19	15	fdmi 6714	. . . . . . . . 9 ⊢ dom exp = ℂ
20	19	reseq2i 5969	. . . . . . . 8 ⊢ (exp ↾ dom exp) = (exp ↾ ℂ)
21	18, 20	eqtr3i 2785	. . . . . . 7 ⊢ exp = (exp ↾ ℂ)
22	21	feq1i 6693	. . . . . 6 ⊢ (exp:ℂ⟶ℂ ↔ (exp ↾ ℂ):ℂ⟶ℂ)
23	15, 22	mpbi 233	. . . . 5 ⊢ (exp ↾ ℂ):ℂ⟶ℂ
24		feq23 6683	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 = ℂ ∧ 𝑆 = ℂ) → ((exp ↾ ℂ):𝑆⟶𝑆 ↔ (exp ↾ ℂ):ℂ⟶ℂ))
25	24	anidms 577	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = ℂ → ((exp ↾ ℂ):𝑆⟶𝑆 ↔ (exp ↾ ℂ):ℂ⟶ℂ))
26	23, 25	mpbiri 261	. . . 4 ⊢ (𝑆 = ℂ → (exp ↾ ℂ):𝑆⟶𝑆)
27		reseq2 5967	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = ℂ → (exp ↾ 𝑆) = (exp ↾ ℂ))
28	27	feq1d 6684	. . . 4 ⊢ (𝑆 = ℂ → ((exp ↾ 𝑆):𝑆⟶𝑆 ↔ (exp ↾ ℂ):𝑆⟶𝑆))
29	26, 28	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝑆 = ℂ → (exp ↾ 𝑆):𝑆⟶𝑆)
30	14, 29	jaoi 871	. 2 ⊢ ((𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ) → (exp ↾ 𝑆):𝑆⟶𝑆)
31	1, 2, 30	3syl 19	1 ⊢ (𝜑 → (exp ↾ 𝑆):𝑆⟶𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  {cpr 4586  dom cdm 5655   ↾ cres 5657  Rel wrel 5660  ⟶wf 6529  –1-1→wf1 6530  ℂcc 11122  ℝcr 11123  ℝ⁺crp 13042  expce 16147

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-inf2 9620  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-pm 8829  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-rp 13043  df-ico 13404  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-fl 13853  df-seq 14066  df-exp 14126  df-fac 14338  df-bc 14367  df-hash 14395  df-shft 15140  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-limsup 15558  df-clim 15575  df-rlim 15576  df-sum 15774  df-ef 16153

This theorem is used by: (None)