Theorem seff 44342

Description: Let set 𝑆 be the real or complex numbers. Then the exponential function restricted to 𝑆 is a mapping from 𝑆 to 𝑆. (Contributed by Steve Rodriguez, 6-Nov-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
seff.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})

Assertion

Ref	Expression
seff	⊢ (𝜑 → (exp ↾ 𝑆):𝑆⟶𝑆)

Proof of Theorem seff

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seff.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2		elpri 4595	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
3		reeff1 16024	. . . . . 6 ⊢ (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+
4		f1f 6714	. . . . . 6 ⊢ ((exp ↾ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+ → (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+)
5		rpssre 12893	. . . . . . 7 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
6		fss 6662	. . . . . . 7 ⊢ (((exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+ ∧ ℝ+ ⊆ ℝ) → (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
7	5, 6	mpan2 691	. . . . . 6 ⊢ ((exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+ → (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
8	3, 4, 7	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ
9		feq23 6627	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 = ℝ ∧ 𝑆 = ℝ) → ((exp ↾ ℝ):𝑆⟶𝑆 ↔ (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ))
10	9	anidms 566	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = ℝ → ((exp ↾ ℝ):𝑆⟶𝑆 ↔ (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ))
11	8, 10	mpbiri 258	. . . 4 ⊢ (𝑆 = ℝ → (exp ↾ ℝ):𝑆⟶𝑆)
12		reseq2 5918	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = ℝ → (exp ↾ 𝑆) = (exp ↾ ℝ))
13	12	feq1d 6628	. . . 4 ⊢ (𝑆 = ℝ → ((exp ↾ 𝑆):𝑆⟶𝑆 ↔ (exp ↾ ℝ):𝑆⟶𝑆))
14	11, 13	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝑆 = ℝ → (exp ↾ 𝑆):𝑆⟶𝑆)
15		eff 15983	. . . . . 6 ⊢ exp:ℂ⟶ℂ
16		frel 6651	. . . . . . . . 9 ⊢ (exp:ℂ⟶ℂ → Rel exp)
17		resdm 5970	. . . . . . . . 9 ⊢ (Rel exp → (exp ↾ dom exp) = exp)
18	15, 16, 17	mp2b 10	. . . . . . . 8 ⊢ (exp ↾ dom exp) = exp
19	15	fdmi 6657	. . . . . . . . 9 ⊢ dom exp = ℂ
20	19	reseq2i 5920	. . . . . . . 8 ⊢ (exp ↾ dom exp) = (exp ↾ ℂ)
21	18, 20	eqtr3i 2756	. . . . . . 7 ⊢ exp = (exp ↾ ℂ)
22	21	feq1i 6637	. . . . . 6 ⊢ (exp:ℂ⟶ℂ ↔ (exp ↾ ℂ):ℂ⟶ℂ)
23	15, 22	mpbi 230	. . . . 5 ⊢ (exp ↾ ℂ):ℂ⟶ℂ
24		feq23 6627	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 = ℂ ∧ 𝑆 = ℂ) → ((exp ↾ ℂ):𝑆⟶𝑆 ↔ (exp ↾ ℂ):ℂ⟶ℂ))
25	24	anidms 566	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = ℂ → ((exp ↾ ℂ):𝑆⟶𝑆 ↔ (exp ↾ ℂ):ℂ⟶ℂ))
26	23, 25	mpbiri 258	. . . 4 ⊢ (𝑆 = ℂ → (exp ↾ ℂ):𝑆⟶𝑆)
27		reseq2 5918	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = ℂ → (exp ↾ 𝑆) = (exp ↾ ℂ))
28	27	feq1d 6628	. . . 4 ⊢ (𝑆 = ℂ → ((exp ↾ 𝑆):𝑆⟶𝑆 ↔ (exp ↾ ℂ):𝑆⟶𝑆))
29	26, 28	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝑆 = ℂ → (exp ↾ 𝑆):𝑆⟶𝑆)
30	14, 29	jaoi 857	. 2 ⊢ ((𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ) → (exp ↾ 𝑆):𝑆⟶𝑆)
31	1, 2, 30	3syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (exp ↾ 𝑆):𝑆⟶𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3897  {cpr 4573  dom cdm 5611   ↾ cres 5613  Rel wrel 5616  ⟶wf 6472  –1-1→wf1 6473  ℂcc 10999  ℝcr 11000  ℝ⁺crp 12885  expce 15963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-inf2 9526  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-se 5565  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-pm 8748  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-sup 9321  df-inf 9322  df-oi 9391  df-card 9827  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-rp 12886  df-ico 13246  df-fz 13403  df-fzo 13550  df-fl 13691  df-seq 13904  df-exp 13964  df-fac 14176  df-bc 14205  df-hash 14233  df-shft 14969  df-cj 15001  df-re 15002  df-im 15003  df-sqrt 15137  df-abs 15138  df-limsup 15373  df-clim 15390  df-rlim 15391  df-sum 15589  df-ef 15969

This theorem is referenced by: (None)