Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  seff Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem seff 43557
Description: Let set 𝑆 be the real or complex numbers. Then the exponential function restricted to 𝑆 is a mapping from 𝑆 to 𝑆. (Contributed by Steve Rodriguez, 6-Nov-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
seff.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
Assertion
Ref Expression
seff (πœ‘ β†’ (exp β†Ύ 𝑆):π‘†βŸΆπ‘†)
Proof of Theorem seff
StepHypRef Expression
1 seff.s . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
2 elpri 4642 . 2 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = β„‚))
3 reeff1 16060 . . . . . 6 (exp β†Ύ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+
4 f1f 6777 . . . . . 6 ((exp β†Ύ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+ β†’ (exp β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„+)
5 rpssre 12978 . . . . . . 7 ℝ+ βŠ† ℝ
6 fss 6724 . . . . . . 7 (((exp β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„+ ∧ ℝ+ βŠ† ℝ) β†’ (exp β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„)
75, 6mpan2 688 . . . . . 6 ((exp β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„+ β†’ (exp β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„)
83, 4, 7mp2b 10 . . . . 5 (exp β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„
9 feq23 6691 . . . . . 6 ((𝑆 = ℝ ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ ((exp β†Ύ ℝ):π‘†βŸΆπ‘† ↔ (exp β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„))
109anidms 566 . . . . 5 (𝑆 = ℝ β†’ ((exp β†Ύ ℝ):π‘†βŸΆπ‘† ↔ (exp β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„))
118, 10mpbiri 258 . . . 4 (𝑆 = ℝ β†’ (exp β†Ύ ℝ):π‘†βŸΆπ‘†)
12 reseq2 5966 . . . . 5 (𝑆 = ℝ β†’ (exp β†Ύ 𝑆) = (exp β†Ύ ℝ))
1312feq1d 6692 . . . 4 (𝑆 = ℝ β†’ ((exp β†Ύ 𝑆):π‘†βŸΆπ‘† ↔ (exp β†Ύ ℝ):π‘†βŸΆπ‘†))
1411, 13mpbird 257 . . 3 (𝑆 = ℝ β†’ (exp β†Ύ 𝑆):π‘†βŸΆπ‘†)
15 eff 16022 . . . . . 6 exp:β„‚βŸΆβ„‚
16 frel 6712 . . . . . . . . 9 (exp:β„‚βŸΆβ„‚ β†’ Rel exp)
17 resdm 6016 . . . . . . . . 9 (Rel exp β†’ (exp β†Ύ dom exp) = exp)
1815, 16, 17mp2b 10 . . . . . . . 8 (exp β†Ύ dom exp) = exp
1915fdmi 6719 . . . . . . . . 9 dom exp = β„‚
2019reseq2i 5968 . . . . . . . 8 (exp β†Ύ dom exp) = (exp β†Ύ β„‚)
2118, 20eqtr3i 2754 . . . . . . 7 exp = (exp β†Ύ β„‚)
2221feq1i 6698 . . . . . 6 (exp:β„‚βŸΆβ„‚ ↔ (exp β†Ύ β„‚):β„‚βŸΆβ„‚)
2315, 22mpbi 229 . . . . 5 (exp β†Ύ β„‚):β„‚βŸΆβ„‚
24 feq23 6691 . . . . . 6 ((𝑆 = β„‚ ∧ 𝑆 = β„‚) β†’ ((exp β†Ύ β„‚):π‘†βŸΆπ‘† ↔ (exp β†Ύ β„‚):β„‚βŸΆβ„‚))
2524anidms 566 . . . . 5 (𝑆 = β„‚ β†’ ((exp β†Ύ β„‚):π‘†βŸΆπ‘† ↔ (exp β†Ύ β„‚):β„‚βŸΆβ„‚))
2623, 25mpbiri 258 . . . 4 (𝑆 = β„‚ β†’ (exp β†Ύ β„‚):π‘†βŸΆπ‘†)
27 reseq2 5966 . . . . 5 (𝑆 = β„‚ β†’ (exp β†Ύ 𝑆) = (exp β†Ύ β„‚))
2827feq1d 6692 . . . 4 (𝑆 = β„‚ β†’ ((exp β†Ύ 𝑆):π‘†βŸΆπ‘† ↔ (exp β†Ύ β„‚):π‘†βŸΆπ‘†))
2926, 28mpbird 257 . . 3 (𝑆 = β„‚ β†’ (exp β†Ύ 𝑆):π‘†βŸΆπ‘†)
3014, 29jaoi 854 . 2 ((𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = β„‚) β†’ (exp β†Ύ 𝑆):π‘†βŸΆπ‘†)
311, 2, 303syl 18 1 (πœ‘ β†’ (exp β†Ύ 𝑆):π‘†βŸΆπ‘†)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3940  {cpr 4622  dom cdm 5666   β†Ύ cres 5668  Rel wrel 5671  βŸΆwf 6529  β€“1-1β†’wf1 6530  β„‚cc 11104  β„cr 11105  β„+crp 12971  expce 16002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-ico 13327  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-seq 13964  df-exp 14025  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-shft 15011  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-limsup 15412  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-sum 15630  df-ef 16008
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator