Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  seff Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem seff 43669
Description: Let set 𝑆 be the real or complex numbers. Then the exponential function restricted to 𝑆 is a mapping from 𝑆 to 𝑆. (Contributed by Steve Rodriguez, 6-Nov-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
seff.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
Assertion
Ref Expression
seff (πœ‘ β†’ (exp β†Ύ 𝑆):π‘†βŸΆπ‘†)
Proof of Theorem seff
StepHypRef Expression
1 seff.s . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
2 elpri 4646 . 2 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = β„‚))
3 reeff1 16088 . . . . . 6 (exp β†Ύ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+
4 f1f 6787 . . . . . 6 ((exp β†Ύ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+ β†’ (exp β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„+)
5 rpssre 13005 . . . . . . 7 ℝ+ βŠ† ℝ
6 fss 6733 . . . . . . 7 (((exp β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„+ ∧ ℝ+ βŠ† ℝ) β†’ (exp β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„)
75, 6mpan2 690 . . . . . 6 ((exp β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„+ β†’ (exp β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„)
83, 4, 7mp2b 10 . . . . 5 (exp β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„
9 feq23 6700 . . . . . 6 ((𝑆 = ℝ ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ ((exp β†Ύ ℝ):π‘†βŸΆπ‘† ↔ (exp β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„))
109anidms 566 . . . . 5 (𝑆 = ℝ β†’ ((exp β†Ύ ℝ):π‘†βŸΆπ‘† ↔ (exp β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„))
118, 10mpbiri 258 . . . 4 (𝑆 = ℝ β†’ (exp β†Ύ ℝ):π‘†βŸΆπ‘†)
12 reseq2 5974 . . . . 5 (𝑆 = ℝ β†’ (exp β†Ύ 𝑆) = (exp β†Ύ ℝ))
1312feq1d 6701 . . . 4 (𝑆 = ℝ β†’ ((exp β†Ύ 𝑆):π‘†βŸΆπ‘† ↔ (exp β†Ύ ℝ):π‘†βŸΆπ‘†))
1411, 13mpbird 257 . . 3 (𝑆 = ℝ β†’ (exp β†Ύ 𝑆):π‘†βŸΆπ‘†)
15 eff 16049 . . . . . 6 exp:β„‚βŸΆβ„‚
16 frel 6721 . . . . . . . . 9 (exp:β„‚βŸΆβ„‚ β†’ Rel exp)
17 resdm 6024 . . . . . . . . 9 (Rel exp β†’ (exp β†Ύ dom exp) = exp)
1815, 16, 17mp2b 10 . . . . . . . 8 (exp β†Ύ dom exp) = exp
1915fdmi 6728 . . . . . . . . 9 dom exp = β„‚
2019reseq2i 5976 . . . . . . . 8 (exp β†Ύ dom exp) = (exp β†Ύ β„‚)
2118, 20eqtr3i 2757 . . . . . . 7 exp = (exp β†Ύ β„‚)
2221feq1i 6707 . . . . . 6 (exp:β„‚βŸΆβ„‚ ↔ (exp β†Ύ β„‚):β„‚βŸΆβ„‚)
2315, 22mpbi 229 . . . . 5 (exp β†Ύ β„‚):β„‚βŸΆβ„‚
24 feq23 6700 . . . . . 6 ((𝑆 = β„‚ ∧ 𝑆 = β„‚) β†’ ((exp β†Ύ β„‚):π‘†βŸΆπ‘† ↔ (exp β†Ύ β„‚):β„‚βŸΆβ„‚))
2524anidms 566 . . . . 5 (𝑆 = β„‚ β†’ ((exp β†Ύ β„‚):π‘†βŸΆπ‘† ↔ (exp β†Ύ β„‚):β„‚βŸΆβ„‚))
2623, 25mpbiri 258 . . . 4 (𝑆 = β„‚ β†’ (exp β†Ύ β„‚):π‘†βŸΆπ‘†)
27 reseq2 5974 . . . . 5 (𝑆 = β„‚ β†’ (exp β†Ύ 𝑆) = (exp β†Ύ β„‚))
2827feq1d 6701 . . . 4 (𝑆 = β„‚ β†’ ((exp β†Ύ 𝑆):π‘†βŸΆπ‘† ↔ (exp β†Ύ β„‚):π‘†βŸΆπ‘†))
2926, 28mpbird 257 . . 3 (𝑆 = β„‚ β†’ (exp β†Ύ 𝑆):π‘†βŸΆπ‘†)
3014, 29jaoi 856 . 2 ((𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = β„‚) β†’ (exp β†Ύ 𝑆):π‘†βŸΆπ‘†)
311, 2, 303syl 18 1 (πœ‘ β†’ (exp β†Ύ 𝑆):π‘†βŸΆπ‘†)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∨ wo 846   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   βŠ† wss 3944  {cpr 4626  dom cdm 5672   β†Ύ cres 5674  Rel wrel 5677  βŸΆwf 6538  β€“1-1β†’wf1 6539  β„‚cc 11128  β„cr 11129  β„+crp 12998  expce 16029
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-pm 8839  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-ico 13354  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-seq 13991  df-exp 14051  df-fac 14257  df-bc 14286  df-hash 14314  df-shft 15038  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-limsup 15439  df-clim 15456  df-rlim 15457  df-sum 15657  df-ef 16035
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator