Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  seff Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem seff 43885
Description: Let set 𝑆 be the real or complex numbers. Then the exponential function restricted to 𝑆 is a mapping from 𝑆 to 𝑆. (Contributed by Steve Rodriguez, 6-Nov-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
seff.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
Assertion
Ref Expression
seff (𝜑 → (exp ↾ 𝑆):𝑆𝑆)

Proof of Theorem seff
StepHypRef Expression
1 seff.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 elpri 4653 . 2 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
3 reeff1 16100 . . . . . 6 (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+
4 f1f 6793 . . . . . 6 ((exp ↾ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+ → (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+)
5 rpssre 13016 . . . . . . 7 + ⊆ ℝ
6 fss 6739 . . . . . . 7 (((exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+ ∧ ℝ+ ⊆ ℝ) → (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
75, 6mpan2 689 . . . . . 6 ((exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+ → (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
83, 4, 7mp2b 10 . . . . 5 (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ
9 feq23 6707 . . . . . 6 ((𝑆 = ℝ ∧ 𝑆 = ℝ) → ((exp ↾ ℝ):𝑆𝑆 ↔ (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ))
109anidms 565 . . . . 5 (𝑆 = ℝ → ((exp ↾ ℝ):𝑆𝑆 ↔ (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ))
118, 10mpbiri 257 . . . 4 (𝑆 = ℝ → (exp ↾ ℝ):𝑆𝑆)
12 reseq2 5980 . . . . 5 (𝑆 = ℝ → (exp ↾ 𝑆) = (exp ↾ ℝ))
1312feq1d 6708 . . . 4 (𝑆 = ℝ → ((exp ↾ 𝑆):𝑆𝑆 ↔ (exp ↾ ℝ):𝑆𝑆))
1411, 13mpbird 256 . . 3 (𝑆 = ℝ → (exp ↾ 𝑆):𝑆𝑆)
15 eff 16061 . . . . . 6 exp:ℂ⟶ℂ
16 frel 6728 . . . . . . . . 9 (exp:ℂ⟶ℂ → Rel exp)
17 resdm 6031 . . . . . . . . 9 (Rel exp → (exp ↾ dom exp) = exp)
1815, 16, 17mp2b 10 . . . . . . . 8 (exp ↾ dom exp) = exp
1915fdmi 6734 . . . . . . . . 9 dom exp = ℂ
2019reseq2i 5982 . . . . . . . 8 (exp ↾ dom exp) = (exp ↾ ℂ)
2118, 20eqtr3i 2755 . . . . . . 7 exp = (exp ↾ ℂ)
2221feq1i 6714 . . . . . 6 (exp:ℂ⟶ℂ ↔ (exp ↾ ℂ):ℂ⟶ℂ)
2315, 22mpbi 229 . . . . 5 (exp ↾ ℂ):ℂ⟶ℂ
24 feq23 6707 . . . . . 6 ((𝑆 = ℂ ∧ 𝑆 = ℂ) → ((exp ↾ ℂ):𝑆𝑆 ↔ (exp ↾ ℂ):ℂ⟶ℂ))
2524anidms 565 . . . . 5 (𝑆 = ℂ → ((exp ↾ ℂ):𝑆𝑆 ↔ (exp ↾ ℂ):ℂ⟶ℂ))
2623, 25mpbiri 257 . . . 4 (𝑆 = ℂ → (exp ↾ ℂ):𝑆𝑆)
27 reseq2 5980 . . . . 5 (𝑆 = ℂ → (exp ↾ 𝑆) = (exp ↾ ℂ))
2827feq1d 6708 . . . 4 (𝑆 = ℂ → ((exp ↾ 𝑆):𝑆𝑆 ↔ (exp ↾ ℂ):𝑆𝑆))
2926, 28mpbird 256 . . 3 (𝑆 = ℂ → (exp ↾ 𝑆):𝑆𝑆)
3014, 29jaoi 855 . 2 ((𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ) → (exp ↾ 𝑆):𝑆𝑆)
311, 2, 303syl 18 1 (𝜑 → (exp ↾ 𝑆):𝑆𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wo 845   = wceq 1533  wcel 2098  wss 3944  {cpr 4632  dom cdm 5678  cres 5680  Rel wrel 5683  wf 6545  1-1wf1 6546  cc 11138  cr 11139  +crp 13009  expce 16041
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9467  df-inf 9468  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-ico 13365  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-fl 13793  df-seq 14003  df-exp 14063  df-fac 14269  df-bc 14298  df-hash 14326  df-shft 15050  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-limsup 15451  df-clim 15468  df-rlim 15469  df-sum 15669  df-ef 16047
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator