Theorem seff 45278

Description: Let set 𝑆 be the real or complex numbers. Then the exponential function restricted to 𝑆 is a mapping from 𝑆 to 𝑆. (Contributed by Steve Rodriguez, 6-Nov-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
seff.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})

Assertion

Ref	Expression
seff	⊢ (𝜑 → (exp ↾ 𝑆):𝑆⟶𝑆)

Proof of Theorem seff

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seff.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2		elpri 4608	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
3		reeff1 16281	. . . . . 6 ⊢ (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+
4		f1f 6776	. . . . . 6 ⊢ ((exp ↾ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+ → (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+)
5		rpssre 13121	. . . . . . 7 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
6		fss 6724	. . . . . . 7 ⊢ (((exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+ ∧ ℝ+ ⊆ ℝ) → (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
7	5, 6	mpan2 704	. . . . . 6 ⊢ ((exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+ → (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
8	3, 4, 7	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ
9		feq23 6688	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 = ℝ ∧ 𝑆 = ℝ) → ((exp ↾ ℝ):𝑆⟶𝑆 ↔ (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ))
10	9	anidms 577	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = ℝ → ((exp ↾ ℝ):𝑆⟶𝑆 ↔ (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ))
11	8, 10	mpbiri 261	. . . 4 ⊢ (𝑆 = ℝ → (exp ↾ ℝ):𝑆⟶𝑆)
12		reseq2 5965	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = ℝ → (exp ↾ 𝑆) = (exp ↾ ℝ))
13	12	feq1d 6689	. . . 4 ⊢ (𝑆 = ℝ → ((exp ↾ 𝑆):𝑆⟶𝑆 ↔ (exp ↾ ℝ):𝑆⟶𝑆))
14	11, 13	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝑆 = ℝ → (exp ↾ 𝑆):𝑆⟶𝑆)
15		eff 16240	. . . . . 6 ⊢ exp:ℂ⟶ℂ
16		frel 6713	. . . . . . . . 9 ⊢ (exp:ℂ⟶ℂ → Rel exp)
17		resdm 6015	. . . . . . . . 9 ⊢ (Rel exp → (exp ↾ dom exp) = exp)
18	15, 16, 17	mp2b 10	. . . . . . . 8 ⊢ (exp ↾ dom exp) = exp
19	15	fdmi 6719	. . . . . . . . 9 ⊢ dom exp = ℂ
20	19	reseq2i 5967	. . . . . . . 8 ⊢ (exp ↾ dom exp) = (exp ↾ ℂ)
21	18, 20	eqtr3i 2786	. . . . . . 7 ⊢ exp = (exp ↾ ℂ)
22	21	feq1i 6698	. . . . . 6 ⊢ (exp:ℂ⟶ℂ ↔ (exp ↾ ℂ):ℂ⟶ℂ)
23	15, 22	mpbi 233	. . . . 5 ⊢ (exp ↾ ℂ):ℂ⟶ℂ
24		feq23 6688	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 = ℂ ∧ 𝑆 = ℂ) → ((exp ↾ ℂ):𝑆⟶𝑆 ↔ (exp ↾ ℂ):ℂ⟶ℂ))
25	24	anidms 577	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = ℂ → ((exp ↾ ℂ):𝑆⟶𝑆 ↔ (exp ↾ ℂ):ℂ⟶ℂ))
26	23, 25	mpbiri 261	. . . 4 ⊢ (𝑆 = ℂ → (exp ↾ ℂ):𝑆⟶𝑆)
27		reseq2 5965	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = ℂ → (exp ↾ 𝑆) = (exp ↾ ℂ))
28	27	feq1d 6689	. . . 4 ⊢ (𝑆 = ℂ → ((exp ↾ 𝑆):𝑆⟶𝑆 ↔ (exp ↾ ℂ):𝑆⟶𝑆))
29	26, 28	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝑆 = ℂ → (exp ↾ 𝑆):𝑆⟶𝑆)
30	14, 29	jaoi 871	. 2 ⊢ ((𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ) → (exp ↾ 𝑆):𝑆⟶𝑆)
31	1, 2, 30	3syl 19	1 ⊢ (𝜑 → (exp ↾ 𝑆):𝑆⟶𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  {cpr 4586  dom cdm 5651   ↾ cres 5653  Rel wrel 5656  ⟶wf 6533  –1-1→wf1 6534  ℂcc 11191  ℝcr 11192  ℝ⁺crp 13113  expce 16220

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-inf2 9635  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-pm 8843  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9427  df-inf 9428  df-oi 9497  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-rp 13114  df-ico 13475  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-fl 13925  df-seq 14138  df-exp 14198  df-fac 14411  df-bc 14440  df-hash 14468  df-shft 15213  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-limsup 15631  df-clim 15648  df-rlim 15649  df-sum 15847  df-ef 16226

This theorem is used by: (None)