Theorem seff 44286

Description: Let set 𝑆 be the real or complex numbers. Then the exponential function restricted to 𝑆 is a mapping from 𝑆 to 𝑆. (Contributed by Steve Rodriguez, 6-Nov-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
seff.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})

Assertion

Ref	Expression
seff	⊢ (𝜑 → (exp ↾ 𝑆):𝑆⟶𝑆)

Proof of Theorem seff

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seff.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2		elpri 4601	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
3		reeff1 16029	. . . . . 6 ⊢ (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+
4		f1f 6720	. . . . . 6 ⊢ ((exp ↾ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+ → (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+)
5		rpssre 12901	. . . . . . 7 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
6		fss 6668	. . . . . . 7 ⊢ (((exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+ ∧ ℝ+ ⊆ ℝ) → (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
7	5, 6	mpan2 691	. . . . . 6 ⊢ ((exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+ → (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
8	3, 4, 7	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ
9		feq23 6633	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 = ℝ ∧ 𝑆 = ℝ) → ((exp ↾ ℝ):𝑆⟶𝑆 ↔ (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ))
10	9	anidms 566	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = ℝ → ((exp ↾ ℝ):𝑆⟶𝑆 ↔ (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ))
11	8, 10	mpbiri 258	. . . 4 ⊢ (𝑆 = ℝ → (exp ↾ ℝ):𝑆⟶𝑆)
12		reseq2 5925	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = ℝ → (exp ↾ 𝑆) = (exp ↾ ℝ))
13	12	feq1d 6634	. . . 4 ⊢ (𝑆 = ℝ → ((exp ↾ 𝑆):𝑆⟶𝑆 ↔ (exp ↾ ℝ):𝑆⟶𝑆))
14	11, 13	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝑆 = ℝ → (exp ↾ 𝑆):𝑆⟶𝑆)
15		eff 15988	. . . . . 6 ⊢ exp:ℂ⟶ℂ
16		frel 6657	. . . . . . . . 9 ⊢ (exp:ℂ⟶ℂ → Rel exp)
17		resdm 5977	. . . . . . . . 9 ⊢ (Rel exp → (exp ↾ dom exp) = exp)
18	15, 16, 17	mp2b 10	. . . . . . . 8 ⊢ (exp ↾ dom exp) = exp
19	15	fdmi 6663	. . . . . . . . 9 ⊢ dom exp = ℂ
20	19	reseq2i 5927	. . . . . . . 8 ⊢ (exp ↾ dom exp) = (exp ↾ ℂ)
21	18, 20	eqtr3i 2754	. . . . . . 7 ⊢ exp = (exp ↾ ℂ)
22	21	feq1i 6643	. . . . . 6 ⊢ (exp:ℂ⟶ℂ ↔ (exp ↾ ℂ):ℂ⟶ℂ)
23	15, 22	mpbi 230	. . . . 5 ⊢ (exp ↾ ℂ):ℂ⟶ℂ
24		feq23 6633	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 = ℂ ∧ 𝑆 = ℂ) → ((exp ↾ ℂ):𝑆⟶𝑆 ↔ (exp ↾ ℂ):ℂ⟶ℂ))
25	24	anidms 566	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = ℂ → ((exp ↾ ℂ):𝑆⟶𝑆 ↔ (exp ↾ ℂ):ℂ⟶ℂ))
26	23, 25	mpbiri 258	. . . 4 ⊢ (𝑆 = ℂ → (exp ↾ ℂ):𝑆⟶𝑆)
27		reseq2 5925	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = ℂ → (exp ↾ 𝑆) = (exp ↾ ℂ))
28	27	feq1d 6634	. . . 4 ⊢ (𝑆 = ℂ → ((exp ↾ 𝑆):𝑆⟶𝑆 ↔ (exp ↾ ℂ):𝑆⟶𝑆))
29	26, 28	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝑆 = ℂ → (exp ↾ 𝑆):𝑆⟶𝑆)
30	14, 29	jaoi 857	. 2 ⊢ ((𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ) → (exp ↾ 𝑆):𝑆⟶𝑆)
31	1, 2, 30	3syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (exp ↾ 𝑆):𝑆⟶𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3903  {cpr 4579  dom cdm 5619   ↾ cres 5621  Rel wrel 5624  ⟶wf 6478  –1-1→wf1 6479  ℂcc 11007  ℝcr 11008  ℝ⁺crp 12893  expce 15968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-pm 8756  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-rp 12894  df-ico 13254  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-fl 13696  df-seq 13909  df-exp 13969  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14974  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-limsup 15378  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-ef 15974

This theorem is referenced by: (None)