Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  seff Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem seff 40001
 Description: Let set 𝑆 be the real or complex numbers. Then the exponential function restricted to 𝑆 is a mapping from 𝑆 to 𝑆. (Contributed by Steve Rodriguez, 6-Nov-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
seff.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
Assertion
Ref Expression
seff (𝜑 → (exp ↾ 𝑆):𝑆𝑆)

Proof of Theorem seff
StepHypRef Expression
1 seff.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 elpri 4457 . 2 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
3 reeff1 15323 . . . . . 6 (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+
4 f1f 6398 . . . . . 6 ((exp ↾ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+ → (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+)
5 rpssre 12204 . . . . . . 7 + ⊆ ℝ
6 fss 6351 . . . . . . 7 (((exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+ ∧ ℝ+ ⊆ ℝ) → (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
75, 6mpan2 678 . . . . . 6 ((exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+ → (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
83, 4, 7mp2b 10 . . . . 5 (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ
9 feq23 6322 . . . . . 6 ((𝑆 = ℝ ∧ 𝑆 = ℝ) → ((exp ↾ ℝ):𝑆𝑆 ↔ (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ))
109anidms 559 . . . . 5 (𝑆 = ℝ → ((exp ↾ ℝ):𝑆𝑆 ↔ (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ))
118, 10mpbiri 250 . . . 4 (𝑆 = ℝ → (exp ↾ ℝ):𝑆𝑆)
12 reseq2 5683 . . . . 5 (𝑆 = ℝ → (exp ↾ 𝑆) = (exp ↾ ℝ))
1312feq1d 6323 . . . 4 (𝑆 = ℝ → ((exp ↾ 𝑆):𝑆𝑆 ↔ (exp ↾ ℝ):𝑆𝑆))
1411, 13mpbird 249 . . 3 (𝑆 = ℝ → (exp ↾ 𝑆):𝑆𝑆)
15 eff 15285 . . . . . 6 exp:ℂ⟶ℂ
16 frel 6343 . . . . . . . . 9 (exp:ℂ⟶ℂ → Rel exp)
17 resdm 5736 . . . . . . . . 9 (Rel exp → (exp ↾ dom exp) = exp)
1815, 16, 17mp2b 10 . . . . . . . 8 (exp ↾ dom exp) = exp
1915fdmi 6348 . . . . . . . . 9 dom exp = ℂ
2019reseq2i 5685 . . . . . . . 8 (exp ↾ dom exp) = (exp ↾ ℂ)
2118, 20eqtr3i 2798 . . . . . . 7 exp = (exp ↾ ℂ)
2221feq1i 6329 . . . . . 6 (exp:ℂ⟶ℂ ↔ (exp ↾ ℂ):ℂ⟶ℂ)
2315, 22mpbi 222 . . . . 5 (exp ↾ ℂ):ℂ⟶ℂ
24 feq23 6322 . . . . . 6 ((𝑆 = ℂ ∧ 𝑆 = ℂ) → ((exp ↾ ℂ):𝑆𝑆 ↔ (exp ↾ ℂ):ℂ⟶ℂ))
2524anidms 559 . . . . 5 (𝑆 = ℂ → ((exp ↾ ℂ):𝑆𝑆 ↔ (exp ↾ ℂ):ℂ⟶ℂ))
2623, 25mpbiri 250 . . . 4 (𝑆 = ℂ → (exp ↾ ℂ):𝑆𝑆)
27 reseq2 5683 . . . . 5 (𝑆 = ℂ → (exp ↾ 𝑆) = (exp ↾ ℂ))
2827feq1d 6323 . . . 4 (𝑆 = ℂ → ((exp ↾ 𝑆):𝑆𝑆 ↔ (exp ↾ ℂ):𝑆𝑆))
2926, 28mpbird 249 . . 3 (𝑆 = ℂ → (exp ↾ 𝑆):𝑆𝑆)
3014, 29jaoi 843 . 2 ((𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ) → (exp ↾ 𝑆):𝑆𝑆)
311, 2, 303syl 18 1 (𝜑 → (exp ↾ 𝑆):𝑆𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∨ wo 833   = wceq 1507   ∈ wcel 2048   ⊆ wss 3825  {cpr 4437  dom cdm 5400   ↾ cres 5402  Rel wrel 5405  ⟶wf 6178  –1-1→wf1 6179  ℂcc 10325  ℝcr 10326  ℝ+crp 12197  expce 15265 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-inf2 8890  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404  ax-pre-sup 10405  ax-addf 10406  ax-mulf 10407 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-se 5360  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-isom 6191  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-1o 7897  df-oadd 7901  df-er 8081  df-pm 8201  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-fin 8302  df-sup 8693  df-inf 8694  df-oi 8761  df-card 9154  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-div 11091  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-n0 11701  df-z 11787  df-uz 12052  df-rp 12198  df-ico 12553  df-fz 12702  df-fzo 12843  df-fl 12970  df-seq 13178  df-exp 13238  df-fac 13442  df-bc 13471  df-hash 13499  df-shft 14277  df-cj 14309  df-re 14310  df-im 14311  df-sqrt 14445  df-abs 14446  df-limsup 14679  df-clim 14696  df-rlim 14697  df-sum 14894  df-ef 15271 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator