Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  seff Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem seff 42681
Description: Let set 𝑆 be the real or complex numbers. Then the exponential function restricted to 𝑆 is a mapping from 𝑆 to 𝑆. (Contributed by Steve Rodriguez, 6-Nov-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
seff.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
Assertion
Ref Expression
seff (πœ‘ β†’ (exp β†Ύ 𝑆):π‘†βŸΆπ‘†)

Proof of Theorem seff
StepHypRef Expression
1 seff.s . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
2 elpri 4612 . 2 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = β„‚))
3 reeff1 16010 . . . . . 6 (exp β†Ύ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+
4 f1f 6742 . . . . . 6 ((exp β†Ύ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+ β†’ (exp β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„+)
5 rpssre 12930 . . . . . . 7 ℝ+ βŠ† ℝ
6 fss 6689 . . . . . . 7 (((exp β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„+ ∧ ℝ+ βŠ† ℝ) β†’ (exp β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„)
75, 6mpan2 690 . . . . . 6 ((exp β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„+ β†’ (exp β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„)
83, 4, 7mp2b 10 . . . . 5 (exp β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„
9 feq23 6656 . . . . . 6 ((𝑆 = ℝ ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ ((exp β†Ύ ℝ):π‘†βŸΆπ‘† ↔ (exp β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„))
109anidms 568 . . . . 5 (𝑆 = ℝ β†’ ((exp β†Ύ ℝ):π‘†βŸΆπ‘† ↔ (exp β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„))
118, 10mpbiri 258 . . . 4 (𝑆 = ℝ β†’ (exp β†Ύ ℝ):π‘†βŸΆπ‘†)
12 reseq2 5936 . . . . 5 (𝑆 = ℝ β†’ (exp β†Ύ 𝑆) = (exp β†Ύ ℝ))
1312feq1d 6657 . . . 4 (𝑆 = ℝ β†’ ((exp β†Ύ 𝑆):π‘†βŸΆπ‘† ↔ (exp β†Ύ ℝ):π‘†βŸΆπ‘†))
1411, 13mpbird 257 . . 3 (𝑆 = ℝ β†’ (exp β†Ύ 𝑆):π‘†βŸΆπ‘†)
15 eff 15972 . . . . . 6 exp:β„‚βŸΆβ„‚
16 frel 6677 . . . . . . . . 9 (exp:β„‚βŸΆβ„‚ β†’ Rel exp)
17 resdm 5986 . . . . . . . . 9 (Rel exp β†’ (exp β†Ύ dom exp) = exp)
1815, 16, 17mp2b 10 . . . . . . . 8 (exp β†Ύ dom exp) = exp
1915fdmi 6684 . . . . . . . . 9 dom exp = β„‚
2019reseq2i 5938 . . . . . . . 8 (exp β†Ύ dom exp) = (exp β†Ύ β„‚)
2118, 20eqtr3i 2763 . . . . . . 7 exp = (exp β†Ύ β„‚)
2221feq1i 6663 . . . . . 6 (exp:β„‚βŸΆβ„‚ ↔ (exp β†Ύ β„‚):β„‚βŸΆβ„‚)
2315, 22mpbi 229 . . . . 5 (exp β†Ύ β„‚):β„‚βŸΆβ„‚
24 feq23 6656 . . . . . 6 ((𝑆 = β„‚ ∧ 𝑆 = β„‚) β†’ ((exp β†Ύ β„‚):π‘†βŸΆπ‘† ↔ (exp β†Ύ β„‚):β„‚βŸΆβ„‚))
2524anidms 568 . . . . 5 (𝑆 = β„‚ β†’ ((exp β†Ύ β„‚):π‘†βŸΆπ‘† ↔ (exp β†Ύ β„‚):β„‚βŸΆβ„‚))
2623, 25mpbiri 258 . . . 4 (𝑆 = β„‚ β†’ (exp β†Ύ β„‚):π‘†βŸΆπ‘†)
27 reseq2 5936 . . . . 5 (𝑆 = β„‚ β†’ (exp β†Ύ 𝑆) = (exp β†Ύ β„‚))
2827feq1d 6657 . . . 4 (𝑆 = β„‚ β†’ ((exp β†Ύ 𝑆):π‘†βŸΆπ‘† ↔ (exp β†Ύ β„‚):π‘†βŸΆπ‘†))
2926, 28mpbird 257 . . 3 (𝑆 = β„‚ β†’ (exp β†Ύ 𝑆):π‘†βŸΆπ‘†)
3014, 29jaoi 856 . 2 ((𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = β„‚) β†’ (exp β†Ύ 𝑆):π‘†βŸΆπ‘†)
311, 2, 303syl 18 1 (πœ‘ β†’ (exp β†Ύ 𝑆):π‘†βŸΆπ‘†)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3914  {cpr 4592  dom cdm 5637   β†Ύ cres 5639  Rel wrel 5642  βŸΆwf 6496  β€“1-1β†’wf1 6497  β„‚cc 11057  β„cr 11058  β„+crp 12923  expce 15952
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-ico 13279  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-seq 13916  df-exp 13977  df-fac 14183  df-bc 14212  df-hash 14240  df-shft 14961  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-limsup 15362  df-clim 15379  df-rlim 15380  df-sum 15580  df-ef 15958
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator