Theorem seff 40001

Description: Let set 𝑆 be the real or complex numbers. Then the exponential function restricted to 𝑆 is a mapping from 𝑆 to 𝑆. (Contributed by Steve Rodriguez, 6-Nov-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
seff.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})

Assertion

Ref	Expression
seff	⊢ (𝜑 → (exp ↾ 𝑆):𝑆⟶𝑆)

Proof of Theorem seff

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seff.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2		elpri 4457	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
3		reeff1 15323	. . . . . 6 ⊢ (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+
4		f1f 6398	. . . . . 6 ⊢ ((exp ↾ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+ → (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+)
5		rpssre 12204	. . . . . . 7 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
6		fss 6351	. . . . . . 7 ⊢ (((exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+ ∧ ℝ+ ⊆ ℝ) → (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
7	5, 6	mpan2 678	. . . . . 6 ⊢ ((exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+ → (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
8	3, 4, 7	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ
9		feq23 6322	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 = ℝ ∧ 𝑆 = ℝ) → ((exp ↾ ℝ):𝑆⟶𝑆 ↔ (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ))
10	9	anidms 559	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = ℝ → ((exp ↾ ℝ):𝑆⟶𝑆 ↔ (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ))
11	8, 10	mpbiri 250	. . . 4 ⊢ (𝑆 = ℝ → (exp ↾ ℝ):𝑆⟶𝑆)
12		reseq2 5683	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = ℝ → (exp ↾ 𝑆) = (exp ↾ ℝ))
13	12	feq1d 6323	. . . 4 ⊢ (𝑆 = ℝ → ((exp ↾ 𝑆):𝑆⟶𝑆 ↔ (exp ↾ ℝ):𝑆⟶𝑆))
14	11, 13	mpbird 249	. . 3 ⊢ (𝑆 = ℝ → (exp ↾ 𝑆):𝑆⟶𝑆)
15		eff 15285	. . . . . 6 ⊢ exp:ℂ⟶ℂ
16		frel 6343	. . . . . . . . 9 ⊢ (exp:ℂ⟶ℂ → Rel exp)
17		resdm 5736	. . . . . . . . 9 ⊢ (Rel exp → (exp ↾ dom exp) = exp)
18	15, 16, 17	mp2b 10	. . . . . . . 8 ⊢ (exp ↾ dom exp) = exp
19	15	fdmi 6348	. . . . . . . . 9 ⊢ dom exp = ℂ
20	19	reseq2i 5685	. . . . . . . 8 ⊢ (exp ↾ dom exp) = (exp ↾ ℂ)
21	18, 20	eqtr3i 2798	. . . . . . 7 ⊢ exp = (exp ↾ ℂ)
22	21	feq1i 6329	. . . . . 6 ⊢ (exp:ℂ⟶ℂ ↔ (exp ↾ ℂ):ℂ⟶ℂ)
23	15, 22	mpbi 222	. . . . 5 ⊢ (exp ↾ ℂ):ℂ⟶ℂ
24		feq23 6322	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 = ℂ ∧ 𝑆 = ℂ) → ((exp ↾ ℂ):𝑆⟶𝑆 ↔ (exp ↾ ℂ):ℂ⟶ℂ))
25	24	anidms 559	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = ℂ → ((exp ↾ ℂ):𝑆⟶𝑆 ↔ (exp ↾ ℂ):ℂ⟶ℂ))
26	23, 25	mpbiri 250	. . . 4 ⊢ (𝑆 = ℂ → (exp ↾ ℂ):𝑆⟶𝑆)
27		reseq2 5683	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = ℂ → (exp ↾ 𝑆) = (exp ↾ ℂ))
28	27	feq1d 6323	. . . 4 ⊢ (𝑆 = ℂ → ((exp ↾ 𝑆):𝑆⟶𝑆 ↔ (exp ↾ ℂ):𝑆⟶𝑆))
29	26, 28	mpbird 249	. . 3 ⊢ (𝑆 = ℂ → (exp ↾ 𝑆):𝑆⟶𝑆)
30	14, 29	jaoi 843	. 2 ⊢ ((𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ) → (exp ↾ 𝑆):𝑆⟶𝑆)
31	1, 2, 30	3syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (exp ↾ 𝑆):𝑆⟶𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∨ wo 833   = wceq 1507   ∈ wcel 2048   ⊆ wss 3825  {cpr 4437  dom cdm 5400   ↾ cres 5402  Rel wrel 5405  ⟶wf 6178  –1-1→wf1 6179  ℂcc 10325  ℝcr 10326  ℝ⁺crp 12197  expce 15265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-inf2 8890  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404  ax-pre-sup 10405  ax-addf 10406  ax-mulf 10407

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-se 5360  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-isom 6191  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-1o 7897  df-oadd 7901  df-er 8081  df-pm 8201  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-fin 8302  df-sup 8693  df-inf 8694  df-oi 8761  df-card 9154  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-div 11091  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-n0 11701  df-z 11787  df-uz 12052  df-rp 12198  df-ico 12553  df-fz 12702  df-fzo 12843  df-fl 12970  df-seq 13178  df-exp 13238  df-fac 13442  df-bc 13471  df-hash 13499  df-shft 14277  df-cj 14309  df-re 14310  df-im 14311  df-sqrt 14445  df-abs 14446  df-limsup 14679  df-clim 14696  df-rlim 14697  df-sum 14894  df-ef 15271

This theorem is referenced by: (None)