Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  seff Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem seff 43058
Description: Let set 𝑆 be the real or complex numbers. Then the exponential function restricted to 𝑆 is a mapping from 𝑆 to 𝑆. (Contributed by Steve Rodriguez, 6-Nov-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
seff.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
Assertion
Ref Expression
seff (πœ‘ β†’ (exp β†Ύ 𝑆):π‘†βŸΆπ‘†)
Proof of Theorem seff
StepHypRef Expression
1 seff.s . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
2 elpri 4650 . 2 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = β„‚))
3 reeff1 16062 . . . . . 6 (exp β†Ύ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+
4 f1f 6787 . . . . . 6 ((exp β†Ύ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+ β†’ (exp β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„+)
5 rpssre 12980 . . . . . . 7 ℝ+ βŠ† ℝ
6 fss 6734 . . . . . . 7 (((exp β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„+ ∧ ℝ+ βŠ† ℝ) β†’ (exp β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„)
75, 6mpan2 689 . . . . . 6 ((exp β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„+ β†’ (exp β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„)
83, 4, 7mp2b 10 . . . . 5 (exp β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„
9 feq23 6701 . . . . . 6 ((𝑆 = ℝ ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ ((exp β†Ύ ℝ):π‘†βŸΆπ‘† ↔ (exp β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„))
109anidms 567 . . . . 5 (𝑆 = ℝ β†’ ((exp β†Ύ ℝ):π‘†βŸΆπ‘† ↔ (exp β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„))
118, 10mpbiri 257 . . . 4 (𝑆 = ℝ β†’ (exp β†Ύ ℝ):π‘†βŸΆπ‘†)
12 reseq2 5976 . . . . 5 (𝑆 = ℝ β†’ (exp β†Ύ 𝑆) = (exp β†Ύ ℝ))
1312feq1d 6702 . . . 4 (𝑆 = ℝ β†’ ((exp β†Ύ 𝑆):π‘†βŸΆπ‘† ↔ (exp β†Ύ ℝ):π‘†βŸΆπ‘†))
1411, 13mpbird 256 . . 3 (𝑆 = ℝ β†’ (exp β†Ύ 𝑆):π‘†βŸΆπ‘†)
15 eff 16024 . . . . . 6 exp:β„‚βŸΆβ„‚
16 frel 6722 . . . . . . . . 9 (exp:β„‚βŸΆβ„‚ β†’ Rel exp)
17 resdm 6026 . . . . . . . . 9 (Rel exp β†’ (exp β†Ύ dom exp) = exp)
1815, 16, 17mp2b 10 . . . . . . . 8 (exp β†Ύ dom exp) = exp
1915fdmi 6729 . . . . . . . . 9 dom exp = β„‚
2019reseq2i 5978 . . . . . . . 8 (exp β†Ύ dom exp) = (exp β†Ύ β„‚)
2118, 20eqtr3i 2762 . . . . . . 7 exp = (exp β†Ύ β„‚)
2221feq1i 6708 . . . . . 6 (exp:β„‚βŸΆβ„‚ ↔ (exp β†Ύ β„‚):β„‚βŸΆβ„‚)
2315, 22mpbi 229 . . . . 5 (exp β†Ύ β„‚):β„‚βŸΆβ„‚
24 feq23 6701 . . . . . 6 ((𝑆 = β„‚ ∧ 𝑆 = β„‚) β†’ ((exp β†Ύ β„‚):π‘†βŸΆπ‘† ↔ (exp β†Ύ β„‚):β„‚βŸΆβ„‚))
2524anidms 567 . . . . 5 (𝑆 = β„‚ β†’ ((exp β†Ύ β„‚):π‘†βŸΆπ‘† ↔ (exp β†Ύ β„‚):β„‚βŸΆβ„‚))
2623, 25mpbiri 257 . . . 4 (𝑆 = β„‚ β†’ (exp β†Ύ β„‚):π‘†βŸΆπ‘†)
27 reseq2 5976 . . . . 5 (𝑆 = β„‚ β†’ (exp β†Ύ 𝑆) = (exp β†Ύ β„‚))
2827feq1d 6702 . . . 4 (𝑆 = β„‚ β†’ ((exp β†Ύ 𝑆):π‘†βŸΆπ‘† ↔ (exp β†Ύ β„‚):π‘†βŸΆπ‘†))
2926, 28mpbird 256 . . 3 (𝑆 = β„‚ β†’ (exp β†Ύ 𝑆):π‘†βŸΆπ‘†)
3014, 29jaoi 855 . 2 ((𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = β„‚) β†’ (exp β†Ύ 𝑆):π‘†βŸΆπ‘†)
311, 2, 303syl 18 1 (πœ‘ β†’ (exp β†Ύ 𝑆):π‘†βŸΆπ‘†)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βŠ† wss 3948  {cpr 4630  dom cdm 5676   β†Ύ cres 5678  Rel wrel 5681  βŸΆwf 6539  β€“1-1β†’wf1 6540  β„‚cc 11107  β„cr 11108  β„+crp 12973  expce 16004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-ico 13329  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-seq 13966  df-exp 14027  df-fac 14233  df-bc 14262  df-hash 14290  df-shft 15013  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-limsup 15414  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-ef 16010
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator