Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sblpnf Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem sblpnf 43532
Description: The infinity ball in the absolute value metric is just the whole space. 𝑆 analogue of blpnf 24223. (Contributed by Steve Rodriguez, 8-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sblpnf.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
sblpnf.d 𝐷 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))
Assertion
Ref Expression
sblpnf ((πœ‘ ∧ 𝑃 ∈ 𝑆) β†’ (𝑃(ballβ€˜π·)+∞) = 𝑆)
Proof of Theorem sblpnf
StepHypRef Expression
1 sblpnf.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
2 elpri 4650 . . 3 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = β„‚))
3 sblpnf.d . . . . 5 𝐷 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))
4 eqid 2731 . . . . . . 7 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
54remet 24626 . . . . . 6 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (Metβ€˜β„)
6 xpeq12 5701 . . . . . . . . 9 ((𝑆 = ℝ ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ (𝑆 Γ— 𝑆) = (ℝ Γ— ℝ))
76anidms 566 . . . . . . . 8 (𝑆 = ℝ β†’ (𝑆 Γ— 𝑆) = (ℝ Γ— ℝ))
87reseq2d 5981 . . . . . . 7 (𝑆 = ℝ β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))
9 fveq2 6891 . . . . . . 7 (𝑆 = ℝ β†’ (Metβ€˜π‘†) = (Metβ€˜β„))
108, 9eleq12d 2826 . . . . . 6 (𝑆 = ℝ β†’ (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) ∈ (Metβ€˜π‘†) ↔ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (Metβ€˜β„)))
115, 10mpbiri 258 . . . . 5 (𝑆 = ℝ β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) ∈ (Metβ€˜π‘†))
123, 11eqeltrid 2836 . . . 4 (𝑆 = ℝ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘†))
13 relco 6107 . . . . . . . . 9 Rel (abs ∘ βˆ’ )
14 resdm 6026 . . . . . . . . 9 (Rel (abs ∘ βˆ’ ) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ dom (abs ∘ βˆ’ )) = (abs ∘ βˆ’ ))
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ dom (abs ∘ βˆ’ )) = (abs ∘ βˆ’ )
16 absf 15291 . . . . . . . . . . . 12 abs:β„‚βŸΆβ„
17 ax-resscn 11173 . . . . . . . . . . . 12 ℝ βŠ† β„‚
18 fss 6734 . . . . . . . . . . . 12 ((abs:β„‚βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ abs:β„‚βŸΆβ„‚)
1916, 17, 18mp2an 689 . . . . . . . . . . 11 abs:β„‚βŸΆβ„‚
20 subf 11469 . . . . . . . . . . 11 βˆ’ :(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„‚
21 fco 6741 . . . . . . . . . . 11 ((abs:β„‚βŸΆβ„‚ ∧ βˆ’ :(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„‚) β†’ (abs ∘ βˆ’ ):(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„‚)
2219, 20, 21mp2an 689 . . . . . . . . . 10 (abs ∘ βˆ’ ):(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„‚
2322fdmi 6729 . . . . . . . . 9 dom (abs ∘ βˆ’ ) = (β„‚ Γ— β„‚)
2423reseq2i 5978 . . . . . . . 8 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ dom (abs ∘ βˆ’ )) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„‚ Γ— β„‚))
2515, 24eqtr3i 2761 . . . . . . 7 (abs ∘ βˆ’ ) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„‚ Γ— β„‚))
26 cnmet 24608 . . . . . . 7 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (Metβ€˜β„‚)
2725, 26eqeltrri 2829 . . . . . 6 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„‚ Γ— β„‚)) ∈ (Metβ€˜β„‚)
28 xpeq12 5701 . . . . . . . . 9 ((𝑆 = β„‚ ∧ 𝑆 = β„‚) β†’ (𝑆 Γ— 𝑆) = (β„‚ Γ— β„‚))
2928anidms 566 . . . . . . . 8 (𝑆 = β„‚ β†’ (𝑆 Γ— 𝑆) = (β„‚ Γ— β„‚))
3029reseq2d 5981 . . . . . . 7 (𝑆 = β„‚ β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„‚ Γ— β„‚)))
31 fveq2 6891 . . . . . . 7 (𝑆 = β„‚ β†’ (Metβ€˜π‘†) = (Metβ€˜β„‚))
3230, 31eleq12d 2826 . . . . . 6 (𝑆 = β„‚ β†’ (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) ∈ (Metβ€˜π‘†) ↔ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„‚ Γ— β„‚)) ∈ (Metβ€˜β„‚)))
3327, 32mpbiri 258 . . . . 5 (𝑆 = β„‚ β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) ∈ (Metβ€˜π‘†))
343, 33eqeltrid 2836 . . . 4 (𝑆 = β„‚ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘†))
3512, 34jaoi 854 . . 3 ((𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = β„‚) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘†))
361, 2, 353syl 18 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘†))
37 blpnf 24223 . 2 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘†) ∧ 𝑃 ∈ 𝑆) β†’ (𝑃(ballβ€˜π·)+∞) = 𝑆)
3836, 37sylan 579 1 ((πœ‘ ∧ 𝑃 ∈ 𝑆) β†’ (𝑃(ballβ€˜π·)+∞) = 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   βŠ† wss 3948  {cpr 4630   Γ— cxp 5674  dom cdm 5676   β†Ύ cres 5678   ∘ ccom 5680  Rel wrel 5681  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  β„‚cc 11114  β„cr 11115  +∞cpnf 11252   βˆ’ cmin 11451  abscabs 15188  Metcmet 21219  ballcbl 21220
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9443  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-seq 13974  df-exp 14035  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-psmet 21225  df-xmet 21226  df-met 21227  df-bl 21228
This theorem is referenced by:  dvconstbi  43556
  Copyright terms: Public domain W3C validator