Theorem sblpnf 39279

Description: The infinity ball in the absolute value metric is just the whole space. 𝑆 analogue of blpnf 22527. (Contributed by Steve Rodriguez, 8-Nov-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sblpnf.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
sblpnf.d	⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))

Assertion

Ref	Expression
sblpnf	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝑆) → (𝑃(ball‘𝐷)+∞) = 𝑆)

Proof of Theorem sblpnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sblpnf.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2		elpri 4388	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
3		sblpnf.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))
4		eqid 2797	. . . . . . 7 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
5	4	remet 22918	. . . . . 6 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (Met‘ℝ)
6		xpeq12 5335	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 = ℝ ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑆 × 𝑆) = (ℝ × ℝ))
7	6	anidms 563	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 = ℝ → (𝑆 × 𝑆) = (ℝ × ℝ))
8	7	reseq2d 5598	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 = ℝ → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
9		fveq2 6409	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 = ℝ → (Met‘𝑆) = (Met‘ℝ))
10	8, 9	eleq12d 2870	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 = ℝ → (((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (Met‘𝑆) ↔ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (Met‘ℝ)))
11	5, 10	mpbiri 250	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = ℝ → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (Met‘𝑆))
12	3, 11	syl5eqel 2880	. . . 4 ⊢ (𝑆 = ℝ → 𝐷 ∈ (Met‘𝑆))
13		relco 5850	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel (abs ∘ − )
14		resdm 5651	. . . . . . . . 9 ⊢ (Rel (abs ∘ − ) → ((abs ∘ − ) ↾ dom (abs ∘ − )) = (abs ∘ − ))
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ dom (abs ∘ − )) = (abs ∘ − )
16		absf 14415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
17		ax-resscn 10279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
18		fss 6267	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → abs:ℂ⟶ℂ)
19	16, 17, 18	mp2an 684	. . . . . . . . . . 11 ⊢ abs:ℂ⟶ℂ
20		subf 10572	. . . . . . . . . . 11 ⊢ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
21		fco 6271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((abs:ℂ⟶ℂ ∧ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ) → (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℂ)
22	19, 20, 21	mp2an 684	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℂ
23	22	fdmi 6264	. . . . . . . . 9 ⊢ dom (abs ∘ − ) = (ℂ × ℂ)
24	23	reseq2i 5595	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ dom (abs ∘ − )) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ))
25	15, 24	eqtr3i 2821	. . . . . . 7 ⊢ (abs ∘ − ) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ))
26		cnmet 22900	. . . . . . 7 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
27	25, 26	eqeltrri 2873	. . . . . 6 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) ∈ (Met‘ℂ)
28		xpeq12 5335	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 = ℂ ∧ 𝑆 = ℂ) → (𝑆 × 𝑆) = (ℂ × ℂ))
29	28	anidms 563	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 = ℂ → (𝑆 × 𝑆) = (ℂ × ℂ))
30	29	reseq2d 5598	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 = ℂ → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)))
31		fveq2 6409	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 = ℂ → (Met‘𝑆) = (Met‘ℂ))
32	30, 31	eleq12d 2870	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 = ℂ → (((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (Met‘𝑆) ↔ ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) ∈ (Met‘ℂ)))
33	27, 32	mpbiri 250	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = ℂ → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (Met‘𝑆))
34	3, 33	syl5eqel 2880	. . . 4 ⊢ (𝑆 = ℂ → 𝐷 ∈ (Met‘𝑆))
35	12, 34	jaoi 884	. . 3 ⊢ ((𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑆))
36	1, 2, 35	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑆))
37		blpnf 22527	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑆) ∧ 𝑃 ∈ 𝑆) → (𝑃(ball‘𝐷)+∞) = 𝑆)
38	36, 37	sylan 576	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝑆) → (𝑃(ball‘𝐷)+∞) = 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   ∨ wo 874   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   ⊆ wss 3767  {cpr 4368   × cxp 5308  dom cdm 5310   ↾ cres 5312   ∘ ccom 5314  Rel wrel 5315  ⟶wf 6095  ‘cfv 6099  (class class class)co 6876  ℂcc 10220  ℝcr 10221  +∞cpnf 10358   − cmin 10554  abscabs 14312  Metcmet 20051  ballcbl 20052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299  ax-pre-sup 10300

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-om 7298  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-er 7980  df-map 8095  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-sup 8588  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-div 10975  df-nn 11311  df-2 11372  df-3 11373  df-n0 11577  df-z 11663  df-uz 11927  df-rp 12071  df-xneg 12189  df-xadd 12190  df-xmul 12191  df-seq 13052  df-exp 13111  df-cj 14177  df-re 14178  df-im 14179  df-sqrt 14313  df-abs 14314  df-psmet 20057  df-xmet 20058  df-met 20059  df-bl 20060

This theorem is referenced by:  dvconstbi  39303