Theorem sblpnf 45134

Description: The infinity ball in the absolute value metric is just the whole space. 𝑆 analogue of blpnf 24623. (Contributed by Steve Rodriguez, 8-Nov-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sblpnf.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
sblpnf.d	⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))

Assertion

Ref	Expression
sblpnf	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝑆) → (𝑃(ball‘𝐷)+∞) = 𝑆)

Proof of Theorem sblpnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sblpnf.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2		elpri 4608	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
3		sblpnf.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))
4		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
5	4	remet 25016	. . . . . 6 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (Met‘ℝ)
6		xpeq12 5680	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 = ℝ ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑆 × 𝑆) = (ℝ × ℝ))
7	6	anidms 577	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 = ℝ → (𝑆 × 𝑆) = (ℝ × ℝ))
8	7	reseq2d 5972	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 = ℝ → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
9		fveq2 6878	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 = ℝ → (Met‘𝑆) = (Met‘ℝ))
10	8, 9	eleq12d 2854	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 = ℝ → (((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (Met‘𝑆) ↔ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (Met‘ℝ)))
11	5, 10	mpbiri 261	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = ℝ → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (Met‘𝑆))
12	3, 11	eqeltrid 2864	. . . 4 ⊢ (𝑆 = ℝ → 𝐷 ∈ (Met‘𝑆))
13		relco 6104	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel (abs ∘ − )
14		resdm 6019	. . . . . . . . 9 ⊢ (Rel (abs ∘ − ) → ((abs ∘ − ) ↾ dom (abs ∘ − )) = (abs ∘ − ))
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ dom (abs ∘ − )) = (abs ∘ − )
16		absf 15425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
17		ax-resscn 11181	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
18		fss 6719	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → abs:ℂ⟶ℂ)
19	16, 17, 18	mp2an 705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ abs:ℂ⟶ℂ
20		subf 11483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
21		fco 6727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((abs:ℂ⟶ℂ ∧ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ) → (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℂ)
22	19, 20, 21	mp2an 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℂ
23	22	fdmi 6714	. . . . . . . . 9 ⊢ dom (abs ∘ − ) = (ℂ × ℂ)
24	23	reseq2i 5969	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ dom (abs ∘ − )) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ))
25	15, 24	eqtr3i 2785	. . . . . . 7 ⊢ (abs ∘ − ) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ))
26		cnmet 24997	. . . . . . 7 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
27	25, 26	eqeltrri 2857	. . . . . 6 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) ∈ (Met‘ℂ)
28		xpeq12 5680	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 = ℂ ∧ 𝑆 = ℂ) → (𝑆 × 𝑆) = (ℂ × ℂ))
29	28	anidms 577	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 = ℂ → (𝑆 × 𝑆) = (ℂ × ℂ))
30	29	reseq2d 5972	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 = ℂ → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)))
31		fveq2 6878	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 = ℂ → (Met‘𝑆) = (Met‘ℂ))
32	30, 31	eleq12d 2854	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 = ℂ → (((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (Met‘𝑆) ↔ ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) ∈ (Met‘ℂ)))
33	27, 32	mpbiri 261	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = ℂ → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (Met‘𝑆))
34	3, 33	eqeltrid 2864	. . . 4 ⊢ (𝑆 = ℂ → 𝐷 ∈ (Met‘𝑆))
35	12, 34	jaoi 871	. . 3 ⊢ ((𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑆))
36	1, 2, 35	3syl 19	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑆))
37		blpnf 24623	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑆) ∧ 𝑃 ∈ 𝑆) → (𝑃(ball‘𝐷)+∞) = 𝑆)
38	36, 37	sylan 592	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝑆) → (𝑃(ball‘𝐷)+∞) = 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  {cpr 4586   × cxp 5653  dom cdm 5655   ↾ cres 5657   ∘ ccom 5659  Rel wrel 5660  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  ℂcc 11122  ℝcr 11123  +∞cpnf 11264   − cmin 11465  abscabs 15321  Metcmet 21571  ballcbl 21572

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-rp 13043  df-xneg 13163  df-xadd 13164  df-xmul 13165  df-seq 14066  df-exp 14126  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-psmet 21577  df-xmet 21578  df-met 21579  df-bl 21580

This theorem is used by:  dvconstbi  45158