Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sblpnf Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem sblpnf 43055
Description: The infinity ball in the absolute value metric is just the whole space. 𝑆 analogue of blpnf 23895. (Contributed by Steve Rodriguez, 8-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sblpnf.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
sblpnf.d 𝐷 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))
Assertion
Ref Expression
sblpnf ((πœ‘ ∧ 𝑃 ∈ 𝑆) β†’ (𝑃(ballβ€˜π·)+∞) = 𝑆)
Proof of Theorem sblpnf
StepHypRef Expression
1 sblpnf.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
2 elpri 4650 . . 3 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = β„‚))
3 sblpnf.d . . . . 5 𝐷 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))
4 eqid 2733 . . . . . . 7 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
54remet 24298 . . . . . 6 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (Metβ€˜β„)
6 xpeq12 5701 . . . . . . . . 9 ((𝑆 = ℝ ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ (𝑆 Γ— 𝑆) = (ℝ Γ— ℝ))
76anidms 568 . . . . . . . 8 (𝑆 = ℝ β†’ (𝑆 Γ— 𝑆) = (ℝ Γ— ℝ))
87reseq2d 5980 . . . . . . 7 (𝑆 = ℝ β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))
9 fveq2 6889 . . . . . . 7 (𝑆 = ℝ β†’ (Metβ€˜π‘†) = (Metβ€˜β„))
108, 9eleq12d 2828 . . . . . 6 (𝑆 = ℝ β†’ (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) ∈ (Metβ€˜π‘†) ↔ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (Metβ€˜β„)))
115, 10mpbiri 258 . . . . 5 (𝑆 = ℝ β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) ∈ (Metβ€˜π‘†))
123, 11eqeltrid 2838 . . . 4 (𝑆 = ℝ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘†))
13 relco 6105 . . . . . . . . 9 Rel (abs ∘ βˆ’ )
14 resdm 6025 . . . . . . . . 9 (Rel (abs ∘ βˆ’ ) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ dom (abs ∘ βˆ’ )) = (abs ∘ βˆ’ ))
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ dom (abs ∘ βˆ’ )) = (abs ∘ βˆ’ )
16 absf 15281 . . . . . . . . . . . 12 abs:β„‚βŸΆβ„
17 ax-resscn 11164 . . . . . . . . . . . 12 ℝ βŠ† β„‚
18 fss 6732 . . . . . . . . . . . 12 ((abs:β„‚βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ abs:β„‚βŸΆβ„‚)
1916, 17, 18mp2an 691 . . . . . . . . . . 11 abs:β„‚βŸΆβ„‚
20 subf 11459 . . . . . . . . . . 11 βˆ’ :(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„‚
21 fco 6739 . . . . . . . . . . 11 ((abs:β„‚βŸΆβ„‚ ∧ βˆ’ :(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„‚) β†’ (abs ∘ βˆ’ ):(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„‚)
2219, 20, 21mp2an 691 . . . . . . . . . 10 (abs ∘ βˆ’ ):(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„‚
2322fdmi 6727 . . . . . . . . 9 dom (abs ∘ βˆ’ ) = (β„‚ Γ— β„‚)
2423reseq2i 5977 . . . . . . . 8 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ dom (abs ∘ βˆ’ )) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„‚ Γ— β„‚))
2515, 24eqtr3i 2763 . . . . . . 7 (abs ∘ βˆ’ ) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„‚ Γ— β„‚))
26 cnmet 24280 . . . . . . 7 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (Metβ€˜β„‚)
2725, 26eqeltrri 2831 . . . . . 6 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„‚ Γ— β„‚)) ∈ (Metβ€˜β„‚)
28 xpeq12 5701 . . . . . . . . 9 ((𝑆 = β„‚ ∧ 𝑆 = β„‚) β†’ (𝑆 Γ— 𝑆) = (β„‚ Γ— β„‚))
2928anidms 568 . . . . . . . 8 (𝑆 = β„‚ β†’ (𝑆 Γ— 𝑆) = (β„‚ Γ— β„‚))
3029reseq2d 5980 . . . . . . 7 (𝑆 = β„‚ β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„‚ Γ— β„‚)))
31 fveq2 6889 . . . . . . 7 (𝑆 = β„‚ β†’ (Metβ€˜π‘†) = (Metβ€˜β„‚))
3230, 31eleq12d 2828 . . . . . 6 (𝑆 = β„‚ β†’ (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) ∈ (Metβ€˜π‘†) ↔ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„‚ Γ— β„‚)) ∈ (Metβ€˜β„‚)))
3327, 32mpbiri 258 . . . . 5 (𝑆 = β„‚ β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) ∈ (Metβ€˜π‘†))
343, 33eqeltrid 2838 . . . 4 (𝑆 = β„‚ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘†))
3512, 34jaoi 856 . . 3 ((𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = β„‚) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘†))
361, 2, 353syl 18 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘†))
37 blpnf 23895 . 2 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘†) ∧ 𝑃 ∈ 𝑆) β†’ (𝑃(ballβ€˜π·)+∞) = 𝑆)
3836, 37sylan 581 1 ((πœ‘ ∧ 𝑃 ∈ 𝑆) β†’ (𝑃(ballβ€˜π·)+∞) = 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3948  {cpr 4630   Γ— cxp 5674  dom cdm 5676   β†Ύ cres 5678   ∘ ccom 5680  Rel wrel 5681  βŸΆwf 6537  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  β„‚cc 11105  β„cr 11106  +∞cpnf 11242   βˆ’ cmin 11441  abscabs 15178  Metcmet 20923  ballcbl 20924
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-seq 13964  df-exp 14025  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-psmet 20929  df-xmet 20930  df-met 20931  df-bl 20932
This theorem is referenced by:  dvconstbi  43079
  Copyright terms: Public domain W3C validator