Theorem sblpnf 44334

Description: The infinity ball in the absolute value metric is just the whole space. 𝑆 analogue of blpnf 24336. (Contributed by Steve Rodriguez, 8-Nov-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sblpnf.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
sblpnf.d	⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))

Assertion

Ref	Expression
sblpnf	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝑆) → (𝑃(ball‘𝐷)+∞) = 𝑆)

Proof of Theorem sblpnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sblpnf.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2		elpri 4625	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
3		sblpnf.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))
4		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
5	4	remet 24729	. . . . . 6 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (Met‘ℝ)
6		xpeq12 5679	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 = ℝ ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑆 × 𝑆) = (ℝ × ℝ))
7	6	anidms 566	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 = ℝ → (𝑆 × 𝑆) = (ℝ × ℝ))
8	7	reseq2d 5966	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 = ℝ → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
9		fveq2 6876	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 = ℝ → (Met‘𝑆) = (Met‘ℝ))
10	8, 9	eleq12d 2828	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 = ℝ → (((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (Met‘𝑆) ↔ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (Met‘ℝ)))
11	5, 10	mpbiri 258	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = ℝ → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (Met‘𝑆))
12	3, 11	eqeltrid 2838	. . . 4 ⊢ (𝑆 = ℝ → 𝐷 ∈ (Met‘𝑆))
13		relco 6095	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel (abs ∘ − )
14		resdm 6013	. . . . . . . . 9 ⊢ (Rel (abs ∘ − ) → ((abs ∘ − ) ↾ dom (abs ∘ − )) = (abs ∘ − ))
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ dom (abs ∘ − )) = (abs ∘ − )
16		absf 15356	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
17		ax-resscn 11186	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
18		fss 6722	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → abs:ℂ⟶ℂ)
19	16, 17, 18	mp2an 692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ abs:ℂ⟶ℂ
20		subf 11484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
21		fco 6730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((abs:ℂ⟶ℂ ∧ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ) → (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℂ)
22	19, 20, 21	mp2an 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℂ
23	22	fdmi 6717	. . . . . . . . 9 ⊢ dom (abs ∘ − ) = (ℂ × ℂ)
24	23	reseq2i 5963	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ dom (abs ∘ − )) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ))
25	15, 24	eqtr3i 2760	. . . . . . 7 ⊢ (abs ∘ − ) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ))
26		cnmet 24710	. . . . . . 7 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
27	25, 26	eqeltrri 2831	. . . . . 6 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) ∈ (Met‘ℂ)
28		xpeq12 5679	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 = ℂ ∧ 𝑆 = ℂ) → (𝑆 × 𝑆) = (ℂ × ℂ))
29	28	anidms 566	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 = ℂ → (𝑆 × 𝑆) = (ℂ × ℂ))
30	29	reseq2d 5966	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 = ℂ → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)))
31		fveq2 6876	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 = ℂ → (Met‘𝑆) = (Met‘ℂ))
32	30, 31	eleq12d 2828	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 = ℂ → (((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (Met‘𝑆) ↔ ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) ∈ (Met‘ℂ)))
33	27, 32	mpbiri 258	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = ℂ → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (Met‘𝑆))
34	3, 33	eqeltrid 2838	. . . 4 ⊢ (𝑆 = ℂ → 𝐷 ∈ (Met‘𝑆))
35	12, 34	jaoi 857	. . 3 ⊢ ((𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑆))
36	1, 2, 35	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑆))
37		blpnf 24336	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑆) ∧ 𝑃 ∈ 𝑆) → (𝑃(ball‘𝐷)+∞) = 𝑆)
38	36, 37	sylan 580	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝑆) → (𝑃(ball‘𝐷)+∞) = 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3926  {cpr 4603   × cxp 5652  dom cdm 5654   ↾ cres 5656   ∘ ccom 5658  Rel wrel 5659  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  ℝcr 11128  +∞cpnf 11266   − cmin 11466  abscabs 15253  Metcmet 21301  ballcbl 21302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-sup 9454  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13009  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-seq 14020  df-exp 14080  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-psmet 21307  df-xmet 21308  df-met 21309  df-bl 21310

This theorem is referenced by:  dvconstbi  44358