Theorem sblpnf 44299

Description: The infinity ball in the absolute value metric is just the whole space. 𝑆 analogue of blpnf 24285. (Contributed by Steve Rodriguez, 8-Nov-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sblpnf.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
sblpnf.d	⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))

Assertion

Ref	Expression
sblpnf	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝑆) → (𝑃(ball‘𝐷)+∞) = 𝑆)

Proof of Theorem sblpnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sblpnf.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2		elpri 4613	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
3		sblpnf.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))
4		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
5	4	remet 24678	. . . . . 6 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (Met‘ℝ)
6		xpeq12 5663	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 = ℝ ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑆 × 𝑆) = (ℝ × ℝ))
7	6	anidms 566	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 = ℝ → (𝑆 × 𝑆) = (ℝ × ℝ))
8	7	reseq2d 5950	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 = ℝ → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
9		fveq2 6858	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 = ℝ → (Met‘𝑆) = (Met‘ℝ))
10	8, 9	eleq12d 2822	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 = ℝ → (((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (Met‘𝑆) ↔ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (Met‘ℝ)))
11	5, 10	mpbiri 258	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = ℝ → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (Met‘𝑆))
12	3, 11	eqeltrid 2832	. . . 4 ⊢ (𝑆 = ℝ → 𝐷 ∈ (Met‘𝑆))
13		relco 6079	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel (abs ∘ − )
14		resdm 5997	. . . . . . . . 9 ⊢ (Rel (abs ∘ − ) → ((abs ∘ − ) ↾ dom (abs ∘ − )) = (abs ∘ − ))
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ dom (abs ∘ − )) = (abs ∘ − )
16		absf 15304	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
17		ax-resscn 11125	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
18		fss 6704	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → abs:ℂ⟶ℂ)
19	16, 17, 18	mp2an 692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ abs:ℂ⟶ℂ
20		subf 11423	. . . . . . . . . . 11 ⊢ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
21		fco 6712	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((abs:ℂ⟶ℂ ∧ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ) → (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℂ)
22	19, 20, 21	mp2an 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℂ
23	22	fdmi 6699	. . . . . . . . 9 ⊢ dom (abs ∘ − ) = (ℂ × ℂ)
24	23	reseq2i 5947	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ dom (abs ∘ − )) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ))
25	15, 24	eqtr3i 2754	. . . . . . 7 ⊢ (abs ∘ − ) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ))
26		cnmet 24659	. . . . . . 7 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
27	25, 26	eqeltrri 2825	. . . . . 6 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) ∈ (Met‘ℂ)
28		xpeq12 5663	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 = ℂ ∧ 𝑆 = ℂ) → (𝑆 × 𝑆) = (ℂ × ℂ))
29	28	anidms 566	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 = ℂ → (𝑆 × 𝑆) = (ℂ × ℂ))
30	29	reseq2d 5950	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 = ℂ → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)))
31		fveq2 6858	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 = ℂ → (Met‘𝑆) = (Met‘ℂ))
32	30, 31	eleq12d 2822	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 = ℂ → (((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (Met‘𝑆) ↔ ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) ∈ (Met‘ℂ)))
33	27, 32	mpbiri 258	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = ℂ → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (Met‘𝑆))
34	3, 33	eqeltrid 2832	. . . 4 ⊢ (𝑆 = ℂ → 𝐷 ∈ (Met‘𝑆))
35	12, 34	jaoi 857	. . 3 ⊢ ((𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑆))
36	1, 2, 35	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑆))
37		blpnf 24285	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑆) ∧ 𝑃 ∈ 𝑆) → (𝑃(ball‘𝐷)+∞) = 𝑆)
38	36, 37	sylan 580	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝑆) → (𝑃(ball‘𝐷)+∞) = 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3914  {cpr 4591   × cxp 5636  dom cdm 5638   ↾ cres 5640   ∘ ccom 5642  Rel wrel 5643  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  ℝcr 11067  +∞cpnf 11205   − cmin 11405  abscabs 15200  Metcmet 21250  ballcbl 21251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-sup 9393  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-seq 13967  df-exp 14027  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259

This theorem is referenced by:  dvconstbi  44323