Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sblpnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sblpnf 39279
Description: The infinity ball in the absolute value metric is just the whole space. 𝑆 analogue of blpnf 22527. (Contributed by Steve Rodriguez, 8-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sblpnf.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
sblpnf.d 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))
Assertion
Ref Expression
sblpnf ((𝜑𝑃𝑆) → (𝑃(ball‘𝐷)+∞) = 𝑆)

Proof of Theorem sblpnf
StepHypRef Expression
1 sblpnf.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 elpri 4388 . . 3 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
3 sblpnf.d . . . . 5 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))
4 eqid 2797 . . . . . . 7 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
54remet 22918 . . . . . 6 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (Met‘ℝ)
6 xpeq12 5335 . . . . . . . . 9 ((𝑆 = ℝ ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑆 × 𝑆) = (ℝ × ℝ))
76anidms 563 . . . . . . . 8 (𝑆 = ℝ → (𝑆 × 𝑆) = (ℝ × ℝ))
87reseq2d 5598 . . . . . . 7 (𝑆 = ℝ → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
9 fveq2 6409 . . . . . . 7 (𝑆 = ℝ → (Met‘𝑆) = (Met‘ℝ))
108, 9eleq12d 2870 . . . . . 6 (𝑆 = ℝ → (((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (Met‘𝑆) ↔ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (Met‘ℝ)))
115, 10mpbiri 250 . . . . 5 (𝑆 = ℝ → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (Met‘𝑆))
123, 11syl5eqel 2880 . . . 4 (𝑆 = ℝ → 𝐷 ∈ (Met‘𝑆))
13 relco 5850 . . . . . . . . 9 Rel (abs ∘ − )
14 resdm 5651 . . . . . . . . 9 (Rel (abs ∘ − ) → ((abs ∘ − ) ↾ dom (abs ∘ − )) = (abs ∘ − ))
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((abs ∘ − ) ↾ dom (abs ∘ − )) = (abs ∘ − )
16 absf 14415 . . . . . . . . . . . 12 abs:ℂ⟶ℝ
17 ax-resscn 10279 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ⊆ ℂ
18 fss 6267 . . . . . . . . . . . 12 ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → abs:ℂ⟶ℂ)
1916, 17, 18mp2an 684 . . . . . . . . . . 11 abs:ℂ⟶ℂ
20 subf 10572 . . . . . . . . . . 11 − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
21 fco 6271 . . . . . . . . . . 11 ((abs:ℂ⟶ℂ ∧ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ) → (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℂ)
2219, 20, 21mp2an 684 . . . . . . . . . 10 (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℂ
2322fdmi 6264 . . . . . . . . 9 dom (abs ∘ − ) = (ℂ × ℂ)
2423reseq2i 5595 . . . . . . . 8 ((abs ∘ − ) ↾ dom (abs ∘ − )) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ))
2515, 24eqtr3i 2821 . . . . . . 7 (abs ∘ − ) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ))
26 cnmet 22900 . . . . . . 7 (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
2725, 26eqeltrri 2873 . . . . . 6 ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) ∈ (Met‘ℂ)
28 xpeq12 5335 . . . . . . . . 9 ((𝑆 = ℂ ∧ 𝑆 = ℂ) → (𝑆 × 𝑆) = (ℂ × ℂ))
2928anidms 563 . . . . . . . 8 (𝑆 = ℂ → (𝑆 × 𝑆) = (ℂ × ℂ))
3029reseq2d 5598 . . . . . . 7 (𝑆 = ℂ → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)))
31 fveq2 6409 . . . . . . 7 (𝑆 = ℂ → (Met‘𝑆) = (Met‘ℂ))
3230, 31eleq12d 2870 . . . . . 6 (𝑆 = ℂ → (((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (Met‘𝑆) ↔ ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) ∈ (Met‘ℂ)))
3327, 32mpbiri 250 . . . . 5 (𝑆 = ℂ → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (Met‘𝑆))
343, 33syl5eqel 2880 . . . 4 (𝑆 = ℂ → 𝐷 ∈ (Met‘𝑆))
3512, 34jaoi 884 . . 3 ((𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑆))
361, 2, 353syl 18 . 2 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑆))
37 blpnf 22527 . 2 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑆) ∧ 𝑃𝑆) → (𝑃(ball‘𝐷)+∞) = 𝑆)
3836, 37sylan 576 1 ((𝜑𝑃𝑆) → (𝑃(ball‘𝐷)+∞) = 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385  wo 874   = wceq 1653  wcel 2157  wss 3767  {cpr 4368   × cxp 5308  dom cdm 5310  cres 5312  ccom 5314  Rel wrel 5315  wf 6095  cfv 6099  (class class class)co 6876  cc 10220  cr 10221  +∞cpnf 10358  cmin 10554  abscabs 14312  Metcmet 20051  ballcbl 20052
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299  ax-pre-sup 10300
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-om 7298  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-er 7980  df-map 8095  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-sup 8588  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-div 10975  df-nn 11311  df-2 11372  df-3 11373  df-n0 11577  df-z 11663  df-uz 11927  df-rp 12071  df-xneg 12189  df-xadd 12190  df-xmul 12191  df-seq 13052  df-exp 13111  df-cj 14177  df-re 14178  df-im 14179  df-sqrt 14313  df-abs 14314  df-psmet 20057  df-xmet 20058  df-met 20059  df-bl 20060
This theorem is referenced by:  dvconstbi  39303
  Copyright terms: Public domain W3C validator