Theorem sblpnf 44737

Description: The infinity ball in the absolute value metric is just the whole space. 𝑆 analogue of blpnf 24362. (Contributed by Steve Rodriguez, 8-Nov-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sblpnf.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
sblpnf.d	⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))

Assertion

Ref	Expression
sblpnf	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝑆) → (𝑃(ball‘𝐷)+∞) = 𝑆)

Proof of Theorem sblpnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sblpnf.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2		elpri 4591	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
3		sblpnf.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))
4		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
5	4	remet 24755	. . . . . 6 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (Met‘ℝ)
6		xpeq12 5656	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 = ℝ ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑆 × 𝑆) = (ℝ × ℝ))
7	6	anidms 566	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 = ℝ → (𝑆 × 𝑆) = (ℝ × ℝ))
8	7	reseq2d 5944	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 = ℝ → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
9		fveq2 6840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 = ℝ → (Met‘𝑆) = (Met‘ℝ))
10	8, 9	eleq12d 2830	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 = ℝ → (((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (Met‘𝑆) ↔ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (Met‘ℝ)))
11	5, 10	mpbiri 258	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = ℝ → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (Met‘𝑆))
12	3, 11	eqeltrid 2840	. . . 4 ⊢ (𝑆 = ℝ → 𝐷 ∈ (Met‘𝑆))
13		relco 6073	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel (abs ∘ − )
14		resdm 5991	. . . . . . . . 9 ⊢ (Rel (abs ∘ − ) → ((abs ∘ − ) ↾ dom (abs ∘ − )) = (abs ∘ − ))
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ dom (abs ∘ − )) = (abs ∘ − )
16		absf 15300	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
17		ax-resscn 11095	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
18		fss 6684	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → abs:ℂ⟶ℂ)
19	16, 17, 18	mp2an 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ abs:ℂ⟶ℂ
20		subf 11395	. . . . . . . . . . 11 ⊢ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
21		fco 6692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((abs:ℂ⟶ℂ ∧ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ) → (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℂ)
22	19, 20, 21	mp2an 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℂ
23	22	fdmi 6679	. . . . . . . . 9 ⊢ dom (abs ∘ − ) = (ℂ × ℂ)
24	23	reseq2i 5941	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ dom (abs ∘ − )) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ))
25	15, 24	eqtr3i 2761	. . . . . . 7 ⊢ (abs ∘ − ) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ))
26		cnmet 24736	. . . . . . 7 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
27	25, 26	eqeltrri 2833	. . . . . 6 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) ∈ (Met‘ℂ)
28		xpeq12 5656	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 = ℂ ∧ 𝑆 = ℂ) → (𝑆 × 𝑆) = (ℂ × ℂ))
29	28	anidms 566	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 = ℂ → (𝑆 × 𝑆) = (ℂ × ℂ))
30	29	reseq2d 5944	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 = ℂ → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)))
31		fveq2 6840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 = ℂ → (Met‘𝑆) = (Met‘ℂ))
32	30, 31	eleq12d 2830	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 = ℂ → (((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (Met‘𝑆) ↔ ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) ∈ (Met‘ℂ)))
33	27, 32	mpbiri 258	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = ℂ → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (Met‘𝑆))
34	3, 33	eqeltrid 2840	. . . 4 ⊢ (𝑆 = ℂ → 𝐷 ∈ (Met‘𝑆))
35	12, 34	jaoi 858	. . 3 ⊢ ((𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑆))
36	1, 2, 35	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑆))
37		blpnf 24362	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑆) ∧ 𝑃 ∈ 𝑆) → (𝑃(ball‘𝐷)+∞) = 𝑆)
38	36, 37	sylan 581	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝑆) → (𝑃(ball‘𝐷)+∞) = 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3889  {cpr 4569   × cxp 5629  dom cdm 5631   ↾ cres 5633   ∘ ccom 5635  Rel wrel 5636  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  ℝcr 11037  +∞cpnf 11176   − cmin 11377  abscabs 15196  Metcmet 21338  ballcbl 21339

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347

This theorem is referenced by:  dvconstbi  44761