Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sblpnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sblpnf 44306
Description: The infinity ball in the absolute value metric is just the whole space. 𝑆 analogue of blpnf 24423. (Contributed by Steve Rodriguez, 8-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sblpnf.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
sblpnf.d 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))
Assertion
Ref Expression
sblpnf ((𝜑𝑃𝑆) → (𝑃(ball‘𝐷)+∞) = 𝑆)

Proof of Theorem sblpnf
StepHypRef Expression
1 sblpnf.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 elpri 4654 . . 3 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
3 sblpnf.d . . . . 5 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))
4 eqid 2735 . . . . . . 7 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
54remet 24826 . . . . . 6 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (Met‘ℝ)
6 xpeq12 5714 . . . . . . . . 9 ((𝑆 = ℝ ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑆 × 𝑆) = (ℝ × ℝ))
76anidms 566 . . . . . . . 8 (𝑆 = ℝ → (𝑆 × 𝑆) = (ℝ × ℝ))
87reseq2d 6000 . . . . . . 7 (𝑆 = ℝ → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
9 fveq2 6907 . . . . . . 7 (𝑆 = ℝ → (Met‘𝑆) = (Met‘ℝ))
108, 9eleq12d 2833 . . . . . 6 (𝑆 = ℝ → (((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (Met‘𝑆) ↔ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (Met‘ℝ)))
115, 10mpbiri 258 . . . . 5 (𝑆 = ℝ → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (Met‘𝑆))
123, 11eqeltrid 2843 . . . 4 (𝑆 = ℝ → 𝐷 ∈ (Met‘𝑆))
13 relco 6129 . . . . . . . . 9 Rel (abs ∘ − )
14 resdm 6046 . . . . . . . . 9 (Rel (abs ∘ − ) → ((abs ∘ − ) ↾ dom (abs ∘ − )) = (abs ∘ − ))
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((abs ∘ − ) ↾ dom (abs ∘ − )) = (abs ∘ − )
16 absf 15373 . . . . . . . . . . . 12 abs:ℂ⟶ℝ
17 ax-resscn 11210 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ⊆ ℂ
18 fss 6753 . . . . . . . . . . . 12 ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → abs:ℂ⟶ℂ)
1916, 17, 18mp2an 692 . . . . . . . . . . 11 abs:ℂ⟶ℂ
20 subf 11508 . . . . . . . . . . 11 − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
21 fco 6761 . . . . . . . . . . 11 ((abs:ℂ⟶ℂ ∧ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ) → (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℂ)
2219, 20, 21mp2an 692 . . . . . . . . . 10 (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℂ
2322fdmi 6748 . . . . . . . . 9 dom (abs ∘ − ) = (ℂ × ℂ)
2423reseq2i 5997 . . . . . . . 8 ((abs ∘ − ) ↾ dom (abs ∘ − )) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ))
2515, 24eqtr3i 2765 . . . . . . 7 (abs ∘ − ) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ))
26 cnmet 24808 . . . . . . 7 (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
2725, 26eqeltrri 2836 . . . . . 6 ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) ∈ (Met‘ℂ)
28 xpeq12 5714 . . . . . . . . 9 ((𝑆 = ℂ ∧ 𝑆 = ℂ) → (𝑆 × 𝑆) = (ℂ × ℂ))
2928anidms 566 . . . . . . . 8 (𝑆 = ℂ → (𝑆 × 𝑆) = (ℂ × ℂ))
3029reseq2d 6000 . . . . . . 7 (𝑆 = ℂ → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)))
31 fveq2 6907 . . . . . . 7 (𝑆 = ℂ → (Met‘𝑆) = (Met‘ℂ))
3230, 31eleq12d 2833 . . . . . 6 (𝑆 = ℂ → (((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (Met‘𝑆) ↔ ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) ∈ (Met‘ℂ)))
3327, 32mpbiri 258 . . . . 5 (𝑆 = ℂ → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (Met‘𝑆))
343, 33eqeltrid 2843 . . . 4 (𝑆 = ℂ → 𝐷 ∈ (Met‘𝑆))
3512, 34jaoi 857 . . 3 ((𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑆))
361, 2, 353syl 18 . 2 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑆))
37 blpnf 24423 . 2 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑆) ∧ 𝑃𝑆) → (𝑃(ball‘𝐷)+∞) = 𝑆)
3836, 37sylan 580 1 ((𝜑𝑃𝑆) → (𝑃(ball‘𝐷)+∞) = 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106  wss 3963  {cpr 4633   × cxp 5687  dom cdm 5689  cres 5691  ccom 5693  Rel wrel 5694  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  +∞cpnf 11290  cmin 11490  abscabs 15270  Metcmet 21368  ballcbl 21369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377
This theorem is referenced by:  dvconstbi  44330
  Copyright terms: Public domain W3C validator