Theorem itcoval1 49249

Description: A function iterated once. (Contributed by AV, 2-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
itcoval1	⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → ((IterComp‘𝐹)‘1) = 𝐹)

Proof of Theorem itcoval1

Dummy variables 𝑔 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itcoval 49247	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (IterComp‘𝐹) = seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹))))
2	1	fveq1d 6865	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ((IterComp‘𝐹)‘1) = (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘1))
3	2	adantl 485	. 2 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → ((IterComp‘𝐹)‘1) = (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘1))
4		nn0uz 12874	. . . 4 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
5		0nn0 12493	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → 0 ∈ ℕ0)
7		1e0p1 12732	. . . 4 ⊢ 1 = (0 + 1)
8	1	eqcomd 2767	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹))) = (IterComp‘𝐹))
9	8	fveq1d 6865	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘0) = ((IterComp‘𝐹)‘0))
10		itcoval0 49248	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ((IterComp‘𝐹)‘0) = ( I ↾ dom 𝐹))
11	9, 10	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘0) = ( I ↾ dom 𝐹))
12	11	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘0) = ( I ↾ dom 𝐹))
13		eqidd 2762	. . . . 5 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))
14		ax-1ne0 11139	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≠ 0
15	14	neii 2958	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 1 = 0
16		eqeq1 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑖 = 0 ↔ 1 = 0))
17	15, 16	mtbiri 329	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 1 → ¬ 𝑖 = 0)
18	17	iffalsed 4490	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 1 → if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹) = 𝐹)
19	18	adantl 485	. . . . 5 ⊢ (((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ 𝑖 = 1) → if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹) = 𝐹)
20		1nn0 12494	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
21	20	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → 1 ∈ ℕ0)
22		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ 𝑉)
23	13, 19, 21, 22	fvmptd 6979	. . . 4 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹))‘1) = 𝐹)
24	4, 6, 7, 12, 23	seqp1d 14028	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘1) = (( I ↾ dom 𝐹)(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))𝐹))
25		eqidd 2762	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) = (𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)))
26		coeq2 5828	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = ( I ↾ dom 𝐹) → (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐹 ∘ ( I ↾ dom 𝐹)))
27	26	ad2antrl 738	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ (𝑔 = ( I ↾ dom 𝐹) ∧ 𝑗 = 𝐹)) → (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐹 ∘ ( I ↾ dom 𝐹)))
28		dmexg 7878	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → dom 𝐹 ∈ V)
29	28	resiexd 7196	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ( I ↾ dom 𝐹) ∈ V)
30		elex 3474	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → 𝐹 ∈ V)
31		coexg 7906	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ ( I ↾ dom 𝐹) ∈ V) → (𝐹 ∘ ( I ↾ dom 𝐹)) ∈ V)
32	29, 31	mpdan 697	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∘ ( I ↾ dom 𝐹)) ∈ V)
33	25, 27, 29, 30, 32	ovmpod 7544	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (( I ↾ dom 𝐹)(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))𝐹) = (𝐹 ∘ ( I ↾ dom 𝐹)))
34	33	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (( I ↾ dom 𝐹)(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))𝐹) = (𝐹 ∘ ( I ↾ dom 𝐹)))
35		coires1 6248	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∘ ( I ↾ dom 𝐹)) = (𝐹 ↾ dom 𝐹)
36		resdm 6010	. . . . . 6 ⊢ (Rel 𝐹 → (𝐹 ↾ dom 𝐹) = 𝐹)
37	36	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾ dom 𝐹) = 𝐹)
38	35, 37	eqtrid 2808	. . . 4 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 ∘ ( I ↾ dom 𝐹)) = 𝐹)
39	34, 38	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (( I ↾ dom 𝐹)(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))𝐹) = 𝐹)
40	24, 39	eqtrd 2796	. 2 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘1) = 𝐹)
41	3, 40	eqtrd 2796	1 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → ((IterComp‘𝐹)‘1) = 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453  ifcif 4479   ↦ cmpt 5180   I cid 5539  dom cdm 5645   ↾ cres 5647   ∘ ccom 5649  Rel wrel 5650  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392   ∈ cmpo 7394  0cc0 11070  1c1 11071  ℕ₀cn0 12478  seqcseq 14011  IterCompcitco 49243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-inf2 9593  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-seq 14012  df-itco 49245

This theorem is referenced by:  itcoval2  49250  ackvalsuc0val  49273