Theorem itcoval1 48557

Description: A function iterated once. (Contributed by AV, 2-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
itcoval1	⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → ((IterComp‘𝐹)‘1) = 𝐹)

Proof of Theorem itcoval1

Dummy variables 𝑔 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itcoval 48555	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (IterComp‘𝐹) = seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹))))
2	1	fveq1d 6888	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ((IterComp‘𝐹)‘1) = (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘1))
3	2	adantl 481	. 2 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → ((IterComp‘𝐹)‘1) = (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘1))
4		nn0uz 12902	. . . 4 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
5		0nn0 12524	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → 0 ∈ ℕ0)
7		1e0p1 12758	. . . 4 ⊢ 1 = (0 + 1)
8	1	eqcomd 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹))) = (IterComp‘𝐹))
9	8	fveq1d 6888	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘0) = ((IterComp‘𝐹)‘0))
10		itcoval0 48556	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ((IterComp‘𝐹)‘0) = ( I ↾ dom 𝐹))
11	9, 10	eqtrd 2769	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘0) = ( I ↾ dom 𝐹))
12	11	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘0) = ( I ↾ dom 𝐹))
13		eqidd 2735	. . . . 5 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))
14		ax-1ne0 11206	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≠ 0
15	14	neii 2933	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 1 = 0
16		eqeq1 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑖 = 0 ↔ 1 = 0))
17	15, 16	mtbiri 327	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 1 → ¬ 𝑖 = 0)
18	17	iffalsed 4516	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 1 → if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹) = 𝐹)
19	18	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ 𝑖 = 1) → if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹) = 𝐹)
20		1nn0 12525	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
21	20	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → 1 ∈ ℕ0)
22		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ 𝑉)
23	13, 19, 21, 22	fvmptd 7003	. . . 4 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹))‘1) = 𝐹)
24	4, 6, 7, 12, 23	seqp1d 14041	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘1) = (( I ↾ dom 𝐹)(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))𝐹))
25		eqidd 2735	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) = (𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)))
26		coeq2 5849	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = ( I ↾ dom 𝐹) → (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐹 ∘ ( I ↾ dom 𝐹)))
27	26	ad2antrl 728	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ (𝑔 = ( I ↾ dom 𝐹) ∧ 𝑗 = 𝐹)) → (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐹 ∘ ( I ↾ dom 𝐹)))
28		dmexg 7905	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → dom 𝐹 ∈ V)
29	28	resiexd 7218	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ( I ↾ dom 𝐹) ∈ V)
30		elex 3484	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → 𝐹 ∈ V)
31		coexg 7933	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ ( I ↾ dom 𝐹) ∈ V) → (𝐹 ∘ ( I ↾ dom 𝐹)) ∈ V)
32	29, 31	mpdan 687	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∘ ( I ↾ dom 𝐹)) ∈ V)
33	25, 27, 29, 30, 32	ovmpod 7567	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (( I ↾ dom 𝐹)(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))𝐹) = (𝐹 ∘ ( I ↾ dom 𝐹)))
34	33	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (( I ↾ dom 𝐹)(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))𝐹) = (𝐹 ∘ ( I ↾ dom 𝐹)))
35		coires1 6264	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∘ ( I ↾ dom 𝐹)) = (𝐹 ↾ dom 𝐹)
36		resdm 6024	. . . . . 6 ⊢ (Rel 𝐹 → (𝐹 ↾ dom 𝐹) = 𝐹)
37	36	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾ dom 𝐹) = 𝐹)
38	35, 37	eqtrid 2781	. . . 4 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 ∘ ( I ↾ dom 𝐹)) = 𝐹)
39	34, 38	eqtrd 2769	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (( I ↾ dom 𝐹)(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))𝐹) = 𝐹)
40	24, 39	eqtrd 2769	. 2 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘1) = 𝐹)
41	3, 40	eqtrd 2769	1 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → ((IterComp‘𝐹)‘1) = 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3463  ifcif 4505   ↦ cmpt 5205   I cid 5557  dom cdm 5665   ↾ cres 5667   ∘ ccom 5669  Rel wrel 5670  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413   ∈ cmpo 7415  0cc0 11137  1c1 11138  ℕ₀cn0 12509  seqcseq 14024  IterCompcitco 48551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-inf2 9663  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12249  df-n0 12510  df-z 12597  df-uz 12861  df-seq 14025  df-itco 48553

This theorem is referenced by:  itcoval2  48558  ackvalsuc0val  48581