Theorem itcoval1 49719

Description: A function iterated once. (Contributed by AV, 2-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
itcoval1	⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → ((IterComp‘𝐹)‘1) = 𝐹)

Proof of Theorem itcoval1

Dummy variables 𝑔 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itcoval 49717	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (IterComp‘𝐹) = seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹))))
2	1	fveq1d 6879	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ((IterComp‘𝐹)‘1) = (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘1))
3	2	adantl 487	. 2 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → ((IterComp‘𝐹)‘1) = (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘1))
4		nn0uz 12984	. . . 4 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
5		0nn0 12602	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → 0 ∈ ℕ0)
7		1e0p1 12842	. . . 4 ⊢ 1 = (0 + 1)
8	1	eqcomd 2767	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹))) = (IterComp‘𝐹))
9	8	fveq1d 6879	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘0) = ((IterComp‘𝐹)‘0))
10		itcoval0 49718	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ((IterComp‘𝐹)‘0) = ( I ↾ dom 𝐹))
11	9, 10	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘0) = ( I ↾ dom 𝐹))
12	11	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘0) = ( I ↾ dom 𝐹))
13		eqidd 2762	. . . . 5 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))
14		ax-1ne0 11250	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≠ 0
15	14	neii 2958	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 1 = 0
16		eqeq1 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑖 = 0 ↔ 1 = 0))
17	15, 16	mtbiri 330	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 1 → ¬ 𝑖 = 0)
18	17	iffalsed 4493	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 1 → if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹) = 𝐹)
19	18	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ 𝑖 = 1) → if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹) = 𝐹)
20		1nn0 12603	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
21	20	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → 1 ∈ ℕ0)
22		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ 𝑉)
23	13, 19, 21, 22	fvmptd 6993	. . . 4 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹))‘1) = 𝐹)
24	4, 6, 7, 12, 23	seqp1d 14141	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘1) = (( I ↾ dom 𝐹)(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))𝐹))
25		eqidd 2762	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) = (𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)))
26		coeq2 5836	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = ( I ↾ dom 𝐹) → (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐹 ∘ ( I ↾ dom 𝐹)))
27	26	ad2antrl 741	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ (𝑔 = ( I ↾ dom 𝐹) ∧ 𝑗 = 𝐹)) → (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐹 ∘ ( I ↾ dom 𝐹)))
28		dmexg 7902	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → dom 𝐹 ∈ V)
29	28	resiexd 7214	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ( I ↾ dom 𝐹) ∈ V)
30		elex 3472	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → 𝐹 ∈ V)
31		coexg 7930	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ ( I ↾ dom 𝐹) ∈ V) → (𝐹 ∘ ( I ↾ dom 𝐹)) ∈ V)
32	29, 31	mpdan 700	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∘ ( I ↾ dom 𝐹)) ∈ V)
33	25, 27, 29, 30, 32	ovmpod 7564	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (( I ↾ dom 𝐹)(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))𝐹) = (𝐹 ∘ ( I ↾ dom 𝐹)))
34	33	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (( I ↾ dom 𝐹)(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))𝐹) = (𝐹 ∘ ( I ↾ dom 𝐹)))
35		coires1 6259	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∘ ( I ↾ dom 𝐹)) = (𝐹 ↾ dom 𝐹)
36		resdm 6017	. . . . . 6 ⊢ (Rel 𝐹 → (𝐹 ↾ dom 𝐹) = 𝐹)
37	36	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾ dom 𝐹) = 𝐹)
38	35, 37	eqtrid 2808	. . . 4 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 ∘ ( I ↾ dom 𝐹)) = 𝐹)
39	34, 38	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (( I ↾ dom 𝐹)(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))𝐹) = 𝐹)
40	24, 39	eqtrd 2796	. 2 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘1) = 𝐹)
41	3, 40	eqtrd 2796	1 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → ((IterComp‘𝐹)‘1) = 𝐹)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451  ifcif 4482   ↦ cmpt 5186   I cid 5545  dom cdm 5651   ↾ cres 5653   ∘ ccom 5655  Rel wrel 5656  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  0cc0 11181  1c1 11182  ℕ₀cn0 12587  seqcseq 14124  IterCompcitco 49713

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-seq 14125  df-itco 49715

This theorem is used by:  itcoval2  49720  ackvalsuc0val  49743