Theorem itcoval1 49151

Description: A function iterated once. (Contributed by AV, 2-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
itcoval1	⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → ((IterComp‘𝐹)‘1) = 𝐹)

Proof of Theorem itcoval1

Dummy variables 𝑔 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itcoval 49149	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (IterComp‘𝐹) = seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹))))
2	1	fveq1d 6836	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ((IterComp‘𝐹)‘1) = (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘1))
3	2	adantl 481	. 2 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → ((IterComp‘𝐹)‘1) = (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘1))
4		nn0uz 12817	. . . 4 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
5		0nn0 12443	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → 0 ∈ ℕ0)
7		1e0p1 12677	. . . 4 ⊢ 1 = (0 + 1)
8	1	eqcomd 2743	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹))) = (IterComp‘𝐹))
9	8	fveq1d 6836	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘0) = ((IterComp‘𝐹)‘0))
10		itcoval0 49150	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ((IterComp‘𝐹)‘0) = ( I ↾ dom 𝐹))
11	9, 10	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘0) = ( I ↾ dom 𝐹))
12	11	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘0) = ( I ↾ dom 𝐹))
13		eqidd 2738	. . . . 5 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))
14		ax-1ne0 11098	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≠ 0
15	14	neii 2935	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 1 = 0
16		eqeq1 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑖 = 0 ↔ 1 = 0))
17	15, 16	mtbiri 327	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 1 → ¬ 𝑖 = 0)
18	17	iffalsed 4478	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 1 → if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹) = 𝐹)
19	18	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ 𝑖 = 1) → if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹) = 𝐹)
20		1nn0 12444	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
21	20	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → 1 ∈ ℕ0)
22		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ 𝑉)
23	13, 19, 21, 22	fvmptd 6949	. . . 4 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹))‘1) = 𝐹)
24	4, 6, 7, 12, 23	seqp1d 13971	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘1) = (( I ↾ dom 𝐹)(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))𝐹))
25		eqidd 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) = (𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)))
26		coeq2 5807	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = ( I ↾ dom 𝐹) → (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐹 ∘ ( I ↾ dom 𝐹)))
27	26	ad2antrl 729	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ (𝑔 = ( I ↾ dom 𝐹) ∧ 𝑗 = 𝐹)) → (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐹 ∘ ( I ↾ dom 𝐹)))
28		dmexg 7845	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → dom 𝐹 ∈ V)
29	28	resiexd 7164	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ( I ↾ dom 𝐹) ∈ V)
30		elex 3451	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → 𝐹 ∈ V)
31		coexg 7873	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ ( I ↾ dom 𝐹) ∈ V) → (𝐹 ∘ ( I ↾ dom 𝐹)) ∈ V)
32	29, 31	mpdan 688	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∘ ( I ↾ dom 𝐹)) ∈ V)
33	25, 27, 29, 30, 32	ovmpod 7512	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (( I ↾ dom 𝐹)(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))𝐹) = (𝐹 ∘ ( I ↾ dom 𝐹)))
34	33	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (( I ↾ dom 𝐹)(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))𝐹) = (𝐹 ∘ ( I ↾ dom 𝐹)))
35		coires1 6223	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∘ ( I ↾ dom 𝐹)) = (𝐹 ↾ dom 𝐹)
36		resdm 5985	. . . . . 6 ⊢ (Rel 𝐹 → (𝐹 ↾ dom 𝐹) = 𝐹)
37	36	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾ dom 𝐹) = 𝐹)
38	35, 37	eqtrid 2784	. . . 4 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 ∘ ( I ↾ dom 𝐹)) = 𝐹)
39	34, 38	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (( I ↾ dom 𝐹)(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))𝐹) = 𝐹)
40	24, 39	eqtrd 2772	. 2 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘1) = 𝐹)
41	3, 40	eqtrd 2772	1 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → ((IterComp‘𝐹)‘1) = 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  ifcif 4467   ↦ cmpt 5167   I cid 5518  dom cdm 5624   ↾ cres 5626   ∘ ccom 5628  Rel wrel 5629  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   ∈ cmpo 7362  0cc0 11029  1c1 11030  ℕ₀cn0 12428  seqcseq 13954  IterCompcitco 49145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-seq 13955  df-itco 49147

This theorem is referenced by:  itcoval2  49152  ackvalsuc0val  49175