MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmresg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmresg 8481
Description: Elementhood of a restricted function in the set of partial functions. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
pmresg ((𝐵𝑉𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐶)) → (𝐹𝐵) ∈ (𝐴pm 𝐵))

Proof of Theorem pmresg
StepHypRef Expression
1 n0i 4223 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐶) → ¬ (𝐴pm 𝐶) = ∅)
2 fnpm 8446 . . . . . . 7 pm Fn (V × V)
32fndmi 6442 . . . . . 6 dom ↑pm = (V × V)
43ndmov 7349 . . . . 5 (¬ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → (𝐴pm 𝐶) = ∅)
51, 4nsyl2 143 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐶) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))
65simpld 498 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐶) → 𝐴 ∈ V)
76adantl 485 . 2 ((𝐵𝑉𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐶)) → 𝐴 ∈ V)
8 simpl 486 . 2 ((𝐵𝑉𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐶)) → 𝐵𝑉)
9 elpmi 8457 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐶) → (𝐹:dom 𝐹𝐴 ∧ dom 𝐹𝐶))
109simpld 498 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐶) → 𝐹:dom 𝐹𝐴)
1110adantl 485 . . . 4 ((𝐵𝑉𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐶)) → 𝐹:dom 𝐹𝐴)
12 inss1 4120 . . . 4 (dom 𝐹𝐵) ⊆ dom 𝐹
13 fssres 6545 . . . 4 ((𝐹:dom 𝐹𝐴 ∧ (dom 𝐹𝐵) ⊆ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ (dom 𝐹𝐵)):(dom 𝐹𝐵)⟶𝐴)
1411, 12, 13sylancl 589 . . 3 ((𝐵𝑉𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐶)) → (𝐹 ↾ (dom 𝐹𝐵)):(dom 𝐹𝐵)⟶𝐴)
15 ffun 6508 . . . . 5 (𝐹:dom 𝐹𝐴 → Fun 𝐹)
16 resres 5839 . . . . . 6 ((𝐹 ↾ dom 𝐹) ↾ 𝐵) = (𝐹 ↾ (dom 𝐹𝐵))
17 funrel 6357 . . . . . . 7 (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
18 resdm 5871 . . . . . . 7 (Rel 𝐹 → (𝐹 ↾ dom 𝐹) = 𝐹)
19 reseq1 5820 . . . . . . 7 ((𝐹 ↾ dom 𝐹) = 𝐹 → ((𝐹 ↾ dom 𝐹) ↾ 𝐵) = (𝐹𝐵))
2017, 18, 193syl 18 . . . . . 6 (Fun 𝐹 → ((𝐹 ↾ dom 𝐹) ↾ 𝐵) = (𝐹𝐵))
2116, 20eqtr3id 2787 . . . . 5 (Fun 𝐹 → (𝐹 ↾ (dom 𝐹𝐵)) = (𝐹𝐵))
2211, 15, 213syl 18 . . . 4 ((𝐵𝑉𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐶)) → (𝐹 ↾ (dom 𝐹𝐵)) = (𝐹𝐵))
2322feq1d 6490 . . 3 ((𝐵𝑉𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐶)) → ((𝐹 ↾ (dom 𝐹𝐵)):(dom 𝐹𝐵)⟶𝐴 ↔ (𝐹𝐵):(dom 𝐹𝐵)⟶𝐴))
2414, 23mpbid 235 . 2 ((𝐵𝑉𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐶)) → (𝐹𝐵):(dom 𝐹𝐵)⟶𝐴)
25 inss2 4121 . . 3 (dom 𝐹𝐵) ⊆ 𝐵
26 elpm2r 8456 . . 3 (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝑉) ∧ ((𝐹𝐵):(dom 𝐹𝐵)⟶𝐴 ∧ (dom 𝐹𝐵) ⊆ 𝐵)) → (𝐹𝐵) ∈ (𝐴pm 𝐵))
2725, 26mpanr2 704 . 2 (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝑉) ∧ (𝐹𝐵):(dom 𝐹𝐵)⟶𝐴) → (𝐹𝐵) ∈ (𝐴pm 𝐵))
287, 8, 24, 27syl21anc 837 1 ((𝐵𝑉𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐶)) → (𝐹𝐵) ∈ (𝐴pm 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2113  Vcvv 3398  cin 3843  wss 3844  c0 4212   × cxp 5524  dom cdm 5526  cres 5528  Rel wrel 5531  Fun wfun 6334  wf 6336  (class class class)co 7171  pm cpm 8439
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7480
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-ral 3058  df-rex 3059  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3683  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-op 4524  df-uni 4798  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-id 5430  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-fv 6348  df-ov 7174  df-oprab 7175  df-mpo 7176  df-1st 7715  df-2nd 7716  df-pm 8441
This theorem is referenced by:  lmres  22052  mbfres  24397  dvnres  24683  cpnres  24689  caures  35538
  Copyright terms: Public domain W3C validator