MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmresg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmresg 8864
Description: Elementhood of a restricted function in the set of partial functions. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
pmresg ((𝐵𝑉𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐶)) → (𝐹𝐵) ∈ (𝐴pm 𝐵))

Proof of Theorem pmresg
StepHypRef Expression
1 n0i 4334 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐶) → ¬ (𝐴pm 𝐶) = ∅)
2 fnpm 8828 . . . . . . 7 pm Fn (V × V)
32fndmi 6654 . . . . . 6 dom ↑pm = (V × V)
43ndmov 7591 . . . . 5 (¬ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → (𝐴pm 𝐶) = ∅)
51, 4nsyl2 141 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐶) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))
65simpld 496 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐶) → 𝐴 ∈ V)
76adantl 483 . 2 ((𝐵𝑉𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐶)) → 𝐴 ∈ V)
8 simpl 484 . 2 ((𝐵𝑉𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐶)) → 𝐵𝑉)
9 elpmi 8840 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐶) → (𝐹:dom 𝐹𝐴 ∧ dom 𝐹𝐶))
109simpld 496 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐶) → 𝐹:dom 𝐹𝐴)
1110adantl 483 . . . 4 ((𝐵𝑉𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐶)) → 𝐹:dom 𝐹𝐴)
12 inss1 4229 . . . 4 (dom 𝐹𝐵) ⊆ dom 𝐹
13 fssres 6758 . . . 4 ((𝐹:dom 𝐹𝐴 ∧ (dom 𝐹𝐵) ⊆ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ (dom 𝐹𝐵)):(dom 𝐹𝐵)⟶𝐴)
1411, 12, 13sylancl 587 . . 3 ((𝐵𝑉𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐶)) → (𝐹 ↾ (dom 𝐹𝐵)):(dom 𝐹𝐵)⟶𝐴)
15 ffun 6721 . . . . 5 (𝐹:dom 𝐹𝐴 → Fun 𝐹)
16 resres 5995 . . . . . 6 ((𝐹 ↾ dom 𝐹) ↾ 𝐵) = (𝐹 ↾ (dom 𝐹𝐵))
17 funrel 6566 . . . . . . 7 (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
18 resdm 6027 . . . . . . 7 (Rel 𝐹 → (𝐹 ↾ dom 𝐹) = 𝐹)
19 reseq1 5976 . . . . . . 7 ((𝐹 ↾ dom 𝐹) = 𝐹 → ((𝐹 ↾ dom 𝐹) ↾ 𝐵) = (𝐹𝐵))
2017, 18, 193syl 18 . . . . . 6 (Fun 𝐹 → ((𝐹 ↾ dom 𝐹) ↾ 𝐵) = (𝐹𝐵))
2116, 20eqtr3id 2787 . . . . 5 (Fun 𝐹 → (𝐹 ↾ (dom 𝐹𝐵)) = (𝐹𝐵))
2211, 15, 213syl 18 . . . 4 ((𝐵𝑉𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐶)) → (𝐹 ↾ (dom 𝐹𝐵)) = (𝐹𝐵))
2322feq1d 6703 . . 3 ((𝐵𝑉𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐶)) → ((𝐹 ↾ (dom 𝐹𝐵)):(dom 𝐹𝐵)⟶𝐴 ↔ (𝐹𝐵):(dom 𝐹𝐵)⟶𝐴))
2414, 23mpbid 231 . 2 ((𝐵𝑉𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐶)) → (𝐹𝐵):(dom 𝐹𝐵)⟶𝐴)
25 inss2 4230 . . 3 (dom 𝐹𝐵) ⊆ 𝐵
26 elpm2r 8839 . . 3 (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝑉) ∧ ((𝐹𝐵):(dom 𝐹𝐵)⟶𝐴 ∧ (dom 𝐹𝐵) ⊆ 𝐵)) → (𝐹𝐵) ∈ (𝐴pm 𝐵))
2725, 26mpanr2 703 . 2 (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝑉) ∧ (𝐹𝐵):(dom 𝐹𝐵)⟶𝐴) → (𝐹𝐵) ∈ (𝐴pm 𝐵))
287, 8, 24, 27syl21anc 837 1 ((𝐵𝑉𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐶)) → (𝐹𝐵) ∈ (𝐴pm 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3475  cin 3948  wss 3949  c0 4323   × cxp 5675  dom cdm 5677  cres 5679  Rel wrel 5682  Fun wfun 6538  wf 6540  (class class class)co 7409  pm cpm 8821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-pm 8823
This theorem is referenced by:  lmres  22804  mbfres  25161  dvnres  25448  cpnres  25454  caures  36628
  Copyright terms: Public domain W3C validator