MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmresg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmresg 8678
Description: Elementhood of a restricted function in the set of partial functions. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
pmresg ((𝐵𝑉𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐶)) → (𝐹𝐵) ∈ (𝐴pm 𝐵))

Proof of Theorem pmresg
StepHypRef Expression
1 n0i 4270 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐶) → ¬ (𝐴pm 𝐶) = ∅)
2 fnpm 8643 . . . . . . 7 pm Fn (V × V)
32fndmi 6556 . . . . . 6 dom ↑pm = (V × V)
43ndmov 7476 . . . . 5 (¬ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → (𝐴pm 𝐶) = ∅)
51, 4nsyl2 141 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐶) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))
65simpld 494 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐶) → 𝐴 ∈ V)
76adantl 481 . 2 ((𝐵𝑉𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐶)) → 𝐴 ∈ V)
8 simpl 482 . 2 ((𝐵𝑉𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐶)) → 𝐵𝑉)
9 elpmi 8654 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐶) → (𝐹:dom 𝐹𝐴 ∧ dom 𝐹𝐶))
109simpld 494 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐶) → 𝐹:dom 𝐹𝐴)
1110adantl 481 . . . 4 ((𝐵𝑉𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐶)) → 𝐹:dom 𝐹𝐴)
12 inss1 4165 . . . 4 (dom 𝐹𝐵) ⊆ dom 𝐹
13 fssres 6658 . . . 4 ((𝐹:dom 𝐹𝐴 ∧ (dom 𝐹𝐵) ⊆ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ (dom 𝐹𝐵)):(dom 𝐹𝐵)⟶𝐴)
1411, 12, 13sylancl 585 . . 3 ((𝐵𝑉𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐶)) → (𝐹 ↾ (dom 𝐹𝐵)):(dom 𝐹𝐵)⟶𝐴)
15 ffun 6621 . . . . 5 (𝐹:dom 𝐹𝐴 → Fun 𝐹)
16 resres 5907 . . . . . 6 ((𝐹 ↾ dom 𝐹) ↾ 𝐵) = (𝐹 ↾ (dom 𝐹𝐵))
17 funrel 6468 . . . . . . 7 (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
18 resdm 5939 . . . . . . 7 (Rel 𝐹 → (𝐹 ↾ dom 𝐹) = 𝐹)
19 reseq1 5888 . . . . . . 7 ((𝐹 ↾ dom 𝐹) = 𝐹 → ((𝐹 ↾ dom 𝐹) ↾ 𝐵) = (𝐹𝐵))
2017, 18, 193syl 18 . . . . . 6 (Fun 𝐹 → ((𝐹 ↾ dom 𝐹) ↾ 𝐵) = (𝐹𝐵))
2116, 20eqtr3id 2787 . . . . 5 (Fun 𝐹 → (𝐹 ↾ (dom 𝐹𝐵)) = (𝐹𝐵))
2211, 15, 213syl 18 . . . 4 ((𝐵𝑉𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐶)) → (𝐹 ↾ (dom 𝐹𝐵)) = (𝐹𝐵))
2322feq1d 6603 . . 3 ((𝐵𝑉𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐶)) → ((𝐹 ↾ (dom 𝐹𝐵)):(dom 𝐹𝐵)⟶𝐴 ↔ (𝐹𝐵):(dom 𝐹𝐵)⟶𝐴))
2414, 23mpbid 231 . 2 ((𝐵𝑉𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐶)) → (𝐹𝐵):(dom 𝐹𝐵)⟶𝐴)
25 inss2 4166 . . 3 (dom 𝐹𝐵) ⊆ 𝐵
26 elpm2r 8653 . . 3 (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝑉) ∧ ((𝐹𝐵):(dom 𝐹𝐵)⟶𝐴 ∧ (dom 𝐹𝐵) ⊆ 𝐵)) → (𝐹𝐵) ∈ (𝐴pm 𝐵))
2725, 26mpanr2 700 . 2 (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝑉) ∧ (𝐹𝐵):(dom 𝐹𝐵)⟶𝐴) → (𝐹𝐵) ∈ (𝐴pm 𝐵))
287, 8, 24, 27syl21anc 834 1 ((𝐵𝑉𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐶)) → (𝐹𝐵) ∈ (𝐴pm 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2101  Vcvv 3434  cin 3888  wss 3889  c0 4259   × cxp 5589  dom cdm 5591  cres 5593  Rel wrel 5596  Fun wfun 6441  wf 6443  (class class class)co 7295  pm cpm 8636
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4842  df-iun 4929  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-id 5491  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-fv 6455  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-mpo 7300  df-1st 7851  df-2nd 7852  df-pm 8638
This theorem is referenced by:  lmres  22479  mbfres  24836  dvnres  25123  cpnres  25129  caures  35946
  Copyright terms: Public domain W3C validator