MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmresg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmresg 8909
Description: Elementhood of a restricted function in the set of partial functions. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
pmresg ((𝐵𝑉𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐶)) → (𝐹𝐵) ∈ (𝐴pm 𝐵))

Proof of Theorem pmresg
StepHypRef Expression
1 n0i 4346 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐶) → ¬ (𝐴pm 𝐶) = ∅)
2 fnpm 8873 . . . . . . 7 pm Fn (V × V)
32fndmi 6673 . . . . . 6 dom ↑pm = (V × V)
43ndmov 7617 . . . . 5 (¬ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → (𝐴pm 𝐶) = ∅)
51, 4nsyl2 141 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐶) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))
65simpld 494 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐶) → 𝐴 ∈ V)
76adantl 481 . 2 ((𝐵𝑉𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐶)) → 𝐴 ∈ V)
8 simpl 482 . 2 ((𝐵𝑉𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐶)) → 𝐵𝑉)
9 elpmi 8885 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐶) → (𝐹:dom 𝐹𝐴 ∧ dom 𝐹𝐶))
109simpld 494 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐶) → 𝐹:dom 𝐹𝐴)
1110adantl 481 . . . 4 ((𝐵𝑉𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐶)) → 𝐹:dom 𝐹𝐴)
12 inss1 4245 . . . 4 (dom 𝐹𝐵) ⊆ dom 𝐹
13 fssres 6775 . . . 4 ((𝐹:dom 𝐹𝐴 ∧ (dom 𝐹𝐵) ⊆ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ (dom 𝐹𝐵)):(dom 𝐹𝐵)⟶𝐴)
1411, 12, 13sylancl 586 . . 3 ((𝐵𝑉𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐶)) → (𝐹 ↾ (dom 𝐹𝐵)):(dom 𝐹𝐵)⟶𝐴)
15 ffun 6740 . . . . 5 (𝐹:dom 𝐹𝐴 → Fun 𝐹)
16 resres 6013 . . . . . 6 ((𝐹 ↾ dom 𝐹) ↾ 𝐵) = (𝐹 ↾ (dom 𝐹𝐵))
17 funrel 6585 . . . . . . 7 (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
18 resdm 6046 . . . . . . 7 (Rel 𝐹 → (𝐹 ↾ dom 𝐹) = 𝐹)
19 reseq1 5994 . . . . . . 7 ((𝐹 ↾ dom 𝐹) = 𝐹 → ((𝐹 ↾ dom 𝐹) ↾ 𝐵) = (𝐹𝐵))
2017, 18, 193syl 18 . . . . . 6 (Fun 𝐹 → ((𝐹 ↾ dom 𝐹) ↾ 𝐵) = (𝐹𝐵))
2116, 20eqtr3id 2789 . . . . 5 (Fun 𝐹 → (𝐹 ↾ (dom 𝐹𝐵)) = (𝐹𝐵))
2211, 15, 213syl 18 . . . 4 ((𝐵𝑉𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐶)) → (𝐹 ↾ (dom 𝐹𝐵)) = (𝐹𝐵))
2322feq1d 6721 . . 3 ((𝐵𝑉𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐶)) → ((𝐹 ↾ (dom 𝐹𝐵)):(dom 𝐹𝐵)⟶𝐴 ↔ (𝐹𝐵):(dom 𝐹𝐵)⟶𝐴))
2414, 23mpbid 232 . 2 ((𝐵𝑉𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐶)) → (𝐹𝐵):(dom 𝐹𝐵)⟶𝐴)
25 inss2 4246 . . 3 (dom 𝐹𝐵) ⊆ 𝐵
26 elpm2r 8884 . . 3 (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝑉) ∧ ((𝐹𝐵):(dom 𝐹𝐵)⟶𝐴 ∧ (dom 𝐹𝐵) ⊆ 𝐵)) → (𝐹𝐵) ∈ (𝐴pm 𝐵))
2725, 26mpanr2 704 . 2 (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝑉) ∧ (𝐹𝐵):(dom 𝐹𝐵)⟶𝐴) → (𝐹𝐵) ∈ (𝐴pm 𝐵))
287, 8, 24, 27syl21anc 838 1 ((𝐵𝑉𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐶)) → (𝐹𝐵) ∈ (𝐴pm 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  cin 3962  wss 3963  c0 4339   × cxp 5687  dom cdm 5689  cres 5691  Rel wrel 5694  Fun wfun 6557  wf 6559  (class class class)co 7431  pm cpm 8866
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-pm 8868
This theorem is referenced by:  lmres  23324  mbfres  25693  dvnres  25982  cpnres  25988  caures  37747
  Copyright terms: Public domain W3C validator