MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  noetainflem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem noetainflem2 27684
Description: Lemma for noeta 27689. The restriction of 𝑊 to the domain of 𝑇 is 𝑇. (Contributed by Scott Fenton, 9-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
noetainflem.1 𝑇 = if(∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥, ((𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {⟨dom (𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1o⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐵 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐵𝑢 <s 𝑣 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥𝑢𝐵 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐵𝑢 <s 𝑣 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥))))
noetainflem.2 𝑊 = (𝑇 ∪ ((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}))
Assertion
Ref Expression
noetainflem2 ((𝐵 No 𝐵 ∈ V) → (𝑊 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)
Distinct variable group:   𝐵,𝑔,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔)

Proof of Theorem noetainflem2
StepHypRef Expression
1 noetainflem.2 . . . 4 𝑊 = (𝑇 ∪ ((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}))
21reseq1i 5976 . . 3 (𝑊 ↾ dom 𝑇) = ((𝑇 ∪ ((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o})) ↾ dom 𝑇)
3 resundir 5995 . . 3 ((𝑇 ∪ ((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o})) ↾ dom 𝑇) = ((𝑇 ↾ dom 𝑇) ∪ (((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}) ↾ dom 𝑇))
42, 3eqtri 2753 . 2 (𝑊 ↾ dom 𝑇) = ((𝑇 ↾ dom 𝑇) ∪ (((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}) ↾ dom 𝑇))
5 noetainflem.1 . . . . . . 7 𝑇 = if(∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥, ((𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {⟨dom (𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1o⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐵 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐵𝑢 <s 𝑣 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥𝑢𝐵 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐵𝑢 <s 𝑣 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥))))
65noinfno 27664 . . . . . 6 ((𝐵 No 𝐵 ∈ V) → 𝑇 No )
7 nofun 27595 . . . . . 6 (𝑇 No → Fun 𝑇)
86, 7syl 17 . . . . 5 ((𝐵 No 𝐵 ∈ V) → Fun 𝑇)
9 funrel 6565 . . . . 5 (Fun 𝑇 → Rel 𝑇)
10 resdm 6026 . . . . 5 (Rel 𝑇 → (𝑇 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)
118, 9, 103syl 18 . . . 4 ((𝐵 No 𝐵 ∈ V) → (𝑇 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)
12 dmres 6012 . . . . . . 7 dom (((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}) ↾ dom 𝑇) = (dom 𝑇 ∩ dom ((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}))
13 2oex 8491 . . . . . . . . . . 11 2o ∈ V
1413snnz 4777 . . . . . . . . . 10 {2o} ≠ ∅
15 dmxp 5926 . . . . . . . . . 10 ({2o} ≠ ∅ → dom ((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}) = (suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇))
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . 9 dom ((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}) = (suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇)
1716ineq2i 4204 . . . . . . . 8 (dom 𝑇 ∩ dom ((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o})) = (dom 𝑇 ∩ (suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇))
18 disjdif 4468 . . . . . . . 8 (dom 𝑇 ∩ (suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇)) = ∅
1917, 18eqtri 2753 . . . . . . 7 (dom 𝑇 ∩ dom ((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o})) = ∅
2012, 19eqtri 2753 . . . . . 6 dom (((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}) ↾ dom 𝑇) = ∅
21 relres 6006 . . . . . . 7 Rel (((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}) ↾ dom 𝑇)
22 reldm0 5925 . . . . . . 7 (Rel (((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}) ↾ dom 𝑇) → ((((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}) ↾ dom 𝑇) = ∅ ↔ dom (((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}) ↾ dom 𝑇) = ∅))
2321, 22ax-mp 5 . . . . . 6 ((((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}) ↾ dom 𝑇) = ∅ ↔ dom (((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}) ↾ dom 𝑇) = ∅)
2420, 23mpbir 230 . . . . 5 (((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}) ↾ dom 𝑇) = ∅
2524a1i 11 . . . 4 ((𝐵 No 𝐵 ∈ V) → (((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}) ↾ dom 𝑇) = ∅)
2611, 25uneq12d 4158 . . 3 ((𝐵 No 𝐵 ∈ V) → ((𝑇 ↾ dom 𝑇) ∪ (((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}) ↾ dom 𝑇)) = (𝑇 ∪ ∅))
27 un0 4387 . . 3 (𝑇 ∪ ∅) = 𝑇
2826, 27eqtrdi 2781 . 2 ((𝐵 No 𝐵 ∈ V) → ((𝑇 ↾ dom 𝑇) ∪ (((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}) ↾ dom 𝑇)) = 𝑇)
294, 28eqtrid 2777 1 ((𝐵 No 𝐵 ∈ V) → (𝑊 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  {cab 2702  wne 2930  wral 3051  wrex 3060  Vcvv 3463  cdif 3938  cun 3939  cin 3940  wss 3941  c0 4319  ifcif 4525  {csn 4625  cop 4631   cuni 4904   class class class wbr 5144  cmpt 5227   × cxp 5671  dom cdm 5673  cres 5675  cima 5676  Rel wrel 5678  suc csuc 6367  cio 6493  Fun wfun 6537  cfv 6543  crio 7368  1oc1o 8473  2oc2o 8474   No csur 27586   <s cslt 27587   bday cbday 27588
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pr 5424  ax-un 7735
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-ord 6368  df-on 6369  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-1o 8480  df-2o 8481  df-no 27589  df-slt 27590  df-bday 27591
This theorem is referenced by:  noetainflem3  27685  noetainflem4  27686  noetalem1  27687
  Copyright terms: Public domain W3C validator