MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  noetainflem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem noetainflem2 27645
Description: Lemma for noeta 27650. The restriction of 𝑊 to the domain of 𝑇 is 𝑇. (Contributed by Scott Fenton, 9-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
noetainflem.1 𝑇 = if(∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥, ((𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {⟨dom (𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1o⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐵 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐵𝑢 <s 𝑣 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥𝑢𝐵 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐵𝑢 <s 𝑣 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥))))
noetainflem.2 𝑊 = (𝑇 ∪ ((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}))
Assertion
Ref Expression
noetainflem2 ((𝐵 No 𝐵 ∈ V) → (𝑊 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)
Distinct variable group:   𝐵,𝑔,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔)

Proof of Theorem noetainflem2
StepHypRef Expression
1 noetainflem.2 . . . 4 𝑊 = (𝑇 ∪ ((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}))
21reseq1i 5975 . . 3 (𝑊 ↾ dom 𝑇) = ((𝑇 ∪ ((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o})) ↾ dom 𝑇)
3 resundir 5994 . . 3 ((𝑇 ∪ ((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o})) ↾ dom 𝑇) = ((𝑇 ↾ dom 𝑇) ∪ (((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}) ↾ dom 𝑇))
42, 3eqtri 2755 . 2 (𝑊 ↾ dom 𝑇) = ((𝑇 ↾ dom 𝑇) ∪ (((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}) ↾ dom 𝑇))
5 noetainflem.1 . . . . . . 7 𝑇 = if(∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥, ((𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {⟨dom (𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1o⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐵 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐵𝑢 <s 𝑣 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥𝑢𝐵 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐵𝑢 <s 𝑣 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥))))
65noinfno 27625 . . . . . 6 ((𝐵 No 𝐵 ∈ V) → 𝑇 No )
7 nofun 27556 . . . . . 6 (𝑇 No → Fun 𝑇)
86, 7syl 17 . . . . 5 ((𝐵 No 𝐵 ∈ V) → Fun 𝑇)
9 funrel 6564 . . . . 5 (Fun 𝑇 → Rel 𝑇)
10 resdm 6024 . . . . 5 (Rel 𝑇 → (𝑇 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)
118, 9, 103syl 18 . . . 4 ((𝐵 No 𝐵 ∈ V) → (𝑇 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)
12 dmres 6001 . . . . . . 7 dom (((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}) ↾ dom 𝑇) = (dom 𝑇 ∩ dom ((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}))
13 2oex 8489 . . . . . . . . . . 11 2o ∈ V
1413snnz 4776 . . . . . . . . . 10 {2o} ≠ ∅
15 dmxp 5925 . . . . . . . . . 10 ({2o} ≠ ∅ → dom ((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}) = (suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇))
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . 9 dom ((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}) = (suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇)
1716ineq2i 4205 . . . . . . . 8 (dom 𝑇 ∩ dom ((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o})) = (dom 𝑇 ∩ (suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇))
18 disjdif 4467 . . . . . . . 8 (dom 𝑇 ∩ (suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇)) = ∅
1917, 18eqtri 2755 . . . . . . 7 (dom 𝑇 ∩ dom ((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o})) = ∅
2012, 19eqtri 2755 . . . . . 6 dom (((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}) ↾ dom 𝑇) = ∅
21 relres 6008 . . . . . . 7 Rel (((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}) ↾ dom 𝑇)
22 reldm0 5924 . . . . . . 7 (Rel (((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}) ↾ dom 𝑇) → ((((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}) ↾ dom 𝑇) = ∅ ↔ dom (((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}) ↾ dom 𝑇) = ∅))
2321, 22ax-mp 5 . . . . . 6 ((((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}) ↾ dom 𝑇) = ∅ ↔ dom (((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}) ↾ dom 𝑇) = ∅)
2420, 23mpbir 230 . . . . 5 (((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}) ↾ dom 𝑇) = ∅
2524a1i 11 . . . 4 ((𝐵 No 𝐵 ∈ V) → (((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}) ↾ dom 𝑇) = ∅)
2611, 25uneq12d 4160 . . 3 ((𝐵 No 𝐵 ∈ V) → ((𝑇 ↾ dom 𝑇) ∪ (((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}) ↾ dom 𝑇)) = (𝑇 ∪ ∅))
27 un0 4386 . . 3 (𝑇 ∪ ∅) = 𝑇
2826, 27eqtrdi 2783 . 2 ((𝐵 No 𝐵 ∈ V) → ((𝑇 ↾ dom 𝑇) ∪ (((suc ( bday 𝐴) ∖ dom 𝑇) × {2o}) ↾ dom 𝑇)) = 𝑇)
294, 28eqtrid 2779 1 ((𝐵 No 𝐵 ∈ V) → (𝑊 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  {cab 2704  wne 2935  wral 3056  wrex 3065  Vcvv 3469  cdif 3941  cun 3942  cin 3943  wss 3944  c0 4318  ifcif 4524  {csn 4624  cop 4630   cuni 4903   class class class wbr 5142  cmpt 5225   × cxp 5670  dom cdm 5672  cres 5674  cima 5675  Rel wrel 5677  suc csuc 6365  cio 6492  Fun wfun 6536  cfv 6542  crio 7369  1oc1o 8471  2oc2o 8472   No csur 27547   <s cslt 27548   bday cbday 27549
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423  ax-un 7732
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ord 6366  df-on 6367  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-1o 8478  df-2o 8479  df-no 27550  df-slt 27551  df-bday 27552
This theorem is referenced by:  noetainflem3  27646  noetainflem4  27647  noetalem1  27648
  Copyright terms: Public domain W3C validator