MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  noetasuplem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem noetasuplem2 27166
Description: Lemma for noeta 27175. The restriction of 𝑍 to dom 𝑆 is 𝑆. (Contributed by Scott Fenton, 9-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
noetasuplem.1 𝑆 = if(∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦, ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥𝑢𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥))))
noetasuplem.2 𝑍 = (𝑆 ∪ ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}))
Assertion
Ref Expression
noetasuplem2 ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝑍 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)
Distinct variable group:   𝐴,𝑔,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔)   𝑍(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔)

Proof of Theorem noetasuplem2
StepHypRef Expression
1 noetasuplem.2 . . . 4 𝑍 = (𝑆 ∪ ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}))
21reseq1i 5970 . . 3 (𝑍 ↾ dom 𝑆) = ((𝑆 ∪ ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o})) ↾ dom 𝑆)
3 resundir 5989 . . 3 ((𝑆 ∪ ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o})) ↾ dom 𝑆) = ((𝑆 ↾ dom 𝑆) ∪ (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}) ↾ dom 𝑆))
4 dmres 5996 . . . . . 6 dom (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}) ↾ dom 𝑆) = (dom 𝑆 ∩ dom ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}))
5 1oex 8460 . . . . . . . . 9 1o ∈ V
65snnz 4774 . . . . . . . 8 {1o} ≠ ∅
7 dmxp 5921 . . . . . . . 8 ({1o} ≠ ∅ → dom ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}) = (suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆))
86, 7ax-mp 5 . . . . . . 7 dom ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}) = (suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆)
98ineq2i 4206 . . . . . 6 (dom 𝑆 ∩ dom ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o})) = (dom 𝑆 ∩ (suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆))
10 disjdif 4468 . . . . . 6 (dom 𝑆 ∩ (suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆)) = ∅
114, 9, 103eqtri 2764 . . . . 5 dom (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}) ↾ dom 𝑆) = ∅
12 relres 6003 . . . . . 6 Rel (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}) ↾ dom 𝑆)
13 reldm0 5920 . . . . . 6 (Rel (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}) ↾ dom 𝑆) → ((((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}) ↾ dom 𝑆) = ∅ ↔ dom (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}) ↾ dom 𝑆) = ∅))
1412, 13ax-mp 5 . . . . 5 ((((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}) ↾ dom 𝑆) = ∅ ↔ dom (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}) ↾ dom 𝑆) = ∅)
1511, 14mpbir 230 . . . 4 (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}) ↾ dom 𝑆) = ∅
1615uneq2i 4157 . . 3 ((𝑆 ↾ dom 𝑆) ∪ (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}) ↾ dom 𝑆)) = ((𝑆 ↾ dom 𝑆) ∪ ∅)
172, 3, 163eqtri 2764 . 2 (𝑍 ↾ dom 𝑆) = ((𝑆 ↾ dom 𝑆) ∪ ∅)
18 noetasuplem.1 . . . . . . . 8 𝑆 = if(∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦, ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥𝑢𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥))))
1918nosupno 27135 . . . . . . 7 ((𝐴 No 𝐴 ∈ V) → 𝑆 No )
20193adant3 1132 . . . . . 6 ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝑆 No )
21 nofun 27081 . . . . . 6 (𝑆 No → Fun 𝑆)
2220, 21syl 17 . . . . 5 ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → Fun 𝑆)
23 funrel 6555 . . . . 5 (Fun 𝑆 → Rel 𝑆)
24 resdm 6019 . . . . 5 (Rel 𝑆 → (𝑆 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)
2522, 23, 243syl 18 . . . 4 ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝑆 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)
2625uneq1d 4159 . . 3 ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ((𝑆 ↾ dom 𝑆) ∪ ∅) = (𝑆 ∪ ∅))
27 un0 4387 . . 3 (𝑆 ∪ ∅) = 𝑆
2826, 27eqtrdi 2788 . 2 ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ((𝑆 ↾ dom 𝑆) ∪ ∅) = 𝑆)
2917, 28eqtrid 2784 1 ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝑍 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  {cab 2709  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3474  cdif 3942  cun 3943  cin 3944  wss 3945  c0 4319  ifcif 4523  {csn 4623  cop 4629   cuni 4902   class class class wbr 5142  cmpt 5225   × cxp 5668  dom cdm 5670  cres 5672  cima 5673  Rel wrel 5675  suc csuc 6356  cio 6483  Fun wfun 6527  cfv 6533  crio 7349  1oc1o 8443  2oc2o 8444   No csur 27072   <s cslt 27073   bday cbday 27074
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5421  ax-un 7709
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-ord 6357  df-on 6358  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7350  df-1o 8450  df-2o 8451  df-no 27075  df-slt 27076  df-bday 27077
This theorem is referenced by:  noetalem1  27173
  Copyright terms: Public domain W3C validator