MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  noetasuplem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem noetasuplem3 27474
Description: Lemma for noeta 27482. 𝑍 is an upper bound for 𝐴. Part of Theorem 5.1 of [Lipparini] p. 7-8. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
noetasuplem.1 𝑆 = if(∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦, ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥𝑢𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥))))
noetasuplem.2 𝑍 = (𝑆 ∪ ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}))
Assertion
Ref Expression
noetasuplem3 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋𝐴) → 𝑋 <s 𝑍)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑔,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦   𝑢,𝑋,𝑣,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔)   𝑋(𝑔)   𝑍(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔)

Proof of Theorem noetasuplem3
StepHypRef Expression
1 simpl1 1189 . . . 4 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋𝐴) → 𝐴 No )
2 simpl2 1190 . . . 4 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋𝐴) → 𝐴 ∈ V)
3 simpr 483 . . . 4 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋𝐴) → 𝑋𝐴)
4 noetasuplem.1 . . . . 5 𝑆 = if(∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦, ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥𝑢𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥))))
54nosupbnd1 27453 . . . 4 ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑋𝐴) → (𝑋 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)
61, 2, 3, 5syl3anc 1369 . . 3 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋𝐴) → (𝑋 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)
7 noetasuplem.2 . . . . . 6 𝑍 = (𝑆 ∪ ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}))
87reseq1i 5976 . . . . 5 (𝑍 ↾ dom 𝑆) = ((𝑆 ∪ ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o})) ↾ dom 𝑆)
9 resundir 5995 . . . . . 6 ((𝑆 ∪ ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o})) ↾ dom 𝑆) = ((𝑆 ↾ dom 𝑆) ∪ (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}) ↾ dom 𝑆))
10 df-res 5687 . . . . . . . 8 (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}) ↾ dom 𝑆) = (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}) ∩ (dom 𝑆 × V))
11 disjdifr 4471 . . . . . . . . 9 ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) ∩ dom 𝑆) = ∅
12 xpdisj1 6159 . . . . . . . . 9 (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) ∩ dom 𝑆) = ∅ → (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}) ∩ (dom 𝑆 × V)) = ∅)
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . . 8 (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}) ∩ (dom 𝑆 × V)) = ∅
1410, 13eqtri 2758 . . . . . . 7 (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}) ↾ dom 𝑆) = ∅
1514uneq2i 4159 . . . . . 6 ((𝑆 ↾ dom 𝑆) ∪ (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}) ↾ dom 𝑆)) = ((𝑆 ↾ dom 𝑆) ∪ ∅)
16 un0 4389 . . . . . 6 ((𝑆 ↾ dom 𝑆) ∪ ∅) = (𝑆 ↾ dom 𝑆)
179, 15, 163eqtri 2762 . . . . 5 ((𝑆 ∪ ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o})) ↾ dom 𝑆) = (𝑆 ↾ dom 𝑆)
188, 17eqtri 2758 . . . 4 (𝑍 ↾ dom 𝑆) = (𝑆 ↾ dom 𝑆)
194nosupno 27442 . . . . . . 7 ((𝐴 No 𝐴 ∈ V) → 𝑆 No )
201, 2, 19syl2anc 582 . . . . . 6 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋𝐴) → 𝑆 No )
21 nofun 27388 . . . . . 6 (𝑆 No → Fun 𝑆)
2220, 21syl 17 . . . . 5 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋𝐴) → Fun 𝑆)
23 funrel 6564 . . . . 5 (Fun 𝑆 → Rel 𝑆)
24 resdm 6025 . . . . 5 (Rel 𝑆 → (𝑆 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)
2522, 23, 243syl 18 . . . 4 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋𝐴) → (𝑆 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)
2618, 25eqtrid 2782 . . 3 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋𝐴) → (𝑍 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)
276, 26breqtrrd 5175 . 2 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋𝐴) → (𝑋 ↾ dom 𝑆) <s (𝑍 ↾ dom 𝑆))
28 simp1 1134 . . . 4 ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 No )
2928sselda 3981 . . 3 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋𝐴) → 𝑋 No )
304, 7noetasuplem1 27472 . . . 4 ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝑍 No )
3130adantr 479 . . 3 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋𝐴) → 𝑍 No )
32 nodmon 27389 . . . 4 (𝑆 No → dom 𝑆 ∈ On)
3320, 32syl 17 . . 3 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋𝐴) → dom 𝑆 ∈ On)
34 sltres 27401 . . 3 ((𝑋 No 𝑍 No ∧ dom 𝑆 ∈ On) → ((𝑋 ↾ dom 𝑆) <s (𝑍 ↾ dom 𝑆) → 𝑋 <s 𝑍))
3529, 31, 33, 34syl3anc 1369 . 2 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋𝐴) → ((𝑋 ↾ dom 𝑆) <s (𝑍 ↾ dom 𝑆) → 𝑋 <s 𝑍))
3627, 35mpd 15 1 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋𝐴) → 𝑋 <s 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394  w3a 1085   = wceq 1539  wcel 2104  {cab 2707  wral 3059  wrex 3068  Vcvv 3472  cdif 3944  cun 3945  cin 3946  wss 3947  c0 4321  ifcif 4527  {csn 4627  cop 4633   cuni 4907   class class class wbr 5147  cmpt 5230   × cxp 5673  dom cdm 5675  cres 5677  cima 5678  Rel wrel 5680  Oncon0 6363  suc csuc 6365  cio 6492  Fun wfun 6536  cfv 6542  crio 7366  1oc1o 8461  2oc2o 8462   No csur 27379   <s cslt 27380   bday cbday 27381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6366  df-on 6367  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-1o 8468  df-2o 8469  df-no 27382  df-slt 27383  df-bday 27384
This theorem is referenced by:  noetalem1  27480
  Copyright terms: Public domain W3C validator