Theorem noetasuplem3 27972

Description: Lemma for noeta 27980. 𝑍 is an upper bound for 𝐴. Part of Theorem 5.1 of [Lipparini] p. 7-8. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
noetasuplem.1	⊢ 𝑆 = if(∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦, ((℩𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 (¬ 𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 (¬ 𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢‘𝑔) = 𝑥))))
noetasuplem.2	⊢ 𝑍 = (𝑆 ∪ ((suc ∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}))

Assertion

Ref	Expression
noetasuplem3	⊢ (((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 <s 𝑍)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑔,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦   𝑢,𝑋,𝑣,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥, 𝑦, 𝑣, 𝑢, 𝑔)   𝑆(𝑥, 𝑦, 𝑣, 𝑢, 𝑔)   𝑋(𝑔)   𝑍(𝑥, 𝑦, 𝑣, 𝑢, 𝑔)

Proof of Theorem noetasuplem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1210	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ No )
2		simpl2 1211	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
3		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐴)
4		noetasuplem.1	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = if(∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦, ((℩𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 (¬ 𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 (¬ 𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢‘𝑔) = 𝑥))))
5	4	nosupbnd1 27951	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑋 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)
6	1, 2, 3, 5	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑋 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)
7		noetasuplem.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (𝑆 ∪ ((suc ∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}))
8	7	reseq1i 5972	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ↾ dom 𝑆) = ((𝑆 ∪ ((suc ∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o})) ↾ dom 𝑆)
9		resundir 5991	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∪ ((suc ∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o})) ↾ dom 𝑆) = ((𝑆 ↾ dom 𝑆) ∪ (((suc ∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}) ↾ dom 𝑆))
10		df-res 5671	. . . . . . . 8 ⊢ (((suc ∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}) ↾ dom 𝑆) = (((suc ∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}) ∩ (dom 𝑆 × V))
11		disjdifr 4430	. . . . . . . . 9 ⊢ ((suc ∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) ∩ dom 𝑆) = ∅
12		xpdisj1 6157	. . . . . . . . 9 ⊢ (((suc ∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) ∩ dom 𝑆) = ∅ → (((suc ∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}) ∩ (dom 𝑆 × V)) = ∅)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (((suc ∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}) ∩ (dom 𝑆 × V)) = ∅
14	10, 13	eqtri 2785	. . . . . . 7 ⊢ (((suc ∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}) ↾ dom 𝑆) = ∅
15	14	uneq2i 4115	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ↾ dom 𝑆) ∪ (((suc ∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}) ↾ dom 𝑆)) = ((𝑆 ↾ dom 𝑆) ∪ ∅)
16		un0 4347	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ↾ dom 𝑆) ∪ ∅) = (𝑆 ↾ dom 𝑆)
17	9, 15, 16	3eqtri 2789	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∪ ((suc ∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o})) ↾ dom 𝑆) = (𝑆 ↾ dom 𝑆)
18	8, 17	eqtri 2785	. . . 4 ⊢ (𝑍 ↾ dom 𝑆) = (𝑆 ↾ dom 𝑆)
19	4	nosupno 27940	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝑆 ∈ No )
20	1, 2, 19	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑆 ∈ No )
21		nofun 27886	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ No → Fun 𝑆)
22		funrel 6554	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝑆 → Rel 𝑆)
23		resdm 6023	. . . . 5 ⊢ (Rel 𝑆 → (𝑆 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)
24	20, 21, 22, 23	4syl 20	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑆 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)
25	18, 24	eqtrid 2809	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑍 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)
26	6, 25	breqtrrd 5137	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑋 ↾ dom 𝑆) <s (𝑍 ↾ dom 𝑆))
27		simp1 1154	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ⊆ No )
28	27	sselda 3934	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ No )
29	4, 7	noetasuplem1 27970	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝑍 ∈ No )
30	29	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑍 ∈ No )
31		nodmon 27887	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ No → dom 𝑆 ∈ On)
32	20, 31	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → dom 𝑆 ∈ On)
33		ltsres 27899	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ No ∧ 𝑍 ∈ No ∧ dom 𝑆 ∈ On) → ((𝑋 ↾ dom 𝑆) <s (𝑍 ↾ dom 𝑆) → 𝑋 <s 𝑍))
34	28, 30, 32, 33	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝑋 ↾ dom 𝑆) <s (𝑍 ↾ dom 𝑆) → 𝑋 <s 𝑍))
35	26, 34	mpd 16	1 ⊢ (((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 <s 𝑍)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cab 2740  ∀wral 3078  ∃wrex 3088  Vcvv 3453   ∖ cdif 3899   ∪ cun 3900   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282  ifcif 4485  {csn 4587  ⟨cop 4593  ∪ cuni 4870   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190   × cxp 5657  dom cdm 5659   ↾ cres 5661   “ cima 5662  Rel wrel 5664  Oncon0 6361  suc csuc 6363  ℩cio 6491  Fun wfun 6531  ‘cfv 6537  ℩crio 7372  1_oc1o 8451  2_oc2o 8452   No csur 27877   <s clts 27878   bday cbday 27879

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fo 6543  df-fv 6545  df-riota 7373  df-1o 8458  df-2o 8459  df-no 27880  df-lts 27881  df-bday 27882

This theorem is used by:  noetalem1  27978