Theorem noetasuplem3 27475

Description: Lemma for noeta 27483. 𝑍 is an upper bound for 𝐴. Part of Theorem 5.1 of [Lipparini] p. 7-8. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
noetasuplem.1	⊢ 𝑆 = if(∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦, ((℩𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 (¬ 𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 (¬ 𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢‘𝑔) = 𝑥))))
noetasuplem.2	⊢ 𝑍 = (𝑆 ∪ ((suc ∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}))

Assertion

Ref	Expression
noetasuplem3	⊢ (((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 <s 𝑍)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑔,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦   𝑢,𝑋,𝑣,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔)   𝑋(𝑔)   𝑍(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔)

Proof of Theorem noetasuplem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1190	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ No )
2		simpl2 1191	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
3		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐴)
4		noetasuplem.1	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = if(∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦, ((℩𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 (¬ 𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 (¬ 𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢‘𝑔) = 𝑥))))
5	4	nosupbnd1 27454	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑋 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)
6	1, 2, 3, 5	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑋 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)
7		noetasuplem.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (𝑆 ∪ ((suc ∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}))
8	7	reseq1i 5977	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ↾ dom 𝑆) = ((𝑆 ∪ ((suc ∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o})) ↾ dom 𝑆)
9		resundir 5996	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∪ ((suc ∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o})) ↾ dom 𝑆) = ((𝑆 ↾ dom 𝑆) ∪ (((suc ∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}) ↾ dom 𝑆))
10		df-res 5688	. . . . . . . 8 ⊢ (((suc ∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}) ↾ dom 𝑆) = (((suc ∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}) ∩ (dom 𝑆 × V))
11		disjdifr 4472	. . . . . . . . 9 ⊢ ((suc ∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) ∩ dom 𝑆) = ∅
12		xpdisj1 6160	. . . . . . . . 9 ⊢ (((suc ∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) ∩ dom 𝑆) = ∅ → (((suc ∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}) ∩ (dom 𝑆 × V)) = ∅)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (((suc ∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}) ∩ (dom 𝑆 × V)) = ∅
14	10, 13	eqtri 2759	. . . . . . 7 ⊢ (((suc ∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}) ↾ dom 𝑆) = ∅
15	14	uneq2i 4160	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ↾ dom 𝑆) ∪ (((suc ∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}) ↾ dom 𝑆)) = ((𝑆 ↾ dom 𝑆) ∪ ∅)
16		un0 4390	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ↾ dom 𝑆) ∪ ∅) = (𝑆 ↾ dom 𝑆)
17	9, 15, 16	3eqtri 2763	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∪ ((suc ∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o})) ↾ dom 𝑆) = (𝑆 ↾ dom 𝑆)
18	8, 17	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ (𝑍 ↾ dom 𝑆) = (𝑆 ↾ dom 𝑆)
19	4	nosupno 27443	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝑆 ∈ No )
20	1, 2, 19	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑆 ∈ No )
21		nofun 27389	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ No → Fun 𝑆)
22	20, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → Fun 𝑆)
23		funrel 6565	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝑆 → Rel 𝑆)
24		resdm 6026	. . . . 5 ⊢ (Rel 𝑆 → (𝑆 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)
25	22, 23, 24	3syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑆 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)
26	18, 25	eqtrid 2783	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑍 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)
27	6, 26	breqtrrd 5176	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑋 ↾ dom 𝑆) <s (𝑍 ↾ dom 𝑆))
28		simp1 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ⊆ No )
29	28	sselda 3982	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ No )
30	4, 7	noetasuplem1 27473	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝑍 ∈ No )
31	30	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑍 ∈ No )
32		nodmon 27390	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ No → dom 𝑆 ∈ On)
33	20, 32	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → dom 𝑆 ∈ On)
34		sltres 27402	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ No ∧ 𝑍 ∈ No ∧ dom 𝑆 ∈ On) → ((𝑋 ↾ dom 𝑆) <s (𝑍 ↾ dom 𝑆) → 𝑋 <s 𝑍))
35	29, 31, 33, 34	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝑋 ↾ dom 𝑆) <s (𝑍 ↾ dom 𝑆) → 𝑋 <s 𝑍))
36	27, 35	mpd 15	1 ⊢ (((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 <s 𝑍)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {cab 2708  ∀wral 3060  ∃wrex 3069  Vcvv 3473   ∖ cdif 3945   ∪ cun 3946   ∩ cin 3947   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322  ifcif 4528  {csn 4628  ⟨cop 4634  ∪ cuni 4908   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   × cxp 5674  dom cdm 5676   ↾ cres 5678   “ cima 5679  Rel wrel 5681  Oncon0 6364  suc csuc 6366  ℩cio 6493  Fun wfun 6537  ‘cfv 6543  ℩crio 7367  1_oc1o 8463  2_oc2o 8464   No csur 27380   <s cslt 27381   bday cbday 27382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-1o 8470  df-2o 8471  df-no 27383  df-slt 27384  df-bday 27385

This theorem is referenced by:  noetalem1  27481