Theorem noetasuplem3 28093

Description: Lemma for noeta 28101. 𝑍 is an upper bound for 𝐴. Part of Theorem 5.1 of [Lipparini] p. 7-8. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
noetasuplem.1	⊢ 𝑆 = if(∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦, ((℩𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 (¬ 𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 (¬ 𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢‘𝑔) = 𝑥))))
noetasuplem.2	⊢ 𝑍 = (𝑆 ∪ ((suc ∪ (bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}))

Assertion

Ref	Expression
noetasuplem3	⊢ (((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 <s 𝑍)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑔,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦   𝑢,𝑋,𝑣,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥, 𝑦, 𝑣, 𝑢, 𝑔)   𝑆(𝑥, 𝑦, 𝑣, 𝑢, 𝑔)   𝑋(𝑔)   𝑍(𝑥, 𝑦, 𝑣, 𝑢, 𝑔)

Proof of Theorem noetasuplem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1210	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ No)
2		simpl2 1211	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
3		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐴)
4		noetasuplem.1	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = if(∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦, ((℩𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 (¬ 𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 (¬ 𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢‘𝑔) = 𝑥))))
5	4	nosupbnd1 28072	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑋 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)
6	1, 2, 3, 5	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑋 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)
7		noetasuplem.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (𝑆 ∪ ((suc ∪ (bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}))
8	7	reseq1i 5965	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ↾ dom 𝑆) = ((𝑆 ∪ ((suc ∪ (bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o})) ↾ dom 𝑆)
9		resundir 5984	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∪ ((suc ∪ (bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o})) ↾ dom 𝑆) = ((𝑆 ↾ dom 𝑆) ∪ (((suc ∪ (bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}) ↾ dom 𝑆))
10		df-res 5662	. . . . . . . 8 ⊢ (((suc ∪ (bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}) ↾ dom 𝑆) = (((suc ∪ (bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}) ∩ (dom 𝑆 × V))
11		disjdifr 4426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((suc ∪ (bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) ∩ dom 𝑆) = ∅
12		xpdisj1 6151	. . . . . . . . 9 ⊢ (((suc ∪ (bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) ∩ dom 𝑆) = ∅ → (((suc ∪ (bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}) ∩ (dom 𝑆 × V)) = ∅)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (((suc ∪ (bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}) ∩ (dom 𝑆 × V)) = ∅
14	10, 13	eqtri 2783	. . . . . . 7 ⊢ (((suc ∪ (bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}) ↾ dom 𝑆) = ∅
15	14	uneq2i 4164	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ↾ dom 𝑆) ∪ (((suc ∪ (bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}) ↾ dom 𝑆)) = ((𝑆 ↾ dom 𝑆) ∪ ∅)
16		un0 4343	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ↾ dom 𝑆) ∪ ∅) = (𝑆 ↾ dom 𝑆)
17	9, 15, 16	3eqtri 2787	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∪ ((suc ∪ (bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o})) ↾ dom 𝑆) = (𝑆 ↾ dom 𝑆)
18	8, 17	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ (𝑍 ↾ dom 𝑆) = (𝑆 ↾ dom 𝑆)
19	4	nosupno 28061	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝑆 ∈ No)
20	1, 2, 19	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑆 ∈ No)
21		nofun 28007	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ No → Fun 𝑆)
22		funrel 6556	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝑆 → Rel 𝑆)
23		resdm 6014	. . . . 5 ⊢ (Rel 𝑆 → (𝑆 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)
24	20, 21, 22, 23	4syl 20	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑆 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)
25	18, 24	eqtrid 2807	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑍 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)
26	6, 25	breqtrrd 5132	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑋 ↾ dom 𝑆) <s (𝑍 ↾ dom 𝑆))
27		simp1 1154	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ⊆ No)
28	27	sselda 3908	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ No)
29	4, 7	noetasuplem1 28091	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝑍 ∈ No)
30	29	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑍 ∈ No)
31		nodmon 28008	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ No → dom 𝑆 ∈ On)
32	20, 31	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → dom 𝑆 ∈ On)
33		ltsres 28020	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ No ∧ 𝑍 ∈ No ∧ dom 𝑆 ∈ On) → ((𝑋 ↾ dom 𝑆) <s (𝑍 ↾ dom 𝑆) → 𝑋 <s 𝑍))
34	28, 30, 32, 33	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝑋 ↾ dom 𝑆) <s (𝑍 ↾ dom 𝑆) → 𝑋 <s 𝑍))
35	26, 34	mpd 16	1 ⊢ (((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 <s 𝑍)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {cab 2738  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045   ∩ cin 4089   ∪ cun 4149  ∅c0 4278  ifcif 4481  {csn 4583  ⟨cop 4589  ∪ cuni 4866   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185   × cxp 5648  dom cdm 5650   ↾ cres 5652   “ cima 5653  Rel wrel 5655  Oncon0 6362  suc csuc 6364  ℩cio 6492  Fun wfun 6532  ‘cfv 6538  ℩crio 7376  1_oc1o 8470  2_oc2o 8471  Nocsur 27998   <s clts 27999  bdaycbday 28000

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-ord 6365  df-on 6366  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fo 6544  df-fv 6546  df-riota 7377  df-1o 8477  df-2o 8478  df-no 28001  df-lts 28002  df-bday 28003

This theorem is used by:  noetalem1  28099