Theorem noetasuplem3 27645

Description: Lemma for noeta 27653. 𝑍 is an upper bound for 𝐴. Part of Theorem 5.1 of [Lipparini] p. 7-8. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
noetasuplem.1	⊢ 𝑆 = if(∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦, ((℩𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 (¬ 𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 (¬ 𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢‘𝑔) = 𝑥))))
noetasuplem.2	⊢ 𝑍 = (𝑆 ∪ ((suc ∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}))

Assertion

Ref	Expression
noetasuplem3	⊢ (((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 <s 𝑍)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑔,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦   𝑢,𝑋,𝑣,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔)   𝑋(𝑔)   𝑍(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔)

Proof of Theorem noetasuplem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1192	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ No )
2		simpl2 1193	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
3		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐴)
4		noetasuplem.1	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = if(∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦, ((℩𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 (¬ 𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 (¬ 𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢‘𝑔) = 𝑥))))
5	4	nosupbnd1 27624	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑋 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)
6	1, 2, 3, 5	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑋 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)
7		noetasuplem.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (𝑆 ∪ ((suc ∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}))
8	7	reseq1i 5926	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ↾ dom 𝑆) = ((𝑆 ∪ ((suc ∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o})) ↾ dom 𝑆)
9		resundir 5945	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∪ ((suc ∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o})) ↾ dom 𝑆) = ((𝑆 ↾ dom 𝑆) ∪ (((suc ∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}) ↾ dom 𝑆))
10		df-res 5631	. . . . . . . 8 ⊢ (((suc ∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}) ↾ dom 𝑆) = (((suc ∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}) ∩ (dom 𝑆 × V))
11		disjdifr 4424	. . . . . . . . 9 ⊢ ((suc ∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) ∩ dom 𝑆) = ∅
12		xpdisj1 6110	. . . . . . . . 9 ⊢ (((suc ∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) ∩ dom 𝑆) = ∅ → (((suc ∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}) ∩ (dom 𝑆 × V)) = ∅)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (((suc ∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}) ∩ (dom 𝑆 × V)) = ∅
14	10, 13	eqtri 2752	. . . . . . 7 ⊢ (((suc ∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}) ↾ dom 𝑆) = ∅
15	14	uneq2i 4116	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ↾ dom 𝑆) ∪ (((suc ∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o}) ↾ dom 𝑆)) = ((𝑆 ↾ dom 𝑆) ∪ ∅)
16		un0 4345	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ↾ dom 𝑆) ∪ ∅) = (𝑆 ↾ dom 𝑆)
17	9, 15, 16	3eqtri 2756	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∪ ((suc ∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1o})) ↾ dom 𝑆) = (𝑆 ↾ dom 𝑆)
18	8, 17	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ (𝑍 ↾ dom 𝑆) = (𝑆 ↾ dom 𝑆)
19	4	nosupno 27613	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝑆 ∈ No )
20	1, 2, 19	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑆 ∈ No )
21		nofun 27559	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ No → Fun 𝑆)
22		funrel 6499	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝑆 → Rel 𝑆)
23		resdm 5977	. . . . 5 ⊢ (Rel 𝑆 → (𝑆 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)
24	20, 21, 22, 23	4syl 19	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑆 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)
25	18, 24	eqtrid 2776	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑍 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)
26	6, 25	breqtrrd 5120	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑋 ↾ dom 𝑆) <s (𝑍 ↾ dom 𝑆))
27		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ⊆ No )
28	27	sselda 3935	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ No )
29	4, 7	noetasuplem1 27643	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝑍 ∈ No )
30	29	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑍 ∈ No )
31		nodmon 27560	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ No → dom 𝑆 ∈ On)
32	20, 31	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → dom 𝑆 ∈ On)
33		sltres 27572	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ No ∧ 𝑍 ∈ No ∧ dom 𝑆 ∈ On) → ((𝑋 ↾ dom 𝑆) <s (𝑍 ↾ dom 𝑆) → 𝑋 <s 𝑍))
34	28, 30, 32, 33	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝑋 ↾ dom 𝑆) <s (𝑍 ↾ dom 𝑆) → 𝑋 <s 𝑍))
35	26, 34	mpd 15	1 ⊢ (((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 <s 𝑍)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cab 2707  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  Vcvv 3436   ∖ cdif 3900   ∪ cun 3901   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  ∅c0 4284  ifcif 4476  {csn 4577  ⟨cop 4583  ∪ cuni 4858   class class class wbr 5092   ↦ cmpt 5173   × cxp 5617  dom cdm 5619   ↾ cres 5621   “ cima 5622  Rel wrel 5624  Oncon0 6307  suc csuc 6309  ℩cio 6436  Fun wfun 6476  ‘cfv 6482  ℩crio 7305  1_oc1o 8381  2_oc2o 8382   No csur 27549   <s cslt 27550   bday cbday 27551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-ord 6310  df-on 6311  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-fo 6488  df-fv 6490  df-riota 7306  df-1o 8388  df-2o 8389  df-no 27552  df-slt 27553  df-bday 27554

This theorem is referenced by:  noetalem1  27651