MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngisom1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rngisom1 20419
Description: If there is a non-unital ring isomorphism between a unital ring and a non-unital ring, then the function value of the ring unity of the unital ring is a ring unity of the non-unital ring. (Contributed by AV, 27-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
rngisom1.1 1 = (1rโ€˜๐‘…)
rngisom1.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘†)
rngisom1.t ยท = (.rโ€˜๐‘†)
Assertion
Ref Expression
rngisom1 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (((๐นโ€˜ 1 ) ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ ยท (๐นโ€˜ 1 )) = ๐‘ฅ))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐น   ๐‘ฅ,๐‘…   ๐‘ฅ,๐‘†
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘ฅ)   ยท (๐‘ฅ)   1 (๐‘ฅ)

Proof of Theorem rngisom1
StepHypRef Expression
1 rngimcnv 20409 . . . . . . . . 9 (๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†) โ†’ โ—ก๐น โˆˆ (๐‘† RngIso ๐‘…))
2 rngisom1.b . . . . . . . . . 10 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘†)
3 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
42, 3rngimrnghm 20408 . . . . . . . . 9 (โ—ก๐น โˆˆ (๐‘† RngIso ๐‘…) โ†’ โ—ก๐น โˆˆ (๐‘† RngHom ๐‘…))
51, 4syl 17 . . . . . . . 8 (๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†) โ†’ โ—ก๐น โˆˆ (๐‘† RngHom ๐‘…))
653ad2ant3 1132 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โ†’ โ—ก๐น โˆˆ (๐‘† RngHom ๐‘…))
76adantr 479 . . . . . 6 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ โ—ก๐น โˆˆ (๐‘† RngHom ๐‘…))
8 rngisom1.1 . . . . . . . . 9 1 = (1rโ€˜๐‘…)
98, 2rngisomfv1 20418 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โ†’ (๐นโ€˜ 1 ) โˆˆ ๐ต)
1093adant2 1128 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โ†’ (๐นโ€˜ 1 ) โˆˆ ๐ต)
1110adantr 479 . . . . . 6 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜ 1 ) โˆˆ ๐ต)
12 simpr 483 . . . . . 6 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต)
13 rngisom1.t . . . . . . 7 ยท = (.rโ€˜๐‘†)
14 eqid 2728 . . . . . . 7 (.rโ€˜๐‘…) = (.rโ€˜๐‘…)
152, 13, 14rnghmmul 20402 . . . . . 6 ((โ—ก๐น โˆˆ (๐‘† RngHom ๐‘…) โˆง (๐นโ€˜ 1 ) โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โ—ก๐นโ€˜((๐นโ€˜ 1 ) ยท ๐‘ฅ)) = ((โ—ก๐นโ€˜(๐นโ€˜ 1 ))(.rโ€˜๐‘…)(โ—ก๐นโ€˜๐‘ฅ)))
167, 11, 12, 15syl3anc 1368 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โ—ก๐นโ€˜((๐นโ€˜ 1 ) ยท ๐‘ฅ)) = ((โ—ก๐นโ€˜(๐นโ€˜ 1 ))(.rโ€˜๐‘…)(โ—ก๐นโ€˜๐‘ฅ)))
1716fveq2d 6906 . . . 4 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜(โ—ก๐นโ€˜((๐นโ€˜ 1 ) ยท ๐‘ฅ))) = (๐นโ€˜((โ—ก๐นโ€˜(๐นโ€˜ 1 ))(.rโ€˜๐‘…)(โ—ก๐นโ€˜๐‘ฅ))))
183, 2rngimf1o 20407 . . . . . 6 (๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†) โ†’ ๐น:(Baseโ€˜๐‘…)โ€“1-1-ontoโ†’๐ต)
19183ad2ant3 1132 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โ†’ ๐น:(Baseโ€˜๐‘…)โ€“1-1-ontoโ†’๐ต)
20 simpl2 1189 . . . . . 6 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘† โˆˆ Rng)
212, 13rngcl 20118 . . . . . 6 ((๐‘† โˆˆ Rng โˆง (๐นโ€˜ 1 ) โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐นโ€˜ 1 ) ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ต)
2220, 11, 12, 21syl3anc 1368 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐นโ€˜ 1 ) ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ต)
23 f1ocnvfv2 7292 . . . . 5 ((๐น:(Baseโ€˜๐‘…)โ€“1-1-ontoโ†’๐ต โˆง ((๐นโ€˜ 1 ) ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜(โ—ก๐นโ€˜((๐นโ€˜ 1 ) ยท ๐‘ฅ))) = ((๐นโ€˜ 1 ) ยท ๐‘ฅ))
2419, 22, 23syl2an2r 683 . . . 4 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜(โ—ก๐นโ€˜((๐นโ€˜ 1 ) ยท ๐‘ฅ))) = ((๐นโ€˜ 1 ) ยท ๐‘ฅ))
253, 8ringidcl 20216 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ 1 โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
26253ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โ†’ 1 โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
2719, 26jca 510 . . . . . . . . . 10 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โ†’ (๐น:(Baseโ€˜๐‘…)โ€“1-1-ontoโ†’๐ต โˆง 1 โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)))
2827adantr 479 . . . . . . . . 9 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐น:(Baseโ€˜๐‘…)โ€“1-1-ontoโ†’๐ต โˆง 1 โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)))
29 f1ocnvfv1 7291 . . . . . . . . 9 ((๐น:(Baseโ€˜๐‘…)โ€“1-1-ontoโ†’๐ต โˆง 1 โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (โ—ก๐นโ€˜(๐นโ€˜ 1 )) = 1 )
3028, 29syl 17 . . . . . . . 8 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โ—ก๐นโ€˜(๐นโ€˜ 1 )) = 1 )
3130oveq1d 7441 . . . . . . 7 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((โ—ก๐นโ€˜(๐นโ€˜ 1 ))(.rโ€˜๐‘…)(โ—ก๐นโ€˜๐‘ฅ)) = ( 1 (.rโ€˜๐‘…)(โ—ก๐นโ€˜๐‘ฅ)))
32 simpl1 1188 . . . . . . . 8 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
332, 3rngimf1o 20407 . . . . . . . . . . . 12 (โ—ก๐น โˆˆ (๐‘† RngIso ๐‘…) โ†’ โ—ก๐น:๐ตโ€“1-1-ontoโ†’(Baseโ€˜๐‘…))
34 f1of 6844 . . . . . . . . . . . 12 (โ—ก๐น:๐ตโ€“1-1-ontoโ†’(Baseโ€˜๐‘…) โ†’ โ—ก๐น:๐ตโŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . 11 (โ—ก๐น โˆˆ (๐‘† RngIso ๐‘…) โ†’ โ—ก๐น:๐ตโŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
361, 35syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†) โ†’ โ—ก๐น:๐ตโŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
37363ad2ant3 1132 . . . . . . . . 9 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โ†’ โ—ก๐น:๐ตโŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
3837ffvelcdmda 7099 . . . . . . . 8 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โ—ก๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
393, 14, 8, 32, 38ringlidmd 20222 . . . . . . 7 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 1 (.rโ€˜๐‘…)(โ—ก๐นโ€˜๐‘ฅ)) = (โ—ก๐นโ€˜๐‘ฅ))
4031, 39eqtrd 2768 . . . . . 6 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((โ—ก๐นโ€˜(๐นโ€˜ 1 ))(.rโ€˜๐‘…)(โ—ก๐นโ€˜๐‘ฅ)) = (โ—ก๐นโ€˜๐‘ฅ))
4140fveq2d 6906 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜((โ—ก๐นโ€˜(๐นโ€˜ 1 ))(.rโ€˜๐‘…)(โ—ก๐นโ€˜๐‘ฅ))) = (๐นโ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐‘ฅ)))
42 f1ocnvfv2 7292 . . . . . 6 ((๐น:(Baseโ€˜๐‘…)โ€“1-1-ontoโ†’๐ต โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐‘ฅ)) = ๐‘ฅ)
4319, 42sylan 578 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐‘ฅ)) = ๐‘ฅ)
4441, 43eqtrd 2768 . . . 4 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜((โ—ก๐นโ€˜(๐นโ€˜ 1 ))(.rโ€˜๐‘…)(โ—ก๐นโ€˜๐‘ฅ))) = ๐‘ฅ)
4517, 24, 443eqtr3d 2776 . . 3 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐นโ€˜ 1 ) ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ)
4613ad2ant3 1132 . . . . . . . . 9 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โ†’ โ—ก๐น โˆˆ (๐‘† RngIso ๐‘…))
4746, 4syl 17 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โ†’ โ—ก๐น โˆˆ (๐‘† RngHom ๐‘…))
4847adantr 479 . . . . . . 7 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ โ—ก๐น โˆˆ (๐‘† RngHom ๐‘…))
492, 13, 14rnghmmul 20402 . . . . . . 7 ((โ—ก๐น โˆˆ (๐‘† RngHom ๐‘…) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง (๐นโ€˜ 1 ) โˆˆ ๐ต) โ†’ (โ—ก๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท (๐นโ€˜ 1 ))) = ((โ—ก๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(โ—ก๐นโ€˜(๐นโ€˜ 1 ))))
5048, 12, 11, 49syl3anc 1368 . . . . . 6 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โ—ก๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท (๐นโ€˜ 1 ))) = ((โ—ก๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(โ—ก๐นโ€˜(๐นโ€˜ 1 ))))
5130oveq2d 7442 . . . . . 6 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((โ—ก๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(โ—ก๐นโ€˜(๐นโ€˜ 1 ))) = ((โ—ก๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…) 1 ))
523, 14, 8, 32, 38ringridmd 20223 . . . . . 6 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((โ—ก๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…) 1 ) = (โ—ก๐นโ€˜๐‘ฅ))
5350, 51, 523eqtrd 2772 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โ—ก๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท (๐นโ€˜ 1 ))) = (โ—ก๐นโ€˜๐‘ฅ))
5453fveq2d 6906 . . . 4 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜(โ—ก๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท (๐นโ€˜ 1 )))) = (๐นโ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐‘ฅ)))
552, 13rngcl 20118 . . . . . 6 ((๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง (๐นโ€˜ 1 ) โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐นโ€˜ 1 )) โˆˆ ๐ต)
5620, 12, 11, 55syl3anc 1368 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐นโ€˜ 1 )) โˆˆ ๐ต)
57 f1ocnvfv2 7292 . . . . 5 ((๐น:(Baseโ€˜๐‘…)โ€“1-1-ontoโ†’๐ต โˆง (๐‘ฅ ยท (๐นโ€˜ 1 )) โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜(โ—ก๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท (๐นโ€˜ 1 )))) = (๐‘ฅ ยท (๐นโ€˜ 1 )))
5819, 56, 57syl2an2r 683 . . . 4 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜(โ—ก๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท (๐นโ€˜ 1 )))) = (๐‘ฅ ยท (๐นโ€˜ 1 )))
5954, 58, 433eqtr3d 2776 . . 3 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐นโ€˜ 1 )) = ๐‘ฅ)
6045, 59jca 510 . 2 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (((๐นโ€˜ 1 ) ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ ยท (๐นโ€˜ 1 )) = ๐‘ฅ))
6160ralrimiva 3143 1 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (((๐นโ€˜ 1 ) ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ ยท (๐นโ€˜ 1 )) = ๐‘ฅ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3058  โ—กccnv 5681  โŸถwf 6549  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6552  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17189  .rcmulr 17243  Rngcrng 20106  1rcur 20135  Ringcrg 20187   RngHom crnghm 20387   RngIso crngim 20388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-map 8855  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-plusg 17255  df-0g 17432  df-mgm 18609  df-mgmhm 18661  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-grp 18907  df-ghm 19182  df-abl 19752  df-mgp 20089  df-rng 20107  df-ur 20136  df-ring 20189  df-rnghm 20389  df-rngim 20390
This theorem is referenced by:  rngisomring  20420  rngisomring1  20421
  Copyright terms: Public domain W3C validator