MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngisom1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rngisom1 20368
Description: If there is a non-unital ring isomorphism between a unital ring and a non-unital ring, then the function value of the ring unity of the unital ring is a ring unity of the non-unital ring. (Contributed by AV, 27-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
rngisom1.1 1 = (1rโ€˜๐‘…)
rngisom1.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘†)
rngisom1.t ยท = (.rโ€˜๐‘†)
Assertion
Ref Expression
rngisom1 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (((๐นโ€˜ 1 ) ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ ยท (๐นโ€˜ 1 )) = ๐‘ฅ))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐น   ๐‘ฅ,๐‘…   ๐‘ฅ,๐‘†
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘ฅ)   ยท (๐‘ฅ)   1 (๐‘ฅ)

Proof of Theorem rngisom1
StepHypRef Expression
1 rngimcnv 20358 . . . . . . . . 9 (๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†) โ†’ โ—ก๐น โˆˆ (๐‘† RngIso ๐‘…))
2 rngisom1.b . . . . . . . . . 10 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘†)
3 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
42, 3rngimrnghm 20357 . . . . . . . . 9 (โ—ก๐น โˆˆ (๐‘† RngIso ๐‘…) โ†’ โ—ก๐น โˆˆ (๐‘† RngHom ๐‘…))
51, 4syl 17 . . . . . . . 8 (๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†) โ†’ โ—ก๐น โˆˆ (๐‘† RngHom ๐‘…))
653ad2ant3 1132 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โ†’ โ—ก๐น โˆˆ (๐‘† RngHom ๐‘…))
76adantr 480 . . . . . 6 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ โ—ก๐น โˆˆ (๐‘† RngHom ๐‘…))
8 rngisom1.1 . . . . . . . . 9 1 = (1rโ€˜๐‘…)
98, 2rngisomfv1 20367 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โ†’ (๐นโ€˜ 1 ) โˆˆ ๐ต)
1093adant2 1128 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โ†’ (๐นโ€˜ 1 ) โˆˆ ๐ต)
1110adantr 480 . . . . . 6 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜ 1 ) โˆˆ ๐ต)
12 simpr 484 . . . . . 6 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต)
13 rngisom1.t . . . . . . 7 ยท = (.rโ€˜๐‘†)
14 eqid 2726 . . . . . . 7 (.rโ€˜๐‘…) = (.rโ€˜๐‘…)
152, 13, 14rnghmmul 20351 . . . . . 6 ((โ—ก๐น โˆˆ (๐‘† RngHom ๐‘…) โˆง (๐นโ€˜ 1 ) โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โ—ก๐นโ€˜((๐นโ€˜ 1 ) ยท ๐‘ฅ)) = ((โ—ก๐นโ€˜(๐นโ€˜ 1 ))(.rโ€˜๐‘…)(โ—ก๐นโ€˜๐‘ฅ)))
167, 11, 12, 15syl3anc 1368 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โ—ก๐นโ€˜((๐นโ€˜ 1 ) ยท ๐‘ฅ)) = ((โ—ก๐นโ€˜(๐นโ€˜ 1 ))(.rโ€˜๐‘…)(โ—ก๐นโ€˜๐‘ฅ)))
1716fveq2d 6889 . . . 4 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜(โ—ก๐นโ€˜((๐นโ€˜ 1 ) ยท ๐‘ฅ))) = (๐นโ€˜((โ—ก๐นโ€˜(๐นโ€˜ 1 ))(.rโ€˜๐‘…)(โ—ก๐นโ€˜๐‘ฅ))))
183, 2rngimf1o 20356 . . . . . 6 (๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†) โ†’ ๐น:(Baseโ€˜๐‘…)โ€“1-1-ontoโ†’๐ต)
19183ad2ant3 1132 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โ†’ ๐น:(Baseโ€˜๐‘…)โ€“1-1-ontoโ†’๐ต)
20 simpl2 1189 . . . . . 6 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘† โˆˆ Rng)
212, 13rngcl 20069 . . . . . 6 ((๐‘† โˆˆ Rng โˆง (๐นโ€˜ 1 ) โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐นโ€˜ 1 ) ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ต)
2220, 11, 12, 21syl3anc 1368 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐นโ€˜ 1 ) ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ต)
23 f1ocnvfv2 7271 . . . . 5 ((๐น:(Baseโ€˜๐‘…)โ€“1-1-ontoโ†’๐ต โˆง ((๐นโ€˜ 1 ) ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜(โ—ก๐นโ€˜((๐นโ€˜ 1 ) ยท ๐‘ฅ))) = ((๐นโ€˜ 1 ) ยท ๐‘ฅ))
2419, 22, 23syl2an2r 682 . . . 4 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜(โ—ก๐นโ€˜((๐นโ€˜ 1 ) ยท ๐‘ฅ))) = ((๐นโ€˜ 1 ) ยท ๐‘ฅ))
253, 8ringidcl 20165 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ 1 โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
26253ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โ†’ 1 โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
2719, 26jca 511 . . . . . . . . . 10 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โ†’ (๐น:(Baseโ€˜๐‘…)โ€“1-1-ontoโ†’๐ต โˆง 1 โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)))
2827adantr 480 . . . . . . . . 9 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐น:(Baseโ€˜๐‘…)โ€“1-1-ontoโ†’๐ต โˆง 1 โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)))
29 f1ocnvfv1 7270 . . . . . . . . 9 ((๐น:(Baseโ€˜๐‘…)โ€“1-1-ontoโ†’๐ต โˆง 1 โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (โ—ก๐นโ€˜(๐นโ€˜ 1 )) = 1 )
3028, 29syl 17 . . . . . . . 8 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โ—ก๐นโ€˜(๐นโ€˜ 1 )) = 1 )
3130oveq1d 7420 . . . . . . 7 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((โ—ก๐นโ€˜(๐นโ€˜ 1 ))(.rโ€˜๐‘…)(โ—ก๐นโ€˜๐‘ฅ)) = ( 1 (.rโ€˜๐‘…)(โ—ก๐นโ€˜๐‘ฅ)))
32 simpl1 1188 . . . . . . . 8 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
332, 3rngimf1o 20356 . . . . . . . . . . . 12 (โ—ก๐น โˆˆ (๐‘† RngIso ๐‘…) โ†’ โ—ก๐น:๐ตโ€“1-1-ontoโ†’(Baseโ€˜๐‘…))
34 f1of 6827 . . . . . . . . . . . 12 (โ—ก๐น:๐ตโ€“1-1-ontoโ†’(Baseโ€˜๐‘…) โ†’ โ—ก๐น:๐ตโŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . 11 (โ—ก๐น โˆˆ (๐‘† RngIso ๐‘…) โ†’ โ—ก๐น:๐ตโŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
361, 35syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†) โ†’ โ—ก๐น:๐ตโŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
37363ad2ant3 1132 . . . . . . . . 9 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โ†’ โ—ก๐น:๐ตโŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
3837ffvelcdmda 7080 . . . . . . . 8 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โ—ก๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
393, 14, 8, 32, 38ringlidmd 20171 . . . . . . 7 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 1 (.rโ€˜๐‘…)(โ—ก๐นโ€˜๐‘ฅ)) = (โ—ก๐นโ€˜๐‘ฅ))
4031, 39eqtrd 2766 . . . . . 6 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((โ—ก๐นโ€˜(๐นโ€˜ 1 ))(.rโ€˜๐‘…)(โ—ก๐นโ€˜๐‘ฅ)) = (โ—ก๐นโ€˜๐‘ฅ))
4140fveq2d 6889 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜((โ—ก๐นโ€˜(๐นโ€˜ 1 ))(.rโ€˜๐‘…)(โ—ก๐นโ€˜๐‘ฅ))) = (๐นโ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐‘ฅ)))
42 f1ocnvfv2 7271 . . . . . 6 ((๐น:(Baseโ€˜๐‘…)โ€“1-1-ontoโ†’๐ต โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐‘ฅ)) = ๐‘ฅ)
4319, 42sylan 579 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐‘ฅ)) = ๐‘ฅ)
4441, 43eqtrd 2766 . . . 4 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜((โ—ก๐นโ€˜(๐นโ€˜ 1 ))(.rโ€˜๐‘…)(โ—ก๐นโ€˜๐‘ฅ))) = ๐‘ฅ)
4517, 24, 443eqtr3d 2774 . . 3 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐นโ€˜ 1 ) ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ)
4613ad2ant3 1132 . . . . . . . . 9 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โ†’ โ—ก๐น โˆˆ (๐‘† RngIso ๐‘…))
4746, 4syl 17 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โ†’ โ—ก๐น โˆˆ (๐‘† RngHom ๐‘…))
4847adantr 480 . . . . . . 7 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ โ—ก๐น โˆˆ (๐‘† RngHom ๐‘…))
492, 13, 14rnghmmul 20351 . . . . . . 7 ((โ—ก๐น โˆˆ (๐‘† RngHom ๐‘…) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง (๐นโ€˜ 1 ) โˆˆ ๐ต) โ†’ (โ—ก๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท (๐นโ€˜ 1 ))) = ((โ—ก๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(โ—ก๐นโ€˜(๐นโ€˜ 1 ))))
5048, 12, 11, 49syl3anc 1368 . . . . . 6 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โ—ก๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท (๐นโ€˜ 1 ))) = ((โ—ก๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(โ—ก๐นโ€˜(๐นโ€˜ 1 ))))
5130oveq2d 7421 . . . . . 6 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((โ—ก๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(โ—ก๐นโ€˜(๐นโ€˜ 1 ))) = ((โ—ก๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…) 1 ))
523, 14, 8, 32, 38ringridmd 20172 . . . . . 6 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((โ—ก๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…) 1 ) = (โ—ก๐นโ€˜๐‘ฅ))
5350, 51, 523eqtrd 2770 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โ—ก๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท (๐นโ€˜ 1 ))) = (โ—ก๐นโ€˜๐‘ฅ))
5453fveq2d 6889 . . . 4 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜(โ—ก๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท (๐นโ€˜ 1 )))) = (๐นโ€˜(โ—ก๐นโ€˜๐‘ฅ)))
552, 13rngcl 20069 . . . . . 6 ((๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง (๐นโ€˜ 1 ) โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐นโ€˜ 1 )) โˆˆ ๐ต)
5620, 12, 11, 55syl3anc 1368 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐นโ€˜ 1 )) โˆˆ ๐ต)
57 f1ocnvfv2 7271 . . . . 5 ((๐น:(Baseโ€˜๐‘…)โ€“1-1-ontoโ†’๐ต โˆง (๐‘ฅ ยท (๐นโ€˜ 1 )) โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜(โ—ก๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท (๐นโ€˜ 1 )))) = (๐‘ฅ ยท (๐นโ€˜ 1 )))
5819, 56, 57syl2an2r 682 . . . 4 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜(โ—ก๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท (๐นโ€˜ 1 )))) = (๐‘ฅ ยท (๐นโ€˜ 1 )))
5954, 58, 433eqtr3d 2774 . . 3 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐นโ€˜ 1 )) = ๐‘ฅ)
6045, 59jca 511 . 2 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (((๐นโ€˜ 1 ) ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ ยท (๐นโ€˜ 1 )) = ๐‘ฅ))
6160ralrimiva 3140 1 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ Rng โˆง ๐น โˆˆ (๐‘… RngIso ๐‘†)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (((๐นโ€˜ 1 ) ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ ยท (๐นโ€˜ 1 )) = ๐‘ฅ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3055  โ—กccnv 5668  โŸถwf 6533  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6536  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  .rcmulr 17207  Rngcrng 20057  1rcur 20086  Ringcrg 20138   RngHom crnghm 20336   RngIso crngim 20337
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-mgmhm 18625  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-ghm 19139  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-rnghm 20338  df-rngim 20339
This theorem is referenced by:  rngisomring  20369  rngisomring1  20370
  Copyright terms: Public domain W3C validator