Theorem sspz 31346

Description: The zero vector of a subspace is the same as the parent's. (Contributed by NM, 28-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
sspz.z	⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
sspz.q	⊢ 𝑄 = (0vec‘𝑊)
sspz.h	⊢ 𝐻 = (SubSp‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
sspz	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑄 = 𝑍)

Proof of Theorem sspz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sspz.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (SubSp‘𝑈)
2	1	sspnv 31337	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
3		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
4		sspz.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (0vec‘𝑊)
5	3, 4	nvzcl 31245	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → 𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑊))
6	5, 5	jca 521	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → (𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑊)))
7	2, 6	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑊)))
8		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ( −𝑣 ‘𝑈) = ( −𝑣 ‘𝑈)
9		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ( −𝑣 ‘𝑊) = ( −𝑣 ‘𝑊)
10	3, 8, 9, 1	sspmval 31344	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑊))) → (𝑄( −𝑣 ‘𝑊)𝑄) = (𝑄( −𝑣 ‘𝑈)𝑄))
11	7, 10	mpdan 700	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑄( −𝑣 ‘𝑊)𝑄) = (𝑄( −𝑣 ‘𝑈)𝑄))
12	3, 9, 4	nvmid 31270	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (𝑄( −𝑣 ‘𝑊)𝑄) = 𝑄)
13	2, 5, 12	syl2anc2 597	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑄( −𝑣 ‘𝑊)𝑄) = 𝑄)
14		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
15	14, 3, 1	sspba 31338	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (BaseSet‘𝑊) ⊆ (BaseSet‘𝑈))
16	2, 5	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑊))
17	15, 16	sseldd 3910	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑈))
18		sspz.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
19	14, 8, 18	nvmid 31270	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑄( −𝑣 ‘𝑈)𝑄) = 𝑍)
20	17, 19	syldan 603	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑄( −𝑣 ‘𝑈)𝑄) = 𝑍)
21	11, 13, 20	3eqtr3d 2803	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑄 = 𝑍)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  NrmCVeccnv 31195  BaseSetcba 31197  0_veccn0v 31199   −_𝑣 cnsb 31200  SubSpcss 31332

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-ltxr 11355  df-sub 11550  df-neg 11551  df-grpo 31104  df-gid 31105  df-ginv 31106  df-gdiv 31107  df-ablo 31156  df-vc 31170  df-nv 31203  df-va 31206  df-ba 31207  df-sm 31208  df-0v 31209  df-vs 31210  df-nmcv 31211  df-ssp 31333

This theorem is used by:  hhshsslem2  31879