MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sspz Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem sspz 30460
Description: The zero vector of a subspace is the same as the parent's. (Contributed by NM, 28-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sspz.z 𝑍 = (0vecβ€˜π‘ˆ)
sspz.q 𝑄 = (0vecβ€˜π‘Š)
sspz.h 𝐻 = (SubSpβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
sspz ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑄 = 𝑍)
Proof of Theorem sspz
StepHypRef Expression
1 sspz.h . . . . 5 𝐻 = (SubSpβ€˜π‘ˆ)
21sspnv 30451 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘Š ∈ NrmCVec)
3 eqid 2724 . . . . . 6 (BaseSetβ€˜π‘Š) = (BaseSetβ€˜π‘Š)
4 sspz.q . . . . . 6 𝑄 = (0vecβ€˜π‘Š)
53, 4nvzcl 30359 . . . . 5 (π‘Š ∈ NrmCVec β†’ 𝑄 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š))
65, 5jca 511 . . . 4 (π‘Š ∈ NrmCVec β†’ (𝑄 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š)))
72, 6syl 17 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑄 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š)))
8 eqid 2724 . . . 4 ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ) = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
9 eqid 2724 . . . 4 ( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š) = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)
103, 8, 9, 1sspmval 30458 . . 3 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š))) β†’ (𝑄( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)𝑄) = (𝑄( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑄))
117, 10mpdan 684 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑄( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)𝑄) = (𝑄( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑄))
123, 9, 4nvmid 30384 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑄 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š)) β†’ (𝑄( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)𝑄) = 𝑄)
132, 5, 12syl2anc2 584 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑄( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)𝑄) = 𝑄)
14 eqid 2724 . . . . 5 (BaseSetβ€˜π‘ˆ) = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
1514, 3, 1sspba 30452 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (BaseSetβ€˜π‘Š) βŠ† (BaseSetβ€˜π‘ˆ))
162, 5syl 17 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑄 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š))
1715, 16sseldd 3976 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑄 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))
18 sspz.z . . . 4 𝑍 = (0vecβ€˜π‘ˆ)
1914, 8, 18nvmid 30384 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝑄 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝑄( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑄) = 𝑍)
2017, 19syldan 590 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑄( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑄) = 𝑍)
2111, 13, 203eqtr3d 2772 1 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑄 = 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  NrmCVeccnv 30309  BaseSetcba 30311  0veccn0v 30313   βˆ’π‘£ cnsb 30314  SubSpcss 30446
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-po 5579  df-so 5580  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-ltxr 11251  df-sub 11444  df-neg 11445  df-grpo 30218  df-gid 30219  df-ginv 30220  df-gdiv 30221  df-ablo 30270  df-vc 30284  df-nv 30317  df-va 30320  df-ba 30321  df-sm 30322  df-0v 30323  df-vs 30324  df-nmcv 30325  df-ssp 30447
This theorem is referenced by:  hhshsslem2  30993
  Copyright terms: Public domain W3C validator