Theorem sspz 29097

Description: The zero vector of a subspace is the same as the parent's. (Contributed by NM, 28-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
sspz.z	⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
sspz.q	⊢ 𝑄 = (0vec‘𝑊)
sspz.h	⊢ 𝐻 = (SubSp‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
sspz	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑄 = 𝑍)

Proof of Theorem sspz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sspz.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (SubSp‘𝑈)
2	1	sspnv 29088	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
3		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
4		sspz.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (0vec‘𝑊)
5	3, 4	nvzcl 28996	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → 𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑊))
6	5, 5	jca 512	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → (𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑊)))
7	2, 6	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑊)))
8		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ( −𝑣 ‘𝑈) = ( −𝑣 ‘𝑈)
9		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ( −𝑣 ‘𝑊) = ( −𝑣 ‘𝑊)
10	3, 8, 9, 1	sspmval 29095	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑊))) → (𝑄( −𝑣 ‘𝑊)𝑄) = (𝑄( −𝑣 ‘𝑈)𝑄))
11	7, 10	mpdan 684	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑄( −𝑣 ‘𝑊)𝑄) = (𝑄( −𝑣 ‘𝑈)𝑄))
12	3, 9, 4	nvmid 29021	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (𝑄( −𝑣 ‘𝑊)𝑄) = 𝑄)
13	2, 5, 12	syl2anc2 585	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑄( −𝑣 ‘𝑊)𝑄) = 𝑄)
14		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
15	14, 3, 1	sspba 29089	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (BaseSet‘𝑊) ⊆ (BaseSet‘𝑈))
16	2, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑊))
17	15, 16	sseldd 3922	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑈))
18		sspz.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
19	14, 8, 18	nvmid 29021	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑄( −𝑣 ‘𝑈)𝑄) = 𝑍)
20	17, 19	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑄( −𝑣 ‘𝑈)𝑄) = 𝑍)
21	11, 13, 20	3eqtr3d 2786	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑄 = 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  NrmCVeccnv 28946  BaseSetcba 28948  0_veccn0v 28950   −_𝑣 cnsb 28951  SubSpcss 29083

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-ltxr 11014  df-sub 11207  df-neg 11208  df-grpo 28855  df-gid 28856  df-ginv 28857  df-gdiv 28858  df-ablo 28907  df-vc 28921  df-nv 28954  df-va 28957  df-ba 28958  df-sm 28959  df-0v 28960  df-vs 28961  df-nmcv 28962  df-ssp 29084

This theorem is referenced by:  hhshsslem2  29630