MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sspz Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem sspz 29975
Description: The zero vector of a subspace is the same as the parent's. (Contributed by NM, 28-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sspz.z 𝑍 = (0vecβ€˜π‘ˆ)
sspz.q 𝑄 = (0vecβ€˜π‘Š)
sspz.h 𝐻 = (SubSpβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
sspz ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑄 = 𝑍)
Proof of Theorem sspz
StepHypRef Expression
1 sspz.h . . . . 5 𝐻 = (SubSpβ€˜π‘ˆ)
21sspnv 29966 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘Š ∈ NrmCVec)
3 eqid 2732 . . . . . 6 (BaseSetβ€˜π‘Š) = (BaseSetβ€˜π‘Š)
4 sspz.q . . . . . 6 𝑄 = (0vecβ€˜π‘Š)
53, 4nvzcl 29874 . . . . 5 (π‘Š ∈ NrmCVec β†’ 𝑄 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š))
65, 5jca 512 . . . 4 (π‘Š ∈ NrmCVec β†’ (𝑄 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š)))
72, 6syl 17 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑄 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š)))
8 eqid 2732 . . . 4 ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ) = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
9 eqid 2732 . . . 4 ( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š) = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)
103, 8, 9, 1sspmval 29973 . . 3 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š))) β†’ (𝑄( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)𝑄) = (𝑄( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑄))
117, 10mpdan 685 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑄( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)𝑄) = (𝑄( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑄))
123, 9, 4nvmid 29899 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑄 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š)) β†’ (𝑄( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)𝑄) = 𝑄)
132, 5, 12syl2anc2 585 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑄( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)𝑄) = 𝑄)
14 eqid 2732 . . . . 5 (BaseSetβ€˜π‘ˆ) = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
1514, 3, 1sspba 29967 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (BaseSetβ€˜π‘Š) βŠ† (BaseSetβ€˜π‘ˆ))
162, 5syl 17 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑄 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š))
1715, 16sseldd 3982 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑄 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))
18 sspz.z . . . 4 𝑍 = (0vecβ€˜π‘ˆ)
1914, 8, 18nvmid 29899 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝑄 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝑄( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑄) = 𝑍)
2017, 19syldan 591 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑄( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑄) = 𝑍)
2111, 13, 203eqtr3d 2780 1 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑄 = 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  NrmCVeccnv 29824  BaseSetcba 29826  0veccn0v 29828   βˆ’π‘£ cnsb 29829  SubSpcss 29961
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249  df-sub 11442  df-neg 11443  df-grpo 29733  df-gid 29734  df-ginv 29735  df-gdiv 29736  df-ablo 29785  df-vc 29799  df-nv 29832  df-va 29835  df-ba 29836  df-sm 29837  df-0v 29838  df-vs 29839  df-nmcv 29840  df-ssp 29962
This theorem is referenced by:  hhshsslem2  30508
  Copyright terms: Public domain W3C validator