Theorem sspz 31087

Description: The zero vector of a subspace is the same as the parent's. (Contributed by NM, 28-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
sspz.z	⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
sspz.q	⊢ 𝑄 = (0vec‘𝑊)
sspz.h	⊢ 𝐻 = (SubSp‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
sspz	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑄 = 𝑍)

Proof of Theorem sspz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sspz.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (SubSp‘𝑈)
2	1	sspnv 31078	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
3		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
4		sspz.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (0vec‘𝑊)
5	3, 4	nvzcl 30986	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → 𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑊))
6	5, 5	jca 520	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → (𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑊)))
7	2, 6	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑊)))
8		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ( −𝑣 ‘𝑈) = ( −𝑣 ‘𝑈)
9		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ( −𝑣 ‘𝑊) = ( −𝑣 ‘𝑊)
10	3, 8, 9, 1	sspmval 31085	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑊))) → (𝑄( −𝑣 ‘𝑊)𝑄) = (𝑄( −𝑣 ‘𝑈)𝑄))
11	7, 10	mpdan 699	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑄( −𝑣 ‘𝑊)𝑄) = (𝑄( −𝑣 ‘𝑈)𝑄))
12	3, 9, 4	nvmid 31011	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (𝑄( −𝑣 ‘𝑊)𝑄) = 𝑄)
13	2, 5, 12	syl2anc2 596	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑄( −𝑣 ‘𝑊)𝑄) = 𝑄)
14		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
15	14, 3, 1	sspba 31079	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (BaseSet‘𝑊) ⊆ (BaseSet‘𝑈))
16	2, 5	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑊))
17	15, 16	sseldd 3938	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑈))
18		sspz.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
19	14, 8, 18	nvmid 31011	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑄( −𝑣 ‘𝑈)𝑄) = 𝑍)
20	17, 19	syldan 602	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑄( −𝑣 ‘𝑈)𝑄) = 𝑍)
21	11, 13, 20	3eqtr3d 2806	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑄 = 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  NrmCVeccnv 30936  BaseSetcba 30938  0_veccn0v 30940   −_𝑣 cnsb 30941  SubSpcss 31073

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-ltxr 11243  df-sub 11438  df-neg 11439  df-grpo 30845  df-gid 30846  df-ginv 30847  df-gdiv 30848  df-ablo 30897  df-vc 30911  df-nv 30944  df-va 30947  df-ba 30948  df-sm 30949  df-0v 30950  df-vs 30951  df-nmcv 30952  df-ssp 31074

This theorem is referenced by:  hhshsslem2  31620