MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sspz Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem sspz 30538
Description: The zero vector of a subspace is the same as the parent's. (Contributed by NM, 28-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sspz.z 𝑍 = (0vecβ€˜π‘ˆ)
sspz.q 𝑄 = (0vecβ€˜π‘Š)
sspz.h 𝐻 = (SubSpβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
sspz ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑄 = 𝑍)
Proof of Theorem sspz
StepHypRef Expression
1 sspz.h . . . . 5 𝐻 = (SubSpβ€˜π‘ˆ)
21sspnv 30529 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘Š ∈ NrmCVec)
3 eqid 2728 . . . . . 6 (BaseSetβ€˜π‘Š) = (BaseSetβ€˜π‘Š)
4 sspz.q . . . . . 6 𝑄 = (0vecβ€˜π‘Š)
53, 4nvzcl 30437 . . . . 5 (π‘Š ∈ NrmCVec β†’ 𝑄 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š))
65, 5jca 511 . . . 4 (π‘Š ∈ NrmCVec β†’ (𝑄 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š)))
72, 6syl 17 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑄 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š)))
8 eqid 2728 . . . 4 ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ) = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
9 eqid 2728 . . . 4 ( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š) = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)
103, 8, 9, 1sspmval 30536 . . 3 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š))) β†’ (𝑄( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)𝑄) = (𝑄( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑄))
117, 10mpdan 686 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑄( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)𝑄) = (𝑄( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑄))
123, 9, 4nvmid 30462 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑄 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š)) β†’ (𝑄( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)𝑄) = 𝑄)
132, 5, 12syl2anc2 584 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑄( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)𝑄) = 𝑄)
14 eqid 2728 . . . . 5 (BaseSetβ€˜π‘ˆ) = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
1514, 3, 1sspba 30530 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (BaseSetβ€˜π‘Š) βŠ† (BaseSetβ€˜π‘ˆ))
162, 5syl 17 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑄 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š))
1715, 16sseldd 3979 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑄 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))
18 sspz.z . . . 4 𝑍 = (0vecβ€˜π‘ˆ)
1914, 8, 18nvmid 30462 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝑄 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝑄( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑄) = 𝑍)
2017, 19syldan 590 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑄( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑄) = 𝑍)
2111, 13, 203eqtr3d 2776 1 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑄 = 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  NrmCVeccnv 30387  BaseSetcba 30389  0veccn0v 30391   βˆ’π‘£ cnsb 30392  SubSpcss 30524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-ltxr 11277  df-sub 11470  df-neg 11471  df-grpo 30296  df-gid 30297  df-ginv 30298  df-gdiv 30299  df-ablo 30348  df-vc 30362  df-nv 30395  df-va 30398  df-ba 30399  df-sm 30400  df-0v 30401  df-vs 30402  df-nmcv 30403  df-ssp 30525
This theorem is referenced by:  hhshsslem2  31071
  Copyright terms: Public domain W3C validator