MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sspz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sspz 30767
Description: The zero vector of a subspace is the same as the parent's. (Contributed by NM, 28-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sspz.z 𝑍 = (0vec𝑈)
sspz.q 𝑄 = (0vec𝑊)
sspz.h 𝐻 = (SubSp‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
sspz ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → 𝑄 = 𝑍)

Proof of Theorem sspz
StepHypRef Expression
1 sspz.h . . . . 5 𝐻 = (SubSp‘𝑈)
21sspnv 30758 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
3 eqid 2740 . . . . . 6 (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
4 sspz.q . . . . . 6 𝑄 = (0vec𝑊)
53, 4nvzcl 30666 . . . . 5 (𝑊 ∈ NrmCVec → 𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑊))
65, 5jca 511 . . . 4 (𝑊 ∈ NrmCVec → (𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑊)))
72, 6syl 17 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → (𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑊)))
8 eqid 2740 . . . 4 ( −𝑣𝑈) = ( −𝑣𝑈)
9 eqid 2740 . . . 4 ( −𝑣𝑊) = ( −𝑣𝑊)
103, 8, 9, 1sspmval 30765 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ 𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑊))) → (𝑄( −𝑣𝑊)𝑄) = (𝑄( −𝑣𝑈)𝑄))
117, 10mpdan 686 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → (𝑄( −𝑣𝑊)𝑄) = (𝑄( −𝑣𝑈)𝑄))
123, 9, 4nvmid 30691 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (𝑄( −𝑣𝑊)𝑄) = 𝑄)
132, 5, 12syl2anc2 584 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → (𝑄( −𝑣𝑊)𝑄) = 𝑄)
14 eqid 2740 . . . . 5 (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
1514, 3, 1sspba 30759 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → (BaseSet‘𝑊) ⊆ (BaseSet‘𝑈))
162, 5syl 17 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → 𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑊))
1715, 16sseldd 4009 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → 𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑈))
18 sspz.z . . . 4 𝑍 = (0vec𝑈)
1914, 8, 18nvmid 30691 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑄 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑄( −𝑣𝑈)𝑄) = 𝑍)
2017, 19syldan 590 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → (𝑄( −𝑣𝑈)𝑄) = 𝑍)
2111, 13, 203eqtr3d 2788 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → 𝑄 = 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2108  cfv 6573  (class class class)co 7448  NrmCVeccnv 30616  BaseSetcba 30618  0veccn0v 30620  𝑣 cnsb 30621  SubSpcss 30753
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-sub 11522  df-neg 11523  df-grpo 30525  df-gid 30526  df-ginv 30527  df-gdiv 30528  df-ablo 30577  df-vc 30591  df-nv 30624  df-va 30627  df-ba 30628  df-sm 30629  df-0v 30630  df-vs 30631  df-nmcv 30632  df-ssp 30754
This theorem is referenced by:  hhshsslem2  31300
  Copyright terms: Public domain W3C validator