MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sspimsval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sspimsval 28819
Description: The induced metric on a subspace in terms of the induced metric on the parent space. (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sspims.y 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
sspims.d 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
sspims.c 𝐶 = (IndMet‘𝑊)
sspims.h 𝐻 = (SubSp‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
sspimsval (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴𝑌𝐵𝑌)) → (𝐴𝐶𝐵) = (𝐴𝐷𝐵))

Proof of Theorem sspimsval
StepHypRef Expression
1 sspims.h . . . . . 6 𝐻 = (SubSp‘𝑈)
21sspnv 28807 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
3 sspims.y . . . . . . 7 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
4 eqid 2737 . . . . . . 7 ( −𝑣𝑊) = ( −𝑣𝑊)
53, 4nvmcl 28727 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑌𝐵𝑌) → (𝐴( −𝑣𝑊)𝐵) ∈ 𝑌)
653expb 1122 . . . . 5 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑌𝐵𝑌)) → (𝐴( −𝑣𝑊)𝐵) ∈ 𝑌)
72, 6sylan 583 . . . 4 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴𝑌𝐵𝑌)) → (𝐴( −𝑣𝑊)𝐵) ∈ 𝑌)
8 eqid 2737 . . . . . 6 (normCV𝑈) = (normCV𝑈)
9 eqid 2737 . . . . . 6 (normCV𝑊) = (normCV𝑊)
103, 8, 9, 1sspnval 28818 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝐴( −𝑣𝑊)𝐵) ∈ 𝑌) → ((normCV𝑊)‘(𝐴( −𝑣𝑊)𝐵)) = ((normCV𝑈)‘(𝐴( −𝑣𝑊)𝐵)))
11103expa 1120 . . . 4 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴( −𝑣𝑊)𝐵) ∈ 𝑌) → ((normCV𝑊)‘(𝐴( −𝑣𝑊)𝐵)) = ((normCV𝑈)‘(𝐴( −𝑣𝑊)𝐵)))
127, 11syldan 594 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴𝑌𝐵𝑌)) → ((normCV𝑊)‘(𝐴( −𝑣𝑊)𝐵)) = ((normCV𝑈)‘(𝐴( −𝑣𝑊)𝐵)))
13 eqid 2737 . . . . 5 ( −𝑣𝑈) = ( −𝑣𝑈)
143, 13, 4, 1sspmval 28814 . . . 4 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴𝑌𝐵𝑌)) → (𝐴( −𝑣𝑊)𝐵) = (𝐴( −𝑣𝑈)𝐵))
1514fveq2d 6721 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴𝑌𝐵𝑌)) → ((normCV𝑈)‘(𝐴( −𝑣𝑊)𝐵)) = ((normCV𝑈)‘(𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)))
1612, 15eqtrd 2777 . 2 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴𝑌𝐵𝑌)) → ((normCV𝑊)‘(𝐴( −𝑣𝑊)𝐵)) = ((normCV𝑈)‘(𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)))
17 sspims.c . . . . 5 𝐶 = (IndMet‘𝑊)
183, 4, 9, 17imsdval 28767 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑌𝐵𝑌) → (𝐴𝐶𝐵) = ((normCV𝑊)‘(𝐴( −𝑣𝑊)𝐵)))
19183expb 1122 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑌𝐵𝑌)) → (𝐴𝐶𝐵) = ((normCV𝑊)‘(𝐴( −𝑣𝑊)𝐵)))
202, 19sylan 583 . 2 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴𝑌𝐵𝑌)) → (𝐴𝐶𝐵) = ((normCV𝑊)‘(𝐴( −𝑣𝑊)𝐵)))
21 eqid 2737 . . . . . . 7 (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
2221, 3, 1sspba 28808 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → 𝑌 ⊆ (BaseSet‘𝑈))
2322sseld 3900 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → (𝐴𝑌𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈)))
2422sseld 3900 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → (𝐵𝑌𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈)))
2523, 24anim12d 612 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → ((𝐴𝑌𝐵𝑌) → (𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈))))
2625imp 410 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴𝑌𝐵𝑌)) → (𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈)))
27 sspims.d . . . . . 6 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
2821, 13, 8, 27imsdval 28767 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝐴𝐷𝐵) = ((normCV𝑈)‘(𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)))
29283expb 1122 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (𝐴𝐷𝐵) = ((normCV𝑈)‘(𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)))
3029adantlr 715 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (𝐴𝐷𝐵) = ((normCV𝑈)‘(𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)))
3126, 30syldan 594 . 2 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴𝑌𝐵𝑌)) → (𝐴𝐷𝐵) = ((normCV𝑈)‘(𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)))
3216, 20, 313eqtr4d 2787 1 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴𝑌𝐵𝑌)) → (𝐴𝐶𝐵) = (𝐴𝐷𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  cfv 6380  (class class class)co 7213  NrmCVeccnv 28665  BaseSetcba 28667  𝑣 cnsb 28670  normCVcnmcv 28671  IndMetcims 28672  SubSpcss 28802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-ltxr 10872  df-sub 11064  df-neg 11065  df-grpo 28574  df-gid 28575  df-ginv 28576  df-gdiv 28577  df-ablo 28626  df-vc 28640  df-nv 28673  df-va 28676  df-ba 28677  df-sm 28678  df-0v 28679  df-vs 28680  df-nmcv 28681  df-ims 28682  df-ssp 28803
This theorem is referenced by:  sspims  28820
  Copyright terms: Public domain W3C validator