MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sspimsval Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem sspimsval 30029
Description: The induced metric on a subspace in terms of the induced metric on the parent space. (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sspims.y π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
sspims.d 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
sspims.c 𝐢 = (IndMetβ€˜π‘Š)
sspims.h 𝐻 = (SubSpβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
sspimsval (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴𝐢𝐡) = (𝐴𝐷𝐡))
Proof of Theorem sspimsval
StepHypRef Expression
1 sspims.h . . . . . 6 𝐻 = (SubSpβ€˜π‘ˆ)
21sspnv 30017 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘Š ∈ NrmCVec)
3 sspims.y . . . . . . 7 π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
4 eqid 2732 . . . . . . 7 ( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š) = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)
53, 4nvmcl 29937 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)𝐡) ∈ π‘Œ)
653expb 1120 . . . . 5 ((π‘Š ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)𝐡) ∈ π‘Œ)
72, 6sylan 580 . . . 4 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)𝐡) ∈ π‘Œ)
8 eqid 2732 . . . . . 6 (normCVβ€˜π‘ˆ) = (normCVβ€˜π‘ˆ)
9 eqid 2732 . . . . . 6 (normCVβ€˜π‘Š) = (normCVβ€˜π‘Š)
103, 8, 9, 1sspnval 30028 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)𝐡) ∈ π‘Œ) β†’ ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)𝐡)) = ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)𝐡)))
11103expa 1118 . . . 4 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)𝐡) ∈ π‘Œ) β†’ ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)𝐡)) = ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)𝐡)))
127, 11syldan 591 . . 3 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)𝐡)) = ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)𝐡)))
13 eqid 2732 . . . . 5 ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ) = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
143, 13, 4, 1sspmval 30024 . . . 4 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)𝐡) = (𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡))
1514fveq2d 6895 . . 3 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)𝐡)) = ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡)))
1612, 15eqtrd 2772 . 2 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)𝐡)) = ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡)))
17 sspims.c . . . . 5 𝐢 = (IndMetβ€˜π‘Š)
183, 4, 9, 17imsdval 29977 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐴𝐢𝐡) = ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)𝐡)))
19183expb 1120 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴𝐢𝐡) = ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)𝐡)))
202, 19sylan 580 . 2 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴𝐢𝐡) = ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)𝐡)))
21 eqid 2732 . . . . . . 7 (BaseSetβ€˜π‘ˆ) = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
2221, 3, 1sspba 30018 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘Œ βŠ† (BaseSetβ€˜π‘ˆ))
2322sseld 3981 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝐴 ∈ π‘Œ β†’ 𝐴 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
2422sseld 3981 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝐡 ∈ π‘Œ β†’ 𝐡 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
2523, 24anim12d 609 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ((𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐴 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝐡 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))))
2625imp 407 . . 3 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝐡 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
27 sspims.d . . . . . 6 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
2821, 13, 8, 27imsdval 29977 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝐡 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝐴𝐷𝐡) = ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡)))
29283expb 1120 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝐡 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ (𝐴𝐷𝐡) = ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡)))
3029adantlr 713 . . 3 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝐡 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ (𝐴𝐷𝐡) = ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡)))
3126, 30syldan 591 . 2 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴𝐷𝐡) = ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡)))
3216, 20, 313eqtr4d 2782 1 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴𝐢𝐡) = (𝐴𝐷𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  NrmCVeccnv 29875  BaseSetcba 29877   βˆ’π‘£ cnsb 29880  normCVcnmcv 29881  IndMetcims 29882  SubSpcss 30012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-ltxr 11255  df-sub 11448  df-neg 11449  df-grpo 29784  df-gid 29785  df-ginv 29786  df-gdiv 29787  df-ablo 29836  df-vc 29850  df-nv 29883  df-va 29886  df-ba 29887  df-sm 29888  df-0v 29889  df-vs 29890  df-nmcv 29891  df-ims 29892  df-ssp 30013
This theorem is referenced by:  sspims  30030
  Copyright terms: Public domain W3C validator