MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sspimsval Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem sspimsval 29991
Description: The induced metric on a subspace in terms of the induced metric on the parent space. (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sspims.y π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
sspims.d 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
sspims.c 𝐢 = (IndMetβ€˜π‘Š)
sspims.h 𝐻 = (SubSpβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
sspimsval (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴𝐢𝐡) = (𝐴𝐷𝐡))
Proof of Theorem sspimsval
StepHypRef Expression
1 sspims.h . . . . . 6 𝐻 = (SubSpβ€˜π‘ˆ)
21sspnv 29979 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘Š ∈ NrmCVec)
3 sspims.y . . . . . . 7 π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
4 eqid 2733 . . . . . . 7 ( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š) = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)
53, 4nvmcl 29899 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)𝐡) ∈ π‘Œ)
653expb 1121 . . . . 5 ((π‘Š ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)𝐡) ∈ π‘Œ)
72, 6sylan 581 . . . 4 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)𝐡) ∈ π‘Œ)
8 eqid 2733 . . . . . 6 (normCVβ€˜π‘ˆ) = (normCVβ€˜π‘ˆ)
9 eqid 2733 . . . . . 6 (normCVβ€˜π‘Š) = (normCVβ€˜π‘Š)
103, 8, 9, 1sspnval 29990 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)𝐡) ∈ π‘Œ) β†’ ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)𝐡)) = ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)𝐡)))
11103expa 1119 . . . 4 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)𝐡) ∈ π‘Œ) β†’ ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)𝐡)) = ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)𝐡)))
127, 11syldan 592 . . 3 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)𝐡)) = ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)𝐡)))
13 eqid 2733 . . . . 5 ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ) = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
143, 13, 4, 1sspmval 29986 . . . 4 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)𝐡) = (𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡))
1514fveq2d 6896 . . 3 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)𝐡)) = ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡)))
1612, 15eqtrd 2773 . 2 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)𝐡)) = ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡)))
17 sspims.c . . . . 5 𝐢 = (IndMetβ€˜π‘Š)
183, 4, 9, 17imsdval 29939 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐴𝐢𝐡) = ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)𝐡)))
19183expb 1121 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴𝐢𝐡) = ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)𝐡)))
202, 19sylan 581 . 2 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴𝐢𝐡) = ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)𝐡)))
21 eqid 2733 . . . . . . 7 (BaseSetβ€˜π‘ˆ) = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
2221, 3, 1sspba 29980 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘Œ βŠ† (BaseSetβ€˜π‘ˆ))
2322sseld 3982 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝐴 ∈ π‘Œ β†’ 𝐴 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
2422sseld 3982 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝐡 ∈ π‘Œ β†’ 𝐡 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
2523, 24anim12d 610 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ((𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐴 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝐡 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))))
2625imp 408 . . 3 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝐡 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
27 sspims.d . . . . . 6 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
2821, 13, 8, 27imsdval 29939 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝐡 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝐴𝐷𝐡) = ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡)))
29283expb 1121 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝐡 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ (𝐴𝐷𝐡) = ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡)))
3029adantlr 714 . . 3 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝐡 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ (𝐴𝐷𝐡) = ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡)))
3126, 30syldan 592 . 2 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴𝐷𝐡) = ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡)))
3216, 20, 313eqtr4d 2783 1 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴𝐢𝐡) = (𝐴𝐷𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  NrmCVeccnv 29837  BaseSetcba 29839   βˆ’π‘£ cnsb 29842  normCVcnmcv 29843  IndMetcims 29844  SubSpcss 29974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253  df-sub 11446  df-neg 11447  df-grpo 29746  df-gid 29747  df-ginv 29748  df-gdiv 29749  df-ablo 29798  df-vc 29812  df-nv 29845  df-va 29848  df-ba 29849  df-sm 29850  df-0v 29851  df-vs 29852  df-nmcv 29853  df-ims 29854  df-ssp 29975
This theorem is referenced by:  sspims  29992
  Copyright terms: Public domain W3C validator