Theorem sspimsval 30827

Description: The induced metric on a subspace in terms of the induced metric on the parent space. (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
sspims.y	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
sspims.d	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
sspims.c	⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑊)
sspims.h	⊢ 𝐻 = (SubSp‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
sspimsval	⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴𝐶𝐵) = (𝐴𝐷𝐵))

Proof of Theorem sspimsval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sspims.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (SubSp‘𝑈)
2	1	sspnv 30815	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
3		sspims.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
4		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ ( −𝑣 ‘𝑊) = ( −𝑣 ‘𝑊)
5	3, 4	nvmcl 30735	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → (𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑌)
6	5	3expb 1126	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑌)
7	2, 6	sylan 586	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑌)
8		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (normCV‘𝑈) = (normCV‘𝑈)
9		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (normCV‘𝑊) = (normCV‘𝑊)
10	3, 8, 9, 1	sspnval 30826	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑌) → ((normCV‘𝑊)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵)) = ((normCV‘𝑈)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵)))
11	10	3expa 1124	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑌) → ((normCV‘𝑊)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵)) = ((normCV‘𝑈)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵)))
12	7, 11	syldan 597	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → ((normCV‘𝑊)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵)) = ((normCV‘𝑈)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵)))
13		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ ( −𝑣 ‘𝑈) = ( −𝑣 ‘𝑈)
14	3, 13, 4, 1	sspmval 30822	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵) = (𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵))
15	14	fveq2d 6831	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → ((normCV‘𝑈)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵)) = ((normCV‘𝑈)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)))
16	12, 15	eqtrd 2774	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → ((normCV‘𝑊)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵)) = ((normCV‘𝑈)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)))
17		sspims.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑊)
18	3, 4, 9, 17	imsdval 30775	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → (𝐴𝐶𝐵) = ((normCV‘𝑊)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵)))
19	18	3expb 1126	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴𝐶𝐵) = ((normCV‘𝑊)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵)))
20	2, 19	sylan 586	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴𝐶𝐵) = ((normCV‘𝑊)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵)))
21		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
22	21, 3, 1	sspba 30816	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑌 ⊆ (BaseSet‘𝑈))
23	22	sseld 3914	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐴 ∈ 𝑌 → 𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈)))
24	22	sseld 3914	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐵 ∈ 𝑌 → 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈)))
25	23, 24	anim12d 615	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → (𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈))))
26	25	imp 407	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈)))
27		sspims.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
28	21, 13, 8, 27	imsdval 30775	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝐴𝐷𝐵) = ((normCV‘𝑈)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)))
29	28	3expb 1126	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (𝐴𝐷𝐵) = ((normCV‘𝑈)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)))
30	29	adantlr 721	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (𝐴𝐷𝐵) = ((normCV‘𝑈)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)))
31	26, 30	syldan 597	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴𝐷𝐵) = ((normCV‘𝑈)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)))
32	16, 20, 31	3eqtr4d 2784	1 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴𝐶𝐵) = (𝐴𝐷𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  NrmCVeccnv 30673  BaseSetcba 30675   −_𝑣 cnsb 30678  norm_CVcnmcv 30679  IndMetcims 30680  SubSpcss 30810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-sub 11370  df-neg 11371  df-grpo 30582  df-gid 30583  df-ginv 30584  df-gdiv 30585  df-ablo 30634  df-vc 30648  df-nv 30681  df-va 30684  df-ba 30685  df-sm 30686  df-0v 30687  df-vs 30688  df-nmcv 30689  df-ims 30690  df-ssp 30811

This theorem is referenced by:  sspims  30828