Theorem sspimsval 30770

Description: The induced metric on a subspace in terms of the induced metric on the parent space. (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
sspims.y	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
sspims.d	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
sspims.c	⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑊)
sspims.h	⊢ 𝐻 = (SubSp‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
sspimsval	⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴𝐶𝐵) = (𝐴𝐷𝐵))

Proof of Theorem sspimsval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sspims.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (SubSp‘𝑈)
2	1	sspnv 30758	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
3		sspims.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
4		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ ( −𝑣 ‘𝑊) = ( −𝑣 ‘𝑊)
5	3, 4	nvmcl 30678	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → (𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑌)
6	5	3expb 1120	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑌)
7	2, 6	sylan 579	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑌)
8		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (normCV‘𝑈) = (normCV‘𝑈)
9		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (normCV‘𝑊) = (normCV‘𝑊)
10	3, 8, 9, 1	sspnval 30769	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑌) → ((normCV‘𝑊)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵)) = ((normCV‘𝑈)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵)))
11	10	3expa 1118	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑌) → ((normCV‘𝑊)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵)) = ((normCV‘𝑈)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵)))
12	7, 11	syldan 590	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → ((normCV‘𝑊)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵)) = ((normCV‘𝑈)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵)))
13		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ ( −𝑣 ‘𝑈) = ( −𝑣 ‘𝑈)
14	3, 13, 4, 1	sspmval 30765	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵) = (𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵))
15	14	fveq2d 6924	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → ((normCV‘𝑈)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵)) = ((normCV‘𝑈)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)))
16	12, 15	eqtrd 2780	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → ((normCV‘𝑊)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵)) = ((normCV‘𝑈)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)))
17		sspims.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑊)
18	3, 4, 9, 17	imsdval 30718	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → (𝐴𝐶𝐵) = ((normCV‘𝑊)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵)))
19	18	3expb 1120	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴𝐶𝐵) = ((normCV‘𝑊)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵)))
20	2, 19	sylan 579	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴𝐶𝐵) = ((normCV‘𝑊)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵)))
21		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
22	21, 3, 1	sspba 30759	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑌 ⊆ (BaseSet‘𝑈))
23	22	sseld 4007	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐴 ∈ 𝑌 → 𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈)))
24	22	sseld 4007	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐵 ∈ 𝑌 → 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈)))
25	23, 24	anim12d 608	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → (𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈))))
26	25	imp 406	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈)))
27		sspims.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
28	21, 13, 8, 27	imsdval 30718	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝐴𝐷𝐵) = ((normCV‘𝑈)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)))
29	28	3expb 1120	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (𝐴𝐷𝐵) = ((normCV‘𝑈)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)))
30	29	adantlr 714	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (𝐴𝐷𝐵) = ((normCV‘𝑈)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)))
31	26, 30	syldan 590	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴𝐷𝐵) = ((normCV‘𝑈)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)))
32	16, 20, 31	3eqtr4d 2790	1 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴𝐶𝐵) = (𝐴𝐷𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  NrmCVeccnv 30616  BaseSetcba 30618   −_𝑣 cnsb 30621  norm_CVcnmcv 30622  IndMetcims 30623  SubSpcss 30753

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-sub 11522  df-neg 11523  df-grpo 30525  df-gid 30526  df-ginv 30527  df-gdiv 30528  df-ablo 30577  df-vc 30591  df-nv 30624  df-va 30627  df-ba 30628  df-sm 30629  df-0v 30630  df-vs 30631  df-nmcv 30632  df-ims 30633  df-ssp 30754

This theorem is referenced by:  sspims  30771