Theorem sspimsval 30941

Description: The induced metric on a subspace in terms of the induced metric on the parent space. (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
sspims.y	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
sspims.d	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
sspims.c	⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑊)
sspims.h	⊢ 𝐻 = (SubSp‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
sspimsval	⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴𝐶𝐵) = (𝐴𝐷𝐵))

Proof of Theorem sspimsval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sspims.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (SubSp‘𝑈)
2	1	sspnv 30929	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
3		sspims.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
4		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ ( −𝑣 ‘𝑊) = ( −𝑣 ‘𝑊)
5	3, 4	nvmcl 30849	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → (𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑌)
6	5	3expb 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑌)
7	2, 6	sylan 589	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑌)
8		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (normCV‘𝑈) = (normCV‘𝑈)
9		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (normCV‘𝑊) = (normCV‘𝑊)
10	3, 8, 9, 1	sspnval 30940	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑌) → ((normCV‘𝑊)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵)) = ((normCV‘𝑈)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵)))
11	10	3expa 1131	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑌) → ((normCV‘𝑊)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵)) = ((normCV‘𝑈)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵)))
12	7, 11	syldan 600	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → ((normCV‘𝑊)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵)) = ((normCV‘𝑈)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵)))
13		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ ( −𝑣 ‘𝑈) = ( −𝑣 ‘𝑈)
14	3, 13, 4, 1	sspmval 30936	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵) = (𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵))
15	14	fveq2d 6871	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → ((normCV‘𝑈)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵)) = ((normCV‘𝑈)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)))
16	12, 15	eqtrd 2797	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → ((normCV‘𝑊)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵)) = ((normCV‘𝑈)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)))
17		sspims.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑊)
18	3, 4, 9, 17	imsdval 30889	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → (𝐴𝐶𝐵) = ((normCV‘𝑊)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵)))
19	18	3expb 1133	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴𝐶𝐵) = ((normCV‘𝑊)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵)))
20	2, 19	sylan 589	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴𝐶𝐵) = ((normCV‘𝑊)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵)))
21		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
22	21, 3, 1	sspba 30930	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑌 ⊆ (BaseSet‘𝑈))
23	22	sseld 3935	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐴 ∈ 𝑌 → 𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈)))
24	22	sseld 3935	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐵 ∈ 𝑌 → 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈)))
25	23, 24	anim12d 618	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → (𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈))))
26	25	imp 410	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈)))
27		sspims.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
28	21, 13, 8, 27	imsdval 30889	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝐴𝐷𝐵) = ((normCV‘𝑈)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)))
29	28	3expb 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (𝐴𝐷𝐵) = ((normCV‘𝑈)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)))
30	29	adantlr 725	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (𝐴𝐷𝐵) = ((normCV‘𝑈)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)))
31	26, 30	syldan 600	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴𝐷𝐵) = ((normCV‘𝑈)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)))
32	16, 20, 31	3eqtr4d 2807	1 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴𝐶𝐵) = (𝐴𝐷𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  NrmCVeccnv 30787  BaseSetcba 30789   −_𝑣 cnsb 30792  norm_CVcnmcv 30793  IndMetcims 30794  SubSpcss 30924

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-po 5555  df-so 5556  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-ltxr 11221  df-sub 11416  df-neg 11417  df-grpo 30696  df-gid 30697  df-ginv 30698  df-gdiv 30699  df-ablo 30748  df-vc 30762  df-nv 30795  df-va 30798  df-ba 30799  df-sm 30800  df-0v 30801  df-vs 30802  df-nmcv 30803  df-ims 30804  df-ssp 30925

This theorem is referenced by:  sspims  30942