Theorem sspimsval 30767

Description: The induced metric on a subspace in terms of the induced metric on the parent space. (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
sspims.y	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
sspims.d	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
sspims.c	⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑊)
sspims.h	⊢ 𝐻 = (SubSp‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
sspimsval	⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴𝐶𝐵) = (𝐴𝐷𝐵))

Proof of Theorem sspimsval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sspims.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (SubSp‘𝑈)
2	1	sspnv 30755	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
3		sspims.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
4		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ ( −𝑣 ‘𝑊) = ( −𝑣 ‘𝑊)
5	3, 4	nvmcl 30675	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → (𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑌)
6	5	3expb 1119	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑌)
7	2, 6	sylan 580	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑌)
8		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (normCV‘𝑈) = (normCV‘𝑈)
9		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (normCV‘𝑊) = (normCV‘𝑊)
10	3, 8, 9, 1	sspnval 30766	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑌) → ((normCV‘𝑊)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵)) = ((normCV‘𝑈)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵)))
11	10	3expa 1117	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑌) → ((normCV‘𝑊)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵)) = ((normCV‘𝑈)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵)))
12	7, 11	syldan 591	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → ((normCV‘𝑊)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵)) = ((normCV‘𝑈)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵)))
13		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ ( −𝑣 ‘𝑈) = ( −𝑣 ‘𝑈)
14	3, 13, 4, 1	sspmval 30762	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵) = (𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵))
15	14	fveq2d 6911	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → ((normCV‘𝑈)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵)) = ((normCV‘𝑈)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)))
16	12, 15	eqtrd 2775	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → ((normCV‘𝑊)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵)) = ((normCV‘𝑈)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)))
17		sspims.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑊)
18	3, 4, 9, 17	imsdval 30715	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → (𝐴𝐶𝐵) = ((normCV‘𝑊)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵)))
19	18	3expb 1119	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴𝐶𝐵) = ((normCV‘𝑊)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵)))
20	2, 19	sylan 580	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴𝐶𝐵) = ((normCV‘𝑊)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵)))
21		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
22	21, 3, 1	sspba 30756	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑌 ⊆ (BaseSet‘𝑈))
23	22	sseld 3994	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐴 ∈ 𝑌 → 𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈)))
24	22	sseld 3994	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐵 ∈ 𝑌 → 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈)))
25	23, 24	anim12d 609	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → (𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈))))
26	25	imp 406	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈)))
27		sspims.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
28	21, 13, 8, 27	imsdval 30715	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝐴𝐷𝐵) = ((normCV‘𝑈)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)))
29	28	3expb 1119	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (𝐴𝐷𝐵) = ((normCV‘𝑈)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)))
30	29	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (𝐴𝐷𝐵) = ((normCV‘𝑈)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)))
31	26, 30	syldan 591	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴𝐷𝐵) = ((normCV‘𝑈)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)))
32	16, 20, 31	3eqtr4d 2785	1 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴𝐶𝐵) = (𝐴𝐷𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  NrmCVeccnv 30613  BaseSetcba 30615   −_𝑣 cnsb 30618  norm_CVcnmcv 30619  IndMetcims 30620  SubSpcss 30750

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-grpo 30522  df-gid 30523  df-ginv 30524  df-gdiv 30525  df-ablo 30574  df-vc 30588  df-nv 30621  df-va 30624  df-ba 30625  df-sm 30626  df-0v 30627  df-vs 30628  df-nmcv 30629  df-ims 30630  df-ssp 30751

This theorem is referenced by:  sspims  30768