Theorem sspimsval 30719

Description: The induced metric on a subspace in terms of the induced metric on the parent space. (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
sspims.y	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
sspims.d	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
sspims.c	⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑊)
sspims.h	⊢ 𝐻 = (SubSp‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
sspimsval	⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴𝐶𝐵) = (𝐴𝐷𝐵))

Proof of Theorem sspimsval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sspims.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (SubSp‘𝑈)
2	1	sspnv 30707	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
3		sspims.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
4		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ ( −𝑣 ‘𝑊) = ( −𝑣 ‘𝑊)
5	3, 4	nvmcl 30627	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → (𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑌)
6	5	3expb 1120	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑌)
7	2, 6	sylan 580	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑌)
8		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (normCV‘𝑈) = (normCV‘𝑈)
9		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (normCV‘𝑊) = (normCV‘𝑊)
10	3, 8, 9, 1	sspnval 30718	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑌) → ((normCV‘𝑊)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵)) = ((normCV‘𝑈)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵)))
11	10	3expa 1118	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑌) → ((normCV‘𝑊)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵)) = ((normCV‘𝑈)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵)))
12	7, 11	syldan 591	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → ((normCV‘𝑊)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵)) = ((normCV‘𝑈)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵)))
13		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ ( −𝑣 ‘𝑈) = ( −𝑣 ‘𝑈)
14	3, 13, 4, 1	sspmval 30714	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵) = (𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵))
15	14	fveq2d 6880	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → ((normCV‘𝑈)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵)) = ((normCV‘𝑈)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)))
16	12, 15	eqtrd 2770	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → ((normCV‘𝑊)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵)) = ((normCV‘𝑈)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)))
17		sspims.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑊)
18	3, 4, 9, 17	imsdval 30667	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → (𝐴𝐶𝐵) = ((normCV‘𝑊)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵)))
19	18	3expb 1120	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴𝐶𝐵) = ((normCV‘𝑊)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵)))
20	2, 19	sylan 580	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴𝐶𝐵) = ((normCV‘𝑊)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑊)𝐵)))
21		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
22	21, 3, 1	sspba 30708	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑌 ⊆ (BaseSet‘𝑈))
23	22	sseld 3957	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐴 ∈ 𝑌 → 𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈)))
24	22	sseld 3957	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐵 ∈ 𝑌 → 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈)))
25	23, 24	anim12d 609	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → (𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈))))
26	25	imp 406	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈)))
27		sspims.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
28	21, 13, 8, 27	imsdval 30667	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝐴𝐷𝐵) = ((normCV‘𝑈)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)))
29	28	3expb 1120	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (𝐴𝐷𝐵) = ((normCV‘𝑈)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)))
30	29	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (𝐴𝐷𝐵) = ((normCV‘𝑈)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)))
31	26, 30	syldan 591	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴𝐷𝐵) = ((normCV‘𝑈)‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)))
32	16, 20, 31	3eqtr4d 2780	1 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴𝐶𝐵) = (𝐴𝐷𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  NrmCVeccnv 30565  BaseSetcba 30567   −_𝑣 cnsb 30570  norm_CVcnmcv 30571  IndMetcims 30572  SubSpcss 30702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-ltxr 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-grpo 30474  df-gid 30475  df-ginv 30476  df-gdiv 30477  df-ablo 30526  df-vc 30540  df-nv 30573  df-va 30576  df-ba 30577  df-sm 30578  df-0v 30579  df-vs 30580  df-nmcv 30581  df-ims 30582  df-ssp 30703

This theorem is referenced by:  sspims  30720