Theorem bnsscmcl 30797

Description: A subspace of a Banach space is a Banach space iff it is closed in the norm-induced metric of the parent space. (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
bnsscmcl.x	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
bnsscmcl.d	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
bnsscmcl.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
bnsscmcl.h	⊢ 𝐻 = (SubSp‘𝑈)
bnsscmcl.y	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
bnsscmcl	⊢ ((𝑈 ∈ CBan ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑊 ∈ CBan ↔ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)))

Proof of Theorem bnsscmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bnnv 30795	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ CBan → 𝑈 ∈ NrmCVec)
2		bnsscmcl.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (SubSp‘𝑈)
3	2	sspnv 30655	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
4	1, 3	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ CBan ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
5		bnsscmcl.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
6		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (IndMet‘𝑊) = (IndMet‘𝑊)
7	5, 6	iscbn 30793	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ CBan ↔ (𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (IndMet‘𝑊) ∈ (CMet‘𝑌)))
8	7	baib 535	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → (𝑊 ∈ CBan ↔ (IndMet‘𝑊) ∈ (CMet‘𝑌)))
9	4, 8	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ CBan ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑊 ∈ CBan ↔ (IndMet‘𝑊) ∈ (CMet‘𝑌)))
10		bnsscmcl.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
11	5, 10, 6, 2	sspims 30668	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (IndMet‘𝑊) = (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))
12	1, 11	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ CBan ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (IndMet‘𝑊) = (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))
13	12	eleq1d 2813	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ CBan ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((IndMet‘𝑊) ∈ (CMet‘𝑌) ↔ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)))
14		bnsscmcl.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
15	14, 10	cbncms 30794	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ CBan → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
16	15	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ CBan ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
17		bnsscmcl.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
18	17	cmetss 25216	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌) ↔ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)))
19	16, 18	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ CBan ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌) ↔ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)))
20	9, 13, 19	3bitrd 305	1 ⊢ ((𝑈 ∈ CBan ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑊 ∈ CBan ↔ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   × cxp 5636   ↾ cres 5640  ‘cfv 6511  MetOpencmopn 21254  Clsdccld 22903  CMetccmet 25154  NrmCVeccnv 30513  BaseSetcba 30515  IndMetcims 30520  SubSpcss 30650  CBanccbn 30791

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fi 9362  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-ico 13312  df-icc 13313  df-rest 17385  df-topgen 17406  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-fbas 21261  df-fg 21262  df-top 22781  df-topon 22798  df-bases 22833  df-cld 22906  df-ntr 22907  df-cls 22908  df-nei 22985  df-haus 23202  df-fil 23733  df-flim 23826  df-cfil 25155  df-cmet 25157  df-grpo 30422  df-gid 30423  df-ginv 30424  df-gdiv 30425  df-ablo 30474  df-vc 30488  df-nv 30521  df-va 30524  df-ba 30525  df-sm 30526  df-0v 30527  df-vs 30528  df-nmcv 30529  df-ims 30530  df-ssp 30651  df-cbn 30792

This theorem is referenced by: (None)