Theorem bnsscmcl 31500

Description: A subspace of a Banach space is a Banach space iff it is closed in the norm-induced metric of the parent space. (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
bnsscmcl.x	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
bnsscmcl.d	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
bnsscmcl.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
bnsscmcl.h	⊢ 𝐻 = (SubSp‘𝑈)
bnsscmcl.y	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
bnsscmcl	⊢ ((𝑈 ∈ CBan ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑊 ∈ CBan ↔ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)))

Proof of Theorem bnsscmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bnnv 31498	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ CBan → 𝑈 ∈ NrmCVec)
2		bnsscmcl.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (SubSp‘𝑈)
3	2	sspnv 31358	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
4	1, 3	sylan 592	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ CBan ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
5		bnsscmcl.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
6		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (IndMet‘𝑊) = (IndMet‘𝑊)
7	5, 6	iscbn 31496	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ CBan ↔ (𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (IndMet‘𝑊) ∈ (CMet‘𝑌)))
8	7	baib 545	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → (𝑊 ∈ CBan ↔ (IndMet‘𝑊) ∈ (CMet‘𝑌)))
9	4, 8	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ CBan ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑊 ∈ CBan ↔ (IndMet‘𝑊) ∈ (CMet‘𝑌)))
10		bnsscmcl.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
11	5, 10, 6, 2	sspims 31371	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (IndMet‘𝑊) = (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))
12	1, 11	sylan 592	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ CBan ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (IndMet‘𝑊) = (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))
13	12	eleq1d 2849	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ CBan ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((IndMet‘𝑊) ∈ (CMet‘𝑌) ↔ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)))
14		bnsscmcl.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
15	14, 10	cbncms 31497	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ CBan → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
16	15	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ CBan ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
17		bnsscmcl.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
18	17	cmetss 25667	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌) ↔ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)))
19	16, 18	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ CBan ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌) ↔ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)))
20	9, 13, 19	3bitrd 308	1 ⊢ ((𝑈 ∈ CBan ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑊 ∈ CBan ↔ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   × cxp 5653   ↾ cres 5657  ‘cfv 6558  MetOpencmopn 21698  Clsdccld 23364  CMetccmet 25605  NrmCVeccnv 31216  BaseSetcba 31218  IndMetcims 31223  SubSpcss 31353  CBanccbn 31494

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8745  df-map 8877  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-fi 9430  df-sup 9461  df-inf 9462  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-q 13103  df-rp 13148  df-xneg 13268  df-xadd 13269  df-xmul 13270  df-ico 13509  df-icc 13510  df-rest 17622  df-topgen 17643  df-psmet 21700  df-xmet 21701  df-met 21702  df-bl 21703  df-mopn 21704  df-fbas 21705  df-fg 21706  df-top 23242  df-topon 23259  df-bases 23294  df-cld 23367  df-ntr 23368  df-cls 23369  df-nei 23446  df-haus 23663  df-fil 24195  df-flim 24288  df-cfil 25606  df-cmet 25608  df-grpo 31125  df-gid 31126  df-ginv 31127  df-gdiv 31128  df-ablo 31177  df-vc 31191  df-nv 31224  df-va 31227  df-ba 31228  df-sm 31229  df-0v 31230  df-vs 31231  df-nmcv 31232  df-ims 31233  df-ssp 31354  df-cbn 31495

This theorem is used by: (None)