Theorem bnsscmcl 30948

Description: A subspace of a Banach space is a Banach space iff it is closed in the norm-induced metric of the parent space. (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
bnsscmcl.x	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
bnsscmcl.d	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
bnsscmcl.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
bnsscmcl.h	⊢ 𝐻 = (SubSp‘𝑈)
bnsscmcl.y	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
bnsscmcl	⊢ ((𝑈 ∈ CBan ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑊 ∈ CBan ↔ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)))

Proof of Theorem bnsscmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bnnv 30946	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ CBan → 𝑈 ∈ NrmCVec)
2		bnsscmcl.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (SubSp‘𝑈)
3	2	sspnv 30806	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
4	1, 3	sylan 581	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ CBan ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
5		bnsscmcl.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
6		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (IndMet‘𝑊) = (IndMet‘𝑊)
7	5, 6	iscbn 30944	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ CBan ↔ (𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (IndMet‘𝑊) ∈ (CMet‘𝑌)))
8	7	baib 535	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → (𝑊 ∈ CBan ↔ (IndMet‘𝑊) ∈ (CMet‘𝑌)))
9	4, 8	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ CBan ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑊 ∈ CBan ↔ (IndMet‘𝑊) ∈ (CMet‘𝑌)))
10		bnsscmcl.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
11	5, 10, 6, 2	sspims 30819	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (IndMet‘𝑊) = (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))
12	1, 11	sylan 581	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ CBan ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (IndMet‘𝑊) = (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))
13	12	eleq1d 2822	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ CBan ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((IndMet‘𝑊) ∈ (CMet‘𝑌) ↔ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)))
14		bnsscmcl.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
15	14, 10	cbncms 30945	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ CBan → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
16	15	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ CBan ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
17		bnsscmcl.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
18	17	cmetss 25277	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌) ↔ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)))
19	16, 18	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ CBan ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌) ↔ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)))
20	9, 13, 19	3bitrd 305	1 ⊢ ((𝑈 ∈ CBan ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑊 ∈ CBan ↔ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   × cxp 5623   ↾ cres 5627  ‘cfv 6493  MetOpencmopn 21304  Clsdccld 22965  CMetccmet 25215  NrmCVeccnv 30664  BaseSetcba 30666  IndMetcims 30671  SubSpcss 30801  CBanccbn 30942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-cnex 11087  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107  ax-pre-mulgt0 11108  ax-pre-sup 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-2o 8401  df-er 8638  df-map 8770  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-fi 9319  df-sup 9350  df-inf 9351  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12151  df-2 12213  df-n0 12407  df-z 12494  df-uz 12757  df-q 12867  df-rp 12911  df-xneg 13031  df-xadd 13032  df-xmul 13033  df-ico 13272  df-icc 13273  df-rest 17347  df-topgen 17368  df-psmet 21306  df-xmet 21307  df-met 21308  df-bl 21309  df-mopn 21310  df-fbas 21311  df-fg 21312  df-top 22843  df-topon 22860  df-bases 22895  df-cld 22968  df-ntr 22969  df-cls 22970  df-nei 23047  df-haus 23264  df-fil 23795  df-flim 23888  df-cfil 25216  df-cmet 25218  df-grpo 30573  df-gid 30574  df-ginv 30575  df-gdiv 30576  df-ablo 30625  df-vc 30639  df-nv 30672  df-va 30675  df-ba 30676  df-sm 30677  df-0v 30678  df-vs 30679  df-nmcv 30680  df-ims 30681  df-ssp 30802  df-cbn 30943

This theorem is referenced by: (None)