MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bnsscmcl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem bnsscmcl 30389
Description: A subspace of a Banach space is a Banach space iff it is closed in the norm-induced metric of the parent space. (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
bnsscmcl.x 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
bnsscmcl.d 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
bnsscmcl.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
bnsscmcl.h 𝐻 = (SubSpβ€˜π‘ˆ)
bnsscmcl.y π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
bnsscmcl ((π‘ˆ ∈ CBan ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (π‘Š ∈ CBan ↔ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)))
Proof of Theorem bnsscmcl
StepHypRef Expression
1 bnnv 30387 . . . 4 (π‘ˆ ∈ CBan β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
2 bnsscmcl.h . . . . 5 𝐻 = (SubSpβ€˜π‘ˆ)
32sspnv 30247 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘Š ∈ NrmCVec)
41, 3sylan 579 . . 3 ((π‘ˆ ∈ CBan ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘Š ∈ NrmCVec)
5 bnsscmcl.y . . . . 5 π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
6 eqid 2731 . . . . 5 (IndMetβ€˜π‘Š) = (IndMetβ€˜π‘Š)
75, 6iscbn 30385 . . . 4 (π‘Š ∈ CBan ↔ (π‘Š ∈ NrmCVec ∧ (IndMetβ€˜π‘Š) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)))
87baib 535 . . 3 (π‘Š ∈ NrmCVec β†’ (π‘Š ∈ CBan ↔ (IndMetβ€˜π‘Š) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)))
94, 8syl 17 . 2 ((π‘ˆ ∈ CBan ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (π‘Š ∈ CBan ↔ (IndMetβ€˜π‘Š) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)))
10 bnsscmcl.d . . . . 5 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
115, 10, 6, 2sspims 30260 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (IndMetβ€˜π‘Š) = (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))
121, 11sylan 579 . . 3 ((π‘ˆ ∈ CBan ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (IndMetβ€˜π‘Š) = (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))
1312eleq1d 2817 . 2 ((π‘ˆ ∈ CBan ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ((IndMetβ€˜π‘Š) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ) ↔ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)))
14 bnsscmcl.x . . . . 5 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
1514, 10cbncms 30386 . . . 4 (π‘ˆ ∈ CBan β†’ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹))
1615adantr 480 . . 3 ((π‘ˆ ∈ CBan ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹))
17 bnsscmcl.j . . . 4 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
1817cmetss 25065 . . 3 (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) β†’ ((𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ) ↔ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)))
1916, 18syl 17 . 2 ((π‘ˆ ∈ CBan ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ((𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ) ↔ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)))
209, 13, 193bitrd 305 1 ((π‘ˆ ∈ CBan ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (π‘Š ∈ CBan ↔ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   Γ— cxp 5674   β†Ύ cres 5678  β€˜cfv 6543  MetOpencmopn 21135  Clsdccld 22741  CMetccmet 25003  NrmCVeccnv 30105  BaseSetcba 30107  IndMetcims 30112  SubSpcss 30242  CBanccbn 30383
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ico 13335  df-icc 13336  df-rest 17373  df-topgen 17394  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-top 22617  df-topon 22634  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-haus 23040  df-fil 23571  df-flim 23664  df-cfil 25004  df-cmet 25006  df-grpo 30014  df-gid 30015  df-ginv 30016  df-gdiv 30017  df-ablo 30066  df-vc 30080  df-nv 30113  df-va 30116  df-ba 30117  df-sm 30118  df-0v 30119  df-vs 30120  df-nmcv 30121  df-ims 30122  df-ssp 30243  df-cbn 30384
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator