Theorem bnsscmcl 29131

Description: A subspace of a Banach space is a Banach space iff it is closed in the norm-induced metric of the parent space. (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
bnsscmcl.x	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
bnsscmcl.d	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
bnsscmcl.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
bnsscmcl.h	⊢ 𝐻 = (SubSp‘𝑈)
bnsscmcl.y	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
bnsscmcl	⊢ ((𝑈 ∈ CBan ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑊 ∈ CBan ↔ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)))

Proof of Theorem bnsscmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bnnv 29129	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ CBan → 𝑈 ∈ NrmCVec)
2		bnsscmcl.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (SubSp‘𝑈)
3	2	sspnv 28989	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
4	1, 3	sylan 579	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ CBan ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
5		bnsscmcl.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
6		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (IndMet‘𝑊) = (IndMet‘𝑊)
7	5, 6	iscbn 29127	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ CBan ↔ (𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (IndMet‘𝑊) ∈ (CMet‘𝑌)))
8	7	baib 535	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → (𝑊 ∈ CBan ↔ (IndMet‘𝑊) ∈ (CMet‘𝑌)))
9	4, 8	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ CBan ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑊 ∈ CBan ↔ (IndMet‘𝑊) ∈ (CMet‘𝑌)))
10		bnsscmcl.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
11	5, 10, 6, 2	sspims 29002	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (IndMet‘𝑊) = (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))
12	1, 11	sylan 579	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ CBan ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (IndMet‘𝑊) = (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))
13	12	eleq1d 2823	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ CBan ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((IndMet‘𝑊) ∈ (CMet‘𝑌) ↔ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)))
14		bnsscmcl.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
15	14, 10	cbncms 29128	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ CBan → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
16	15	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ CBan ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
17		bnsscmcl.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
18	17	cmetss 24385	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌) ↔ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)))
19	16, 18	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ CBan ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌) ↔ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)))
20	9, 13, 19	3bitrd 304	1 ⊢ ((𝑈 ∈ CBan ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑊 ∈ CBan ↔ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   × cxp 5578   ↾ cres 5582  ‘cfv 6418  MetOpencmopn 20500  Clsdccld 22075  CMetccmet 24323  NrmCVeccnv 28847  BaseSetcba 28849  IndMetcims 28854  SubSpcss 28984  CBanccbn 29125

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ico 13014  df-icc 13015  df-rest 17050  df-topgen 17071  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-top 21951  df-topon 21968  df-bases 22004  df-cld 22078  df-ntr 22079  df-cls 22080  df-nei 22157  df-haus 22374  df-fil 22905  df-flim 22998  df-cfil 24324  df-cmet 24326  df-grpo 28756  df-gid 28757  df-ginv 28758  df-gdiv 28759  df-ablo 28808  df-vc 28822  df-nv 28855  df-va 28858  df-ba 28859  df-sm 28860  df-0v 28861  df-vs 28862  df-nmcv 28863  df-ims 28864  df-ssp 28985  df-cbn 29126

This theorem is referenced by: (None)