Theorem bnsscmcl 31129

Description: A subspace of a Banach space is a Banach space iff it is closed in the norm-induced metric of the parent space. (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
bnsscmcl.x	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
bnsscmcl.d	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
bnsscmcl.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
bnsscmcl.h	⊢ 𝐻 = (SubSp‘𝑈)
bnsscmcl.y	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
bnsscmcl	⊢ ((𝑈 ∈ CBan ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑊 ∈ CBan ↔ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)))

Proof of Theorem bnsscmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bnnv 31127	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ CBan → 𝑈 ∈ NrmCVec)
2		bnsscmcl.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (SubSp‘𝑈)
3	2	sspnv 30987	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
4	1, 3	sylan 591	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ CBan ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
5		bnsscmcl.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
6		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (IndMet‘𝑊) = (IndMet‘𝑊)
7	5, 6	iscbn 31125	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ CBan ↔ (𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (IndMet‘𝑊) ∈ (CMet‘𝑌)))
8	7	baib 544	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → (𝑊 ∈ CBan ↔ (IndMet‘𝑊) ∈ (CMet‘𝑌)))
9	4, 8	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ CBan ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑊 ∈ CBan ↔ (IndMet‘𝑊) ∈ (CMet‘𝑌)))
10		bnsscmcl.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
11	5, 10, 6, 2	sspims 31000	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (IndMet‘𝑊) = (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))
12	1, 11	sylan 591	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ CBan ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (IndMet‘𝑊) = (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))
13	12	eleq1d 2850	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ CBan ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((IndMet‘𝑊) ∈ (CMet‘𝑌) ↔ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)))
14		bnsscmcl.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
15	14, 10	cbncms 31126	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ CBan → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
16	15	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ CBan ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
17		bnsscmcl.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
18	17	cmetss 25436	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌) ↔ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)))
19	16, 18	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ CBan ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌) ↔ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)))
20	9, 13, 19	3bitrd 308	1 ⊢ ((𝑈 ∈ CBan ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑊 ∈ CBan ↔ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   × cxp 5650   ↾ cres 5654  ‘cfv 6525  MetOpencmopn 21472  Clsdccld 23134  CMetccmet 25374  NrmCVeccnv 30845  BaseSetcba 30847  IndMetcims 30852  SubSpcss 30982  CBanccbn 31123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fi 9359  df-sup 9390  df-inf 9391  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-ico 13369  df-icc 13370  df-rest 17465  df-topgen 17486  df-psmet 21474  df-xmet 21475  df-met 21476  df-bl 21477  df-mopn 21478  df-fbas 21479  df-fg 21480  df-top 23012  df-topon 23029  df-bases 23064  df-cld 23137  df-ntr 23138  df-cls 23139  df-nei 23216  df-haus 23433  df-fil 23964  df-flim 24057  df-cfil 25375  df-cmet 25377  df-grpo 30754  df-gid 30755  df-ginv 30756  df-gdiv 30757  df-ablo 30806  df-vc 30820  df-nv 30853  df-va 30856  df-ba 30857  df-sm 30858  df-0v 30859  df-vs 30860  df-nmcv 30861  df-ims 30862  df-ssp 30983  df-cbn 31124

This theorem is referenced by: (None)