Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bnsscmcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bnsscmcl 28665
 Description: A subspace of a Banach space is a Banach space iff it is closed in the norm-induced metric of the parent space. (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
bnsscmcl.x 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
bnsscmcl.d 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
bnsscmcl.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
bnsscmcl.h 𝐻 = (SubSp‘𝑈)
bnsscmcl.y 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
bnsscmcl ((𝑈 ∈ CBan ∧ 𝑊𝐻) → (𝑊 ∈ CBan ↔ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)))

Proof of Theorem bnsscmcl
StepHypRef Expression
1 bnnv 28663 . . . 4 (𝑈 ∈ CBan → 𝑈 ∈ NrmCVec)
2 bnsscmcl.h . . . . 5 𝐻 = (SubSp‘𝑈)
32sspnv 28523 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
41, 3sylan 583 . . 3 ((𝑈 ∈ CBan ∧ 𝑊𝐻) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
5 bnsscmcl.y . . . . 5 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
6 eqid 2798 . . . . 5 (IndMet‘𝑊) = (IndMet‘𝑊)
75, 6iscbn 28661 . . . 4 (𝑊 ∈ CBan ↔ (𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (IndMet‘𝑊) ∈ (CMet‘𝑌)))
87baib 539 . . 3 (𝑊 ∈ NrmCVec → (𝑊 ∈ CBan ↔ (IndMet‘𝑊) ∈ (CMet‘𝑌)))
94, 8syl 17 . 2 ((𝑈 ∈ CBan ∧ 𝑊𝐻) → (𝑊 ∈ CBan ↔ (IndMet‘𝑊) ∈ (CMet‘𝑌)))
10 bnsscmcl.d . . . . 5 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
115, 10, 6, 2sspims 28536 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → (IndMet‘𝑊) = (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))
121, 11sylan 583 . . 3 ((𝑈 ∈ CBan ∧ 𝑊𝐻) → (IndMet‘𝑊) = (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))
1312eleq1d 2874 . 2 ((𝑈 ∈ CBan ∧ 𝑊𝐻) → ((IndMet‘𝑊) ∈ (CMet‘𝑌) ↔ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌)))
14 bnsscmcl.x . . . . 5 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
1514, 10cbncms 28662 . . . 4 (𝑈 ∈ CBan → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
1615adantr 484 . . 3 ((𝑈 ∈ CBan ∧ 𝑊𝐻) → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
17 bnsscmcl.j . . . 4 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
1817cmetss 23934 . . 3 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌) ↔ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)))
1916, 18syl 17 . 2 ((𝑈 ∈ CBan ∧ 𝑊𝐻) → ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌) ↔ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)))
209, 13, 193bitrd 308 1 ((𝑈 ∈ CBan ∧ 𝑊𝐻) → (𝑊 ∈ CBan ↔ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝐽)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   × cxp 5518   ↾ cres 5522  ‘cfv 6327  MetOpencmopn 20089  Clsdccld 21635  CMetccmet 23872  NrmCVeccnv 28381  BaseSetcba 28383  IndMetcims 28388  SubSpcss 28518  CBanccbn 28659 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7448  ax-cnex 10589  ax-resscn 10590  ax-1cn 10591  ax-icn 10592  ax-addcl 10593  ax-addrcl 10594  ax-mulcl 10595  ax-mulrcl 10596  ax-mulcom 10597  ax-addass 10598  ax-mulass 10599  ax-distr 10600  ax-i2m1 10601  ax-1ne0 10602  ax-1rid 10603  ax-rnegex 10604  ax-rrecex 10605  ax-cnre 10606  ax-pre-lttri 10607  ax-pre-lttrn 10608  ax-pre-ltadd 10609  ax-pre-mulgt0 10610  ax-pre-sup 10611 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-iin 4885  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7568  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-1o 8092  df-oadd 8096  df-er 8279  df-map 8398  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-fin 8503  df-fi 8866  df-sup 8897  df-inf 8898  df-pnf 10673  df-mnf 10674  df-xr 10675  df-ltxr 10676  df-le 10677  df-sub 10868  df-neg 10869  df-div 11294  df-nn 11633  df-2 11695  df-n0 11893  df-z 11977  df-uz 12239  df-q 12344  df-rp 12385  df-xneg 12502  df-xadd 12503  df-xmul 12504  df-ico 12739  df-icc 12740  df-rest 16695  df-topgen 16716  df-psmet 20091  df-xmet 20092  df-met 20093  df-bl 20094  df-mopn 20095  df-fbas 20096  df-fg 20097  df-top 21513  df-topon 21530  df-bases 21565  df-cld 21638  df-ntr 21639  df-cls 21640  df-nei 21717  df-haus 21934  df-fil 22465  df-flim 22558  df-cfil 23873  df-cmet 23875  df-grpo 28290  df-gid 28291  df-ginv 28292  df-gdiv 28293  df-ablo 28342  df-vc 28356  df-nv 28389  df-va 28392  df-ba 28393  df-sm 28394  df-0v 28395  df-vs 28396  df-nmcv 28397  df-ims 28398  df-ssp 28519  df-cbn 28660 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator