MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bnsscmcl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem bnsscmcl 29907
Description: A subspace of a Banach space is a Banach space iff it is closed in the norm-induced metric of the parent space. (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
bnsscmcl.x 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
bnsscmcl.d 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
bnsscmcl.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
bnsscmcl.h 𝐻 = (SubSpβ€˜π‘ˆ)
bnsscmcl.y π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
bnsscmcl ((π‘ˆ ∈ CBan ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (π‘Š ∈ CBan ↔ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)))
Proof of Theorem bnsscmcl
StepHypRef Expression
1 bnnv 29905 . . . 4 (π‘ˆ ∈ CBan β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
2 bnsscmcl.h . . . . 5 𝐻 = (SubSpβ€˜π‘ˆ)
32sspnv 29765 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘Š ∈ NrmCVec)
41, 3sylan 580 . . 3 ((π‘ˆ ∈ CBan ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘Š ∈ NrmCVec)
5 bnsscmcl.y . . . . 5 π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
6 eqid 2731 . . . . 5 (IndMetβ€˜π‘Š) = (IndMetβ€˜π‘Š)
75, 6iscbn 29903 . . . 4 (π‘Š ∈ CBan ↔ (π‘Š ∈ NrmCVec ∧ (IndMetβ€˜π‘Š) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)))
87baib 536 . . 3 (π‘Š ∈ NrmCVec β†’ (π‘Š ∈ CBan ↔ (IndMetβ€˜π‘Š) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)))
94, 8syl 17 . 2 ((π‘ˆ ∈ CBan ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (π‘Š ∈ CBan ↔ (IndMetβ€˜π‘Š) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)))
10 bnsscmcl.d . . . . 5 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
115, 10, 6, 2sspims 29778 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (IndMetβ€˜π‘Š) = (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))
121, 11sylan 580 . . 3 ((π‘ˆ ∈ CBan ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (IndMetβ€˜π‘Š) = (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))
1312eleq1d 2817 . 2 ((π‘ˆ ∈ CBan ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ((IndMetβ€˜π‘Š) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ) ↔ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ)))
14 bnsscmcl.x . . . . 5 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
1514, 10cbncms 29904 . . . 4 (π‘ˆ ∈ CBan β†’ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹))
1615adantr 481 . . 3 ((π‘ˆ ∈ CBan ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹))
17 bnsscmcl.j . . . 4 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
1817cmetss 24732 . . 3 (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) β†’ ((𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ) ↔ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)))
1916, 18syl 17 . 2 ((π‘ˆ ∈ CBan ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ((𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ) ↔ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)))
209, 13, 193bitrd 304 1 ((π‘ˆ ∈ CBan ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (π‘Š ∈ CBan ↔ π‘Œ ∈ (Clsdβ€˜π½)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   Γ— cxp 5651   β†Ύ cres 5655  β€˜cfv 6516  MetOpencmopn 20838  Clsdccld 22419  CMetccmet 24670  NrmCVeccnv 29623  BaseSetcba 29625  IndMetcims 29630  SubSpcss 29760  CBanccbn 29901
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-int 4928  df-iun 4976  df-iin 4977  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8670  df-map 8789  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-fin 8909  df-fi 9371  df-sup 9402  df-inf 9403  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-div 11837  df-nn 12178  df-2 12240  df-n0 12438  df-z 12524  df-uz 12788  df-q 12898  df-rp 12940  df-xneg 13057  df-xadd 13058  df-xmul 13059  df-ico 13295  df-icc 13296  df-rest 17333  df-topgen 17354  df-psmet 20840  df-xmet 20841  df-met 20842  df-bl 20843  df-mopn 20844  df-fbas 20845  df-fg 20846  df-top 22295  df-topon 22312  df-bases 22348  df-cld 22422  df-ntr 22423  df-cls 22424  df-nei 22501  df-haus 22718  df-fil 23249  df-flim 23342  df-cfil 24671  df-cmet 24673  df-grpo 29532  df-gid 29533  df-ginv 29534  df-gdiv 29535  df-ablo 29584  df-vc 29598  df-nv 29631  df-va 29634  df-ba 29635  df-sm 29636  df-0v 29637  df-vs 29638  df-nmcv 29639  df-ims 29640  df-ssp 29761  df-cbn 29902
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator