Theorem t0hmph 22849

Description: T₀ is a topological property. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
t0hmph	⊢ (𝐽 ≃ 𝐾 → (𝐽 ∈ Kol2 → 𝐾 ∈ Kol2))

Proof of Theorem t0hmph

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		t0top 22388	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Kol2 → 𝐽 ∈ Top)
2		cnt0 22405	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Kol2 ∧ 𝑓:∪ 𝐾–1-1→∪ 𝐽 ∧ 𝑓 ∈ (𝐾 Cn 𝐽)) → 𝐾 ∈ Kol2)
3	1, 2	haushmphlem 22846	1 ⊢ (𝐽 ≃ 𝐾 → (𝐽 ∈ Kol2 → 𝐾 ∈ Kol2))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  ∪ cuni 4836   class class class wbr 5070  Kol2ct0 22365   ≃ chmph 22813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-1o 8267  df-map 8575  df-top 21951  df-topon 21968  df-cn 22286  df-t0 22372  df-hmeo 22814  df-hmph 22815

This theorem is referenced by:  t0kq  22877  kqhmph  22878