Theorem t0hmph 23978

Description: T₀ is a topological property. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
t0hmph	⊢ (𝐽 ≃ 𝐾 → (𝐽 ∈ Kol2 → 𝐾 ∈ Kol2))

Proof of Theorem t0hmph

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		t0top 23516	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Kol2 → 𝐽 ∈ Top)
2		cnt0 23533	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Kol2 ∧ 𝑓:∪ 𝐾–1-1→∪ 𝐽 ∧ 𝑓 ∈ (𝐾 Cn 𝐽)) → 𝐾 ∈ Kol2)
3	1, 2	haushmphlem 23975	1 ⊢ (𝐽 ≃ 𝐾 → (𝐽 ∈ Kol2 → 𝐾 ∈ Kol2))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  ∪ cuni 4874   class class class wbr 5111  Kol2ct0 23493   ≃ chmph 23942

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-1o 8455  df-map 8828  df-top 23081  df-topon 23098  df-cn 23414  df-t0 23500  df-hmeo 23943  df-hmph 23944

This theorem is used by:  t0kq  24006  kqhmph  24007