Theorem t0hmph 23275

Description: T₀ is a topological property. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
t0hmph	⊢ (𝐽 ≃ 𝐾 → (𝐽 ∈ Kol2 → 𝐾 ∈ Kol2))

Proof of Theorem t0hmph

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		t0top 22814	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Kol2 → 𝐽 ∈ Top)
2		cnt0 22831	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Kol2 ∧ 𝑓:∪ 𝐾–1-1→∪ 𝐽 ∧ 𝑓 ∈ (𝐾 Cn 𝐽)) → 𝐾 ∈ Kol2)
3	1, 2	haushmphlem 23272	1 ⊢ (𝐽 ≃ 𝐾 → (𝐽 ∈ Kol2 → 𝐾 ∈ Kol2))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  ∪ cuni 4906   class class class wbr 5146  Kol2ct0 22791   ≃ chmph 23239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4907  df-iun 4997  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-id 5572  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-suc 6366  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-1o 8460  df-map 8817  df-top 22377  df-topon 22394  df-cn 22712  df-t0 22798  df-hmeo 23240  df-hmph 23241

This theorem is referenced by:  t0kq  23303  kqhmph  23304