Theorem connhmph 23927

Description: Connectedness is a topological property. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Jul-2009.)

Assertion

Ref	Expression
connhmph	⊢ (𝐽 ≃ 𝐾 → (𝐽 ∈ Conn → 𝐾 ∈ Conn))

Proof of Theorem connhmph

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmph 23914	. 2 ⊢ (𝐽 ≃ 𝐾 ↔ (𝐽Homeo𝐾) ≠ ∅)
2		n0 4308	. . 3 ⊢ ((𝐽Homeo𝐾) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾))
3		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
4		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
5	3, 4	hmeof1o 23902	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝑓:∪ 𝐽–1-1-onto→∪ 𝐾)
6		f1ofo 6830	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:∪ 𝐽–1-1-onto→∪ 𝐾 → 𝑓:∪ 𝐽–onto→∪ 𝐾)
7	5, 6	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝑓:∪ 𝐽–onto→∪ 𝐾)
8		hmeocn 23898	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
9	4	cnconn 23560	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝑓:∪ 𝐽–onto→∪ 𝐾 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐾 ∈ Conn)
10	9	3expb 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Conn ∧ (𝑓:∪ 𝐽–onto→∪ 𝐾 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) → 𝐾 ∈ Conn)
11	10	expcom 418	. . . . 5 ⊢ ((𝑓:∪ 𝐽–onto→∪ 𝐾 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐽 ∈ Conn → 𝐾 ∈ Conn))
12	7, 8, 11	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → (𝐽 ∈ Conn → 𝐾 ∈ Conn))
13	12	exlimiv 1960	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → (𝐽 ∈ Conn → 𝐾 ∈ Conn))
14	2, 13	sylbi 220	. 2 ⊢ ((𝐽Homeo𝐾) ≠ ∅ → (𝐽 ∈ Conn → 𝐾 ∈ Conn))
15	1, 14	sylbi 220	1 ⊢ (𝐽 ≃ 𝐾 → (𝐽 ∈ Conn → 𝐾 ∈ Conn))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∅c0 4287  ∪ cuni 4873   class class class wbr 5110  –onto→wfo 6536  –1-1-onto→wf1o 6537  (class class class)co 7412   Cn ccn 23362  Conncconn 23549  Homeochmeo 23891   ≃ chmph 23892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-1o 8454  df-map 8827  df-top 23032  df-topon 23049  df-cld 23157  df-cn 23365  df-conn 23550  df-hmeo 23893  df-hmph 23894

This theorem is referenced by:  xrconn  25089