Theorem connhmph 23813

Description: Connectedness is a topological property. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Jul-2009.)

Assertion

Ref	Expression
connhmph	⊢ (𝐽 ≃ 𝐾 → (𝐽 ∈ Conn → 𝐾 ∈ Conn))

Proof of Theorem connhmph

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmph 23800	. 2 ⊢ (𝐽 ≃ 𝐾 ↔ (𝐽Homeo𝐾) ≠ ∅)
2		n0 4359	. . 3 ⊢ ((𝐽Homeo𝐾) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾))
3		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
4		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
5	3, 4	hmeof1o 23788	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝑓:∪ 𝐽–1-1-onto→∪ 𝐾)
6		f1ofo 6856	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:∪ 𝐽–1-1-onto→∪ 𝐾 → 𝑓:∪ 𝐽–onto→∪ 𝐾)
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝑓:∪ 𝐽–onto→∪ 𝐾)
8		hmeocn 23784	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
9	4	cnconn 23446	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝑓:∪ 𝐽–onto→∪ 𝐾 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐾 ∈ Conn)
10	9	3expb 1119	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Conn ∧ (𝑓:∪ 𝐽–onto→∪ 𝐾 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) → 𝐾 ∈ Conn)
11	10	expcom 413	. . . . 5 ⊢ ((𝑓:∪ 𝐽–onto→∪ 𝐾 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐽 ∈ Conn → 𝐾 ∈ Conn))
12	7, 8, 11	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → (𝐽 ∈ Conn → 𝐾 ∈ Conn))
13	12	exlimiv 1928	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → (𝐽 ∈ Conn → 𝐾 ∈ Conn))
14	2, 13	sylbi 217	. 2 ⊢ ((𝐽Homeo𝐾) ≠ ∅ → (𝐽 ∈ Conn → 𝐾 ∈ Conn))
15	1, 14	sylbi 217	1 ⊢ (𝐽 ≃ 𝐾 → (𝐽 ∈ Conn → 𝐾 ∈ Conn))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∃wex 1776   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∅c0 4339  ∪ cuni 4912   class class class wbr 5148  –onto→wfo 6561  –1-1-onto→wf1o 6562  (class class class)co 7431   Cn ccn 23248  Conncconn 23435  Homeochmeo 23777   ≃ chmph 23778

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-1o 8505  df-map 8867  df-top 22916  df-topon 22933  df-cld 23043  df-cn 23251  df-conn 23436  df-hmeo 23779  df-hmph 23780

This theorem is referenced by:  xrconn  24994