Theorem connhmph 23727

Description: Connectedness is a topological property. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Jul-2009.)

Assertion

Ref	Expression
connhmph	⊢ (𝐽 ≃ 𝐾 → (𝐽 ∈ Conn → 𝐾 ∈ Conn))

Proof of Theorem connhmph

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmph 23714	. 2 ⊢ (𝐽 ≃ 𝐾 ↔ (𝐽Homeo𝐾) ≠ ∅)
2		n0 4328	. . 3 ⊢ ((𝐽Homeo𝐾) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾))
3		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
4		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
5	3, 4	hmeof1o 23702	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝑓:∪ 𝐽–1-1-onto→∪ 𝐾)
6		f1ofo 6825	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:∪ 𝐽–1-1-onto→∪ 𝐾 → 𝑓:∪ 𝐽–onto→∪ 𝐾)
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝑓:∪ 𝐽–onto→∪ 𝐾)
8		hmeocn 23698	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
9	4	cnconn 23360	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝑓:∪ 𝐽–onto→∪ 𝐾 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐾 ∈ Conn)
10	9	3expb 1120	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Conn ∧ (𝑓:∪ 𝐽–onto→∪ 𝐾 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) → 𝐾 ∈ Conn)
11	10	expcom 413	. . . . 5 ⊢ ((𝑓:∪ 𝐽–onto→∪ 𝐾 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐽 ∈ Conn → 𝐾 ∈ Conn))
12	7, 8, 11	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → (𝐽 ∈ Conn → 𝐾 ∈ Conn))
13	12	exlimiv 1930	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → (𝐽 ∈ Conn → 𝐾 ∈ Conn))
14	2, 13	sylbi 217	. 2 ⊢ ((𝐽Homeo𝐾) ≠ ∅ → (𝐽 ∈ Conn → 𝐾 ∈ Conn))
15	1, 14	sylbi 217	1 ⊢ (𝐽 ≃ 𝐾 → (𝐽 ∈ Conn → 𝐾 ∈ Conn))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∅c0 4308  ∪ cuni 4883   class class class wbr 5119  –onto→wfo 6529  –1-1-onto→wf1o 6530  (class class class)co 7405   Cn ccn 23162  Conncconn 23349  Homeochmeo 23691   ≃ chmph 23692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-1o 8480  df-map 8842  df-top 22832  df-topon 22849  df-cld 22957  df-cn 23165  df-conn 23350  df-hmeo 23693  df-hmph 23694

This theorem is referenced by:  xrconn  24898