MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  connhmph Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem connhmph 23140
Description: Connectedness is a topological property. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Jul-2009.)
Assertion
Ref Expression
connhmph (𝐽𝐾 → (𝐽 ∈ Conn → 𝐾 ∈ Conn))

Proof of Theorem connhmph
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmph 23127 . 2 (𝐽𝐾 ↔ (𝐽Homeo𝐾) ≠ ∅)
2 n0 4306 . . 3 ((𝐽Homeo𝐾) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾))
3 eqid 2736 . . . . . . 7 𝐽 = 𝐽
4 eqid 2736 . . . . . . 7 𝐾 = 𝐾
53, 4hmeof1o 23115 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝑓: 𝐽1-1-onto 𝐾)
6 f1ofo 6791 . . . . . 6 (𝑓: 𝐽1-1-onto 𝐾𝑓: 𝐽onto 𝐾)
75, 6syl 17 . . . . 5 (𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝑓: 𝐽onto 𝐾)
8 hmeocn 23111 . . . . 5 (𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
94cnconn 22773 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝑓: 𝐽onto 𝐾𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐾 ∈ Conn)
1093expb 1120 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Conn ∧ (𝑓: 𝐽onto 𝐾𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) → 𝐾 ∈ Conn)
1110expcom 414 . . . . 5 ((𝑓: 𝐽onto 𝐾𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐽 ∈ Conn → 𝐾 ∈ Conn))
127, 8, 11syl2anc 584 . . . 4 (𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → (𝐽 ∈ Conn → 𝐾 ∈ Conn))
1312exlimiv 1933 . . 3 (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → (𝐽 ∈ Conn → 𝐾 ∈ Conn))
142, 13sylbi 216 . 2 ((𝐽Homeo𝐾) ≠ ∅ → (𝐽 ∈ Conn → 𝐾 ∈ Conn))
151, 14sylbi 216 1 (𝐽𝐾 → (𝐽 ∈ Conn → 𝐾 ∈ Conn))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wex 1781  wcel 2106  wne 2943  c0 4282   cuni 4865   class class class wbr 5105  ontowfo 6494  1-1-ontowf1o 6495  (class class class)co 7357   Cn ccn 22575  Conncconn 22762  Homeochmeo 23104  chmph 23105
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-1o 8412  df-map 8767  df-top 22243  df-topon 22260  df-cld 22370  df-cn 22578  df-conn 22763  df-hmeo 23106  df-hmph 23107
This theorem is referenced by:  xrconn  24312
  Copyright terms: Public domain W3C validator