Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  connhmph Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem connhmph 22392
 Description: Connectedness is a topological property. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Jul-2009.)
Assertion
Ref Expression
connhmph (𝐽𝐾 → (𝐽 ∈ Conn → 𝐾 ∈ Conn))

Proof of Theorem connhmph
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmph 22379 . 2 (𝐽𝐾 ↔ (𝐽Homeo𝐾) ≠ ∅)
2 n0 4282 . . 3 ((𝐽Homeo𝐾) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾))
3 eqid 2822 . . . . . . 7 𝐽 = 𝐽
4 eqid 2822 . . . . . . 7 𝐾 = 𝐾
53, 4hmeof1o 22367 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝑓: 𝐽1-1-onto 𝐾)
6 f1ofo 6604 . . . . . 6 (𝑓: 𝐽1-1-onto 𝐾𝑓: 𝐽onto 𝐾)
75, 6syl 17 . . . . 5 (𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝑓: 𝐽onto 𝐾)
8 hmeocn 22363 . . . . 5 (𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
94cnconn 22025 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝑓: 𝐽onto 𝐾𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐾 ∈ Conn)
1093expb 1117 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Conn ∧ (𝑓: 𝐽onto 𝐾𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) → 𝐾 ∈ Conn)
1110expcom 417 . . . . 5 ((𝑓: 𝐽onto 𝐾𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐽 ∈ Conn → 𝐾 ∈ Conn))
127, 8, 11syl2anc 587 . . . 4 (𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → (𝐽 ∈ Conn → 𝐾 ∈ Conn))
1312exlimiv 1931 . . 3 (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → (𝐽 ∈ Conn → 𝐾 ∈ Conn))
142, 13sylbi 220 . 2 ((𝐽Homeo𝐾) ≠ ∅ → (𝐽 ∈ Conn → 𝐾 ∈ Conn))
151, 14sylbi 220 1 (𝐽𝐾 → (𝐽 ∈ Conn → 𝐾 ∈ Conn))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3011  ∅c0 4265  ∪ cuni 4813   class class class wbr 5042  –onto→wfo 6332  –1-1-onto→wf1o 6333  (class class class)co 7140   Cn ccn 21827  Conncconn 22014  Homeochmeo 22356   ≃ chmph 22357 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-ral 3135  df-rex 3136  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-1o 8089  df-map 8395  df-top 21497  df-topon 21514  df-cld 21622  df-cn 21830  df-conn 22015  df-hmeo 22358  df-hmph 22359 This theorem is referenced by:  xrconn  23552
 Copyright terms: Public domain W3C validator