Theorem connhmph 21970

Description: Connectedness is a topological property. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Jul-2009.)

Assertion

Ref	Expression
connhmph	⊢ (𝐽 ≃ 𝐾 → (𝐽 ∈ Conn → 𝐾 ∈ Conn))

Proof of Theorem connhmph

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmph 21957	. 2 ⊢ (𝐽 ≃ 𝐾 ↔ (𝐽Homeo𝐾) ≠ ∅)
2		n0 4162	. . 3 ⊢ ((𝐽Homeo𝐾) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾))
3		eqid 2825	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
4		eqid 2825	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
5	3, 4	hmeof1o 21945	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝑓:∪ 𝐽–1-1-onto→∪ 𝐾)
6		f1ofo 6389	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:∪ 𝐽–1-1-onto→∪ 𝐾 → 𝑓:∪ 𝐽–onto→∪ 𝐾)
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝑓:∪ 𝐽–onto→∪ 𝐾)
8		hmeocn 21941	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
9	4	cnconn 21603	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝑓:∪ 𝐽–onto→∪ 𝐾 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐾 ∈ Conn)
10	9	3expb 1153	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Conn ∧ (𝑓:∪ 𝐽–onto→∪ 𝐾 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) → 𝐾 ∈ Conn)
11	10	expcom 404	. . . . 5 ⊢ ((𝑓:∪ 𝐽–onto→∪ 𝐾 ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐽 ∈ Conn → 𝐾 ∈ Conn))
12	7, 8, 11	syl2anc 579	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → (𝐽 ∈ Conn → 𝐾 ∈ Conn))
13	12	exlimiv 2029	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → (𝐽 ∈ Conn → 𝐾 ∈ Conn))
14	2, 13	sylbi 209	. 2 ⊢ ((𝐽Homeo𝐾) ≠ ∅ → (𝐽 ∈ Conn → 𝐾 ∈ Conn))
15	1, 14	sylbi 209	1 ⊢ (𝐽 ≃ 𝐾 → (𝐽 ∈ Conn → 𝐾 ∈ Conn))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386  ∃wex 1878   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999  ∅c0 4146  ∪ cuni 4660   class class class wbr 4875  –onto→wfo 6125  –1-1-onto→wf1o 6126  (class class class)co 6910   Cn ccn 21406  Conncconn 21592  Homeochmeo 21934   ≃ chmph 21935

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-id 5252  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-1o 7831  df-map 8129  df-top 21076  df-topon 21093  df-cld 21201  df-cn 21409  df-conn 21593  df-hmeo 21936  df-hmph 21937

This theorem is referenced by:  xrconn  23125