Theorem ubico 30624

Description: A right-open interval does not contain its right endpoint. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Apr-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ubico	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴[,)𝐵))

Proof of Theorem ubico

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1135	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐵) → 𝐵 < 𝐵)
2		simp1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
3	2	ltnrd 10817	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐵) → ¬ 𝐵 < 𝐵)
4	1, 3	pm2.65i 197	. 2 ⊢ ¬ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐵)
5		elico2 12848	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐵)))
6	4, 5	mtbiri 330	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴[,)𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5035  (class class class)co 7155  ℝcr 10579  ℝ^*cxr 10717   < clt 10718   ≤ cle 10719  [,)cico 12786

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-id 5433  df-po 5446  df-so 5447  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-er 8304  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-ico 12790

This theorem is referenced by:  xrge0iifcnv  31408