MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elico2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elico2 12788
Description: Membership in a closed-below, open-above real interval. (Contributed by Paul Chapman, 21-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
elico2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)))

Proof of Theorem elico2
StepHypRef Expression
1 rexr 10675 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2 elico1 12769 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)))
31, 2sylan 580 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)))
4 mnfxr 10686 . . . . . . . 8 -∞ ∈ ℝ*
54a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → -∞ ∈ ℝ*)
61ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
7 simpr1 1186 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
8 mnflt 12506 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
98ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → -∞ < 𝐴)
10 simpr2 1187 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → 𝐴𝐶)
115, 6, 7, 9, 10xrltletrd 12542 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → -∞ < 𝐶)
12 simplr 765 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
13 pnfxr 10683 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
1413a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → +∞ ∈ ℝ*)
15 simpr3 1188 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → 𝐶 < 𝐵)
16 pnfge 12513 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≤ +∞)
1716ad2antlr 723 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → 𝐵 ≤ +∞)
187, 12, 14, 15, 17xrltletrd 12542 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → 𝐶 < +∞)
19 xrrebnd 12549 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℝ* → (𝐶 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐶𝐶 < +∞)))
207, 19syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → (𝐶 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐶𝐶 < +∞)))
2111, 18, 20mpbir2and 709 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
2221, 10, 153jca 1120 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵))
2322ex 413 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)))
24 rexr 10675 . . . 4 (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ*)
25243anim1i 1144 . . 3 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) → (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵))
2623, 25impbid1 226 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)))
273, 26bitrd 280 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079  wcel 2105   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  cr 10524  +∞cpnf 10660  -∞cmnf 10661  *cxr 10662   < clt 10663  cle 10664  [,)cico 12728
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-ico 12732
This theorem is referenced by:  icossre  12805  elicopnf  12821  icoshft  12847  modelico  13237  muladdmodid  13267  icodiamlt  14783  fprodge0  15335  fprodge1  15337  rge0srg  20544  metustexhalf  23093  cnbl0  23309  icoopnst  23470  iocopnst  23471  icopnfcnv  23473  icopnfhmeo  23474  iccpnfcnv  23475  psercnlem2  24939  psercnlem1  24940  psercn  24941  abelth  24956  cosq34lt1  25039  tanord1  25048  tanord  25049  efopnlem1  25166  logtayl  25170  rlimcnp  25470  rlimcnp2  25471  dchrvmasumlem2  26001  dchrvmasumiflem1  26004  pntlemb  26100  pnt  26117  ubico  30424  xrge0slmod  30844  voliune  31387  volfiniune  31388  dya2icoseg  31434  sibfinima  31496  relowlpssretop  34527  tan2h  34765  itg2addnclem2  34825  binomcxplemdvbinom  40562  binomcxplemcvg  40563  binomcxplemnotnn0  40565  limciccioolb  41778  fourierdlem32  42301  fourierdlem43  42312  fourierdlem63  42331  fourierdlem79  42347  fouriersw  42393  expnegico01  44501  dignnld  44591  eenglngeehlnmlem1  44652
  Copyright terms: Public domain W3C validator