MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elico2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elico2 13442
Description: Membership in a closed-below, open-above real interval. (Contributed by Paul Chapman, 21-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
elico2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)))

Proof of Theorem elico2
StepHypRef Expression
1 rexr 11310 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2 elico1 13421 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)))
31, 2sylan 578 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)))
4 mnfxr 11321 . . . . . . . 8 -∞ ∈ ℝ*
54a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → -∞ ∈ ℝ*)
61ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
7 simpr1 1191 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
8 mnflt 13157 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
98ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → -∞ < 𝐴)
10 simpr2 1192 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → 𝐴𝐶)
115, 6, 7, 9, 10xrltletrd 13194 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → -∞ < 𝐶)
12 simplr 767 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
13 pnfxr 11318 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
1413a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → +∞ ∈ ℝ*)
15 simpr3 1193 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → 𝐶 < 𝐵)
16 pnfge 13164 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≤ +∞)
1716ad2antlr 725 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → 𝐵 ≤ +∞)
187, 12, 14, 15, 17xrltletrd 13194 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → 𝐶 < +∞)
19 xrrebnd 13201 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℝ* → (𝐶 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐶𝐶 < +∞)))
207, 19syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → (𝐶 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐶𝐶 < +∞)))
2111, 18, 20mpbir2and 711 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
2221, 10, 153jca 1125 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵))
2322ex 411 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)))
24 rexr 11310 . . . 4 (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ*)
25243anim1i 1149 . . 3 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) → (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵))
2623, 25impbid1 224 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)))
273, 26bitrd 278 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084  wcel 2099   class class class wbr 5153  (class class class)co 7424  cr 11157  +∞cpnf 11295  -∞cmnf 11296  *cxr 11297   < clt 11298  cle 11299  [,)cico 13380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-ico 13384
This theorem is referenced by:  icossre  13459  elicopnf  13476  icoshft  13504  modelico  13901  muladdmodid  13931  icodiamlt  15440  fprodge0  15995  fprodge1  15997  rge0srg  21435  metustexhalf  24556  cnbl0  24781  icoopnst  24954  iocopnst  24955  icopnfcnv  24958  icopnfhmeo  24959  iccpnfcnv  24960  psercnlem2  26454  psercnlem1  26455  psercn  26456  abelth  26471  cosq34lt1  26554  tanord1  26564  tanord  26565  efopnlem1  26683  logtayl  26687  rlimcnp  26993  rlimcnp2  26994  dchrvmasumlem2  27527  dchrvmasumiflem1  27530  pntlemb  27626  pnt  27643  ubico  32677  xrge0slmod  33223  voliune  34062  volfiniune  34063  dya2icoseg  34111  sibfinima  34173  relowlpssretop  37071  tan2h  37313  itg2addnclem2  37373  binomcxplemdvbinom  44027  binomcxplemcvg  44028  binomcxplemnotnn0  44030  limciccioolb  45242  fourierdlem32  45760  fourierdlem43  45771  fourierdlem63  45790  fourierdlem79  45806  fouriersw  45852  expnegico01  47901  dignnld  47991  eenglngeehlnmlem1  48125  i0oii  48253  sepfsepc  48261
  Copyright terms: Public domain W3C validator