MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmpm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ulmpm 26426
Description: Closure of a uniform limit of functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
ulmpm (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐹 ∈ ((ℂ ↑m 𝑆) ↑pm ℤ))

Proof of Theorem ulmpm
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmf 26425 . 2 (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺 → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐹:(ℤ𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆))
2 uzssz 12899 . . . 4 (ℤ𝑛) ⊆ ℤ
3 ovex 7464 . . . . 5 (ℂ ↑m 𝑆) ∈ V
4 zex 12622 . . . . 5 ℤ ∈ V
5 elpm2r 8885 . . . . 5 ((((ℂ ↑m 𝑆) ∈ V ∧ ℤ ∈ V) ∧ (𝐹:(ℤ𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆) ∧ (ℤ𝑛) ⊆ ℤ)) → 𝐹 ∈ ((ℂ ↑m 𝑆) ↑pm ℤ))
63, 4, 5mpanl12 702 . . . 4 ((𝐹:(ℤ𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆) ∧ (ℤ𝑛) ⊆ ℤ) → 𝐹 ∈ ((ℂ ↑m 𝑆) ↑pm ℤ))
72, 6mpan2 691 . . 3 (𝐹:(ℤ𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆) → 𝐹 ∈ ((ℂ ↑m 𝑆) ↑pm ℤ))
87rexlimivw 3151 . 2 (∃𝑛 ∈ ℤ 𝐹:(ℤ𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆) → 𝐹 ∈ ((ℂ ↑m 𝑆) ↑pm ℤ))
91, 8syl 17 1 (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐹 ∈ ((ℂ ↑m 𝑆) ↑pm ℤ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2108  wrex 3070  Vcvv 3480  wss 3951   class class class wbr 5143  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  m cmap 8866  pm cpm 8867  cc 11153  cz 12613  cuz 12878  𝑢culm 26419
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8868  df-pm 8869  df-neg 11495  df-z 12614  df-uz 12879  df-ulm 26420
This theorem is referenced by:  ulmf2  26427
  Copyright terms: Public domain W3C validator