Theorem ulmpm 24478

Description: Closure of a uniform limit of functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ulmpm	⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐹 ∈ ((ℂ ↑𝑚 𝑆) ↑pm ℤ))

Proof of Theorem ulmpm

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ulmf 24477	. 2 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
2		uzssz 11950	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑛) ⊆ ℤ
3		ovex 6910	. . . . 5 ⊢ (ℂ ↑𝑚 𝑆) ∈ V
4		zex 11675	. . . . 5 ⊢ ℤ ∈ V
5		elpm2r 8113	. . . . 5 ⊢ ((((ℂ ↑𝑚 𝑆) ∈ V ∧ ℤ ∈ V) ∧ (𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆) ∧ (ℤ≥‘𝑛) ⊆ ℤ)) → 𝐹 ∈ ((ℂ ↑𝑚 𝑆) ↑pm ℤ))
6	3, 4, 5	mpanl12 694	. . . 4 ⊢ ((𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆) ∧ (ℤ≥‘𝑛) ⊆ ℤ) → 𝐹 ∈ ((ℂ ↑𝑚 𝑆) ↑pm ℤ))
7	2, 6	mpan2 683	. . 3 ⊢ (𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆) → 𝐹 ∈ ((ℂ ↑𝑚 𝑆) ↑pm ℤ))
8	7	rexlimivw 3210	. 2 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℤ 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆) → 𝐹 ∈ ((ℂ ↑𝑚 𝑆) ↑pm ℤ))
9	1, 8	syl 17	1 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐹 ∈ ((ℂ ↑𝑚 𝑆) ↑pm ℤ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   ∈ wcel 2157  ∃wrex 3090  Vcvv 3385   ⊆ wss 3769   class class class wbr 4843  ⟶wf 6097  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878   ↑_𝑚 cmap 8095   ↑_pm cpm 8096  ℂcc 10222  ℤcz 11666  ℤ_≥cuz 11930  ⇝_𝑢culm 24471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-map 8097  df-pm 8098  df-neg 10559  df-z 11667  df-uz 11931  df-ulm 24472

This theorem is referenced by:  ulmf2  24479