Theorem ulmf 26421

Description: Closure of a uniform limit of functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ulmf	⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑛,𝐺   𝑆,𝑛

Proof of Theorem ulmf

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ulmscl 26418	. . . 4 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝑆 ∈ V)
2		ulmval 26419	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ V → (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆) ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥)))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆) ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥)))
4	3	ibi 267	. 2 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆) ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥))
5		simp1 1134	. . 3 ⊢ ((𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆) ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥) → 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆))
6	5	reximi 3080	. 2 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℤ (𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆) ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < 𝑥) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆))
7	4, 6	syl 17	1 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐹:(ℤ≥‘𝑛)⟶(ℂ ↑m 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2104  ∀wral 3057  ∃wrex 3066  Vcvv 3477   class class class wbr 5149  ⟶wf 6554  ‘cfv 6558  (class class class)co 7425   ↑_m cmap 8859  ℂcc 11144   < clt 11286   − cmin 11483  ℤcz 12604  ℤ_≥cuz 12869  ℝ⁺crp 13025  abscabs 15259  ⇝_𝑢culm 26415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2137  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5366  ax-pr 5430  ax-un 7747  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1538  df-fal 1548  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2536  df-eu 2565  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2812  df-nfc 2888  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4915  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-iota 6510  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7428  df-oprab 7429  df-mpo 7430  df-map 8861  df-pm 8862  df-neg 11486  df-z 12605  df-uz 12870  df-ulm 26416

This theorem is referenced by:  ulmpm  26422  ulmuni  26431  ulmss  26436