MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ulmf 26312
Description: Closure of a uniform limit of functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
ulmf (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑛,𝐺   𝑆,𝑛

Proof of Theorem ulmf
Dummy variables 𝑗 π‘˜ π‘₯ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmscl 26309 . . . 4 (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 β†’ 𝑆 ∈ V)
2 ulmval 26310 . . . 4 (𝑆 ∈ V β†’ (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„€ (𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯)))
31, 2syl 17 . . 3 (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 β†’ (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„€ (𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯)))
43ibi 267 . 2 (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ (𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯))
5 simp1 1134 . . 3 ((𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯) β†’ 𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆))
65reximi 3080 . 2 (βˆƒπ‘› ∈ β„€ (𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆))
74, 6syl 17 1 (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3057  βˆƒwrex 3066  Vcvv 3470   class class class wbr 5143  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7415   ↑m cmap 8839  β„‚cc 11131   < clt 11273   βˆ’ cmin 11469  β„€cz 12583  β„€β‰₯cuz 12847  β„+crp 13001  abscabs 15208  β‡π‘’culm 26306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5571  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-map 8841  df-pm 8842  df-neg 11472  df-z 12584  df-uz 12848  df-ulm 26307
This theorem is referenced by:  ulmpm  26313  ulmuni  26322  ulmss  26327
  Copyright terms: Public domain W3C validator