MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ulmf 25757
Description: Closure of a uniform limit of functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
ulmf (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑛,𝐺   𝑆,𝑛

Proof of Theorem ulmf
Dummy variables 𝑗 π‘˜ π‘₯ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmscl 25754 . . . 4 (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 β†’ 𝑆 ∈ V)
2 ulmval 25755 . . . 4 (𝑆 ∈ V β†’ (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„€ (𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯)))
31, 2syl 17 . . 3 (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 β†’ (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„€ (𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯)))
43ibi 267 . 2 (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ (𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯))
5 simp1 1137 . . 3 ((𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯) β†’ 𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆))
65reximi 3088 . 2 (βˆƒπ‘› ∈ β„€ (𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜π‘§))) < π‘₯) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆))
74, 6syl 17 1 (𝐹(β‡π‘’β€˜π‘†)𝐺 β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝐹:(β„€β‰₯β€˜π‘›)⟢(β„‚ ↑m 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1088   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  Vcvv 3448   class class class wbr 5110  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ↑m cmap 8772  β„‚cc 11056   < clt 11196   βˆ’ cmin 11392  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770  β„+crp 12922  abscabs 15126  β‡π‘’culm 25751
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-map 8774  df-pm 8775  df-neg 11395  df-z 12507  df-uz 12771  df-ulm 25752
This theorem is referenced by:  ulmpm  25758  ulmuni  25767  ulmss  25772
  Copyright terms: Public domain W3C validator