Theorem unifpw 9306

Description: A set is the union of its finite subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
unifpw	⊢ ∪ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = 𝐴

Proof of Theorem unifpw

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss1 4200	. . . . . 6 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝐴
2	1	unissi 4880	. . . . 5 ⊢ ∪ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ ∪ 𝒫 𝐴
3		unipw 5410	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝒫 𝐴 = 𝐴
4	2, 3	sseqtri 3995	. . . 4 ⊢ ∪ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ 𝐴
5	4	sseli 3942	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ ∪ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑎 ∈ 𝐴)
6		snelpwi 5403	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → {𝑎} ∈ 𝒫 𝐴)
7		snfi 9014	. . . . . . 7 ⊢ {𝑎} ∈ Fin
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → {𝑎} ∈ Fin)
9	6, 8	elind 4163	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → {𝑎} ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
10		elssuni 4901	. . . . 5 ⊢ ({𝑎} ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → {𝑎} ⊆ ∪ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → {𝑎} ⊆ ∪ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
12		snidg 4624	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → 𝑎 ∈ {𝑎})
13	11, 12	sseldd 3947	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → 𝑎 ∈ ∪ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
14	5, 13	impbii 209	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ ∪ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ 𝑎 ∈ 𝐴)
15	14	eqriv 2726	1 ⊢ ∪ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = 𝐴

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3913   ⊆ wss 3914  𝒫 cpw 4563  {csn 4589  ∪ cuni 4871  Fincfn 8918

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-mo 2533  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-om 7843  df-1o 8434  df-en 8919  df-fin 8922

This theorem is referenced by:  isacs5lem  18504  acsmapd  18513  acsmap2d  18514