Theorem unifpw 9052

Description: A set is the union of its finite subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
unifpw	⊢ ∪ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = 𝐴

Proof of Theorem unifpw

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss1 4159	. . . . . 6 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝐴
2	1	unissi 4845	. . . . 5 ⊢ ∪ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ ∪ 𝒫 𝐴
3		unipw 5360	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝒫 𝐴 = 𝐴
4	2, 3	sseqtri 3953	. . . 4 ⊢ ∪ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ 𝐴
5	4	sseli 3913	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ ∪ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑎 ∈ 𝐴)
6		snelpwi 5354	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → {𝑎} ∈ 𝒫 𝐴)
7		snfi 8788	. . . . . . 7 ⊢ {𝑎} ∈ Fin
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → {𝑎} ∈ Fin)
9	6, 8	elind 4124	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → {𝑎} ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
10		elssuni 4868	. . . . 5 ⊢ ({𝑎} ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → {𝑎} ⊆ ∪ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → {𝑎} ⊆ ∪ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
12		snidg 4592	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → 𝑎 ∈ {𝑎})
13	11, 12	sseldd 3918	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → 𝑎 ∈ ∪ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
14	5, 13	impbii 208	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ ∪ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ 𝑎 ∈ 𝐴)
15	14	eqriv 2735	1 ⊢ ∪ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = 𝐴

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  𝒫 cpw 4530  {csn 4558  ∪ cuni 4836  Fincfn 8691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-om 7688  df-1o 8267  df-en 8692  df-fin 8695

This theorem is referenced by:  isacs5lem  18178  acsmapd  18187  acsmap2d  18188