Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unifpw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unifpw 8813
 Description: A set is the union of its finite subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
unifpw (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = 𝐴

Proof of Theorem unifpw
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 4188 . . . . . 6 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝐴
21unissi 4830 . . . . 5 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝐴
3 unipw 5326 . . . . 5 𝒫 𝐴 = 𝐴
42, 3sseqtri 3987 . . . 4 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ 𝐴
54sseli 3947 . . 3 (𝑎 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑎𝐴)
6 snelpwi 5320 . . . . . 6 (𝑎𝐴 → {𝑎} ∈ 𝒫 𝐴)
7 snfi 8579 . . . . . . 7 {𝑎} ∈ Fin
87a1i 11 . . . . . 6 (𝑎𝐴 → {𝑎} ∈ Fin)
96, 8elind 4154 . . . . 5 (𝑎𝐴 → {𝑎} ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
10 elssuni 4851 . . . . 5 ({𝑎} ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → {𝑎} ⊆ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
119, 10syl 17 . . . 4 (𝑎𝐴 → {𝑎} ⊆ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
12 snidg 4582 . . . 4 (𝑎𝐴𝑎 ∈ {𝑎})
1311, 12sseldd 3952 . . 3 (𝑎𝐴𝑎 (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
145, 13impbii 212 . 2 (𝑎 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ 𝑎𝐴)
1514eqriv 2821 1 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = 𝐴
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ∩ cin 3917   ⊆ wss 3918  𝒫 cpw 4520  {csn 4548  ∪ cuni 4821  Fincfn 8494 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5186  ax-nul 5193  ax-pow 5249  ax-pr 5313  ax-un 7446 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-ral 3137  df-rex 3138  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4822  df-br 5050  df-opab 5112  df-tr 5156  df-id 5443  df-eprel 5448  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5497  df-we 5499  df-xp 5544  df-rel 5545  df-cnv 5546  df-co 5547  df-dm 5548  df-rn 5549  df-res 5550  df-ima 5551  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-fun 6340  df-fn 6341  df-f 6342  df-f1 6343  df-fo 6344  df-f1o 6345  df-om 7566  df-1o 8087  df-en 8495  df-fin 8498 This theorem is referenced by:  isacs5lem  17770  acsmapd  17779  acsmap2d  17780
 Copyright terms: Public domain W3C validator