Theorem unifpw 9255

Description: A set is the union of its finite subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
unifpw	⊢ ∪ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = 𝐴

Proof of Theorem unifpw

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss1 4165	. . . . . 6 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝐴
2	1	unissi 4847	. . . . 5 ⊢ ∪ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ ∪ 𝒫 𝐴
3		unipw 5389	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝒫 𝐴 = 𝐴
4	2, 3	sseqtri 3963	. . . 4 ⊢ ∪ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ 𝐴
5	4	sseli 3911	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ ∪ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑎 ∈ 𝐴)
6		snelpwi 5383	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → {𝑎} ∈ 𝒫 𝐴)
7		snfi 8980	. . . . . . 7 ⊢ {𝑎} ∈ Fin
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → {𝑎} ∈ Fin)
9	6, 8	elind 4129	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → {𝑎} ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
10		elssuni 4869	. . . . 5 ⊢ ({𝑎} ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → {𝑎} ⊆ ∪ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → {𝑎} ⊆ ∪ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
12		snidg 4592	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → 𝑎 ∈ {𝑎})
13	11, 12	sseldd 3916	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → 𝑎 ∈ ∪ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
14	5, 13	impbii 210	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ ∪ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ 𝑎 ∈ 𝐴)
15	14	eqriv 2736	1 ⊢ ∪ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = 𝐴

Syntax hints:   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  𝒫 cpw 4529  {csn 4555  ∪ cuni 4838  Fincfn 8883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-mo 2543  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-om 7807  df-1o 8395  df-en 8884  df-fin 8887

This theorem is referenced by:  isacs5lem  18502  acsmapd  18511  acsmap2d  18512