Theorem unifpw 9313

Description: A set is the union of its finite subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
unifpw	⊢ ∪ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = 𝐴

Proof of Theorem unifpw

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss1 4203	. . . . . 6 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝐴
2	1	unissi 4883	. . . . 5 ⊢ ∪ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ ∪ 𝒫 𝐴
3		unipw 5413	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝒫 𝐴 = 𝐴
4	2, 3	sseqtri 3998	. . . 4 ⊢ ∪ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ 𝐴
5	4	sseli 3945	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ ∪ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑎 ∈ 𝐴)
6		snelpwi 5406	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → {𝑎} ∈ 𝒫 𝐴)
7		snfi 9017	. . . . . . 7 ⊢ {𝑎} ∈ Fin
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → {𝑎} ∈ Fin)
9	6, 8	elind 4166	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → {𝑎} ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
10		elssuni 4904	. . . . 5 ⊢ ({𝑎} ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → {𝑎} ⊆ ∪ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → {𝑎} ⊆ ∪ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
12		snidg 4627	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → 𝑎 ∈ {𝑎})
13	11, 12	sseldd 3950	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → 𝑎 ∈ ∪ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
14	5, 13	impbii 209	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ ∪ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ 𝑎 ∈ 𝐴)
15	14	eqriv 2727	1 ⊢ ∪ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = 𝐴

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917  𝒫 cpw 4566  {csn 4592  ∪ cuni 4874  Fincfn 8921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-mo 2534  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-om 7846  df-1o 8437  df-en 8922  df-fin 8925

This theorem is referenced by:  isacs5lem  18511  acsmapd  18520  acsmap2d  18521