Theorem unifpw 9292

Description: A set is the union of its finite subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
unifpw	⊢ ∪ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = 𝐴

Proof of Theorem unifpw

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss1 4186	. . . . . 6 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝐴
2	1	unissi 4871	. . . . 5 ⊢ ∪ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ ∪ 𝒫 𝐴
3		unipw 5414	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝒫 𝐴 = 𝐴
4	2, 3	sseqtri 3982	. . . 4 ⊢ ∪ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ 𝐴
5	4	sseli 3930	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ ∪ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑎 ∈ 𝐴)
6		snelpwi 5408	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → {𝑎} ∈ 𝒫 𝐴)
7		snfi 9018	. . . . . . 7 ⊢ {𝑎} ∈ Fin
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → {𝑎} ∈ Fin)
9	6, 8	elind 4150	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → {𝑎} ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
10		elssuni 4894	. . . . 5 ⊢ ({𝑎} ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → {𝑎} ⊆ ∪ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → {𝑎} ⊆ ∪ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
12		snidg 4616	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → 𝑎 ∈ {𝑎})
13	11, 12	sseldd 3935	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → 𝑎 ∈ ∪ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
14	5, 13	impbii 211	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ ∪ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ 𝑎 ∈ 𝐴)
15	14	eqriv 2758	1 ⊢ ∪ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = 𝐴

Syntax hints:   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  𝒫 cpw 4552  {csn 4579  ∪ cuni 4862  Fincfn 8921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-sb 2090  df-mo 2565  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-om 7842  df-1o 8431  df-en 8922  df-fin 8925

This theorem is referenced by:  isacs5lem  18568  acsmapd  18577  acsmap2d  18578