Theorem isacs5lem 18504

Description: If closure commutes with directed unions, then the closure of a set is the closure of its finite subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
acsdrscl.f	⊢ 𝐹 = (mrCls‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
isacs5lem	⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡))) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑠,𝑡   𝐹,𝑠,𝑡   𝑋,𝑠,𝑡

Proof of Theorem isacs5lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unifpw 9306	. . . . . 6 ⊢ ∪ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) = 𝑠
2	1	fveq2i 6861	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘∪ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = (𝐹‘𝑠)
3		vex 3451	. . . . . . 7 ⊢ 𝑠 ∈ V
4		fpwipodrs 18499	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ V → (toInc‘(𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ∈ Dirset)
5	3, 4	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → (toInc‘(𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ∈ Dirset)
6		fveq2 6858	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → (toInc‘𝑡) = (toInc‘(𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
7	6	eleq1d 2813	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → ((toInc‘𝑡) ∈ Dirset ↔ (toInc‘(𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ∈ Dirset))
8		unieq 4882	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → ∪ 𝑡 = ∪ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))
9	8	fveq2d 6862	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → (𝐹‘∪ 𝑡) = (𝐹‘∪ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
10		imaeq2 6027	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → (𝐹 “ 𝑡) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
11	10	unieqd 4884	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → ∪ (𝐹 “ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
12	9, 11	eqeq12d 2745	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → ((𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡) ↔ (𝐹‘∪ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
13	7, 12	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → (((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡)) ↔ ((toInc‘(𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))))
14		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡)))
15		inss1 4200	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝑠
16		elpwi 4570	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 → 𝑠 ⊆ 𝑋)
17	16	sspwd 4576	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 → 𝒫 𝑠 ⊆ 𝒫 𝑋)
18	17	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝒫 𝑠 ⊆ 𝒫 𝑋)
19	15, 18	sstrid 3958	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝑋)
20		vpwex 5332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝒫 𝑠 ∈ V
21	20	inex1 5272	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∈ V
22	21	elpw 4567	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ↔ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝑋)
23	19, 22	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∈ 𝒫 𝒫 𝑋)
24	23	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∈ 𝒫 𝒫 𝑋)
25	13, 14, 24	rspcdva 3589	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → ((toInc‘(𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
26	5, 25	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝐹‘∪ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
27	2, 26	eqtr3id 2778	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
28	27	ralrimiva 3125	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡))) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
29	28	ex 412	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → (∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡)) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
30	29	imdistani 568	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡))) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  Vcvv 3447   ∩ cin 3913   ⊆ wss 3914  𝒫 cpw 4563  ∪ cuni 4871   “ cima 5641  ‘cfv 6511  Fincfn 8918  Moorecmre 17543  mrClscmrc 17544  Dirsetcdrs 18254  toInccipo 18486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-fz 13469  df-struct 17117  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ocomp 17241  df-proset 18255  df-drs 18256  df-poset 18274  df-ipo 18487

This theorem is referenced by:  acsficl  18506  isacs5  18507  isacs4  18508