MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isacs5lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isacs5lem 18498
Description: If closure commutes with directed unions, then the closure of a set is the closure of its finite subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
acsdrscl.f 𝐹 = (mrClsβ€˜πΆ)
Assertion
Ref Expression
isacs5lem ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toIncβ€˜π‘‘) ∈ Dirset β†’ (πΉβ€˜βˆͺ 𝑑) = βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑑))) β†’ (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝑋(πΉβ€˜π‘ ) = βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
Distinct variable groups:   𝐢,𝑠,𝑑   𝐹,𝑠,𝑑   𝑋,𝑠,𝑑

Proof of Theorem isacs5lem
StepHypRef Expression
1 unifpw 9355 . . . . . 6 βˆͺ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) = 𝑠
21fveq2i 6895 . . . . 5 (πΉβ€˜βˆͺ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = (πΉβ€˜π‘ )
3 vex 3479 . . . . . . 7 𝑠 ∈ V
4 fpwipodrs 18493 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ V β†’ (toIncβ€˜(𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ∈ Dirset)
53, 4mp1i 13 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toIncβ€˜π‘‘) ∈ Dirset β†’ (πΉβ€˜βˆͺ 𝑑) = βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑑))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) β†’ (toIncβ€˜(𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ∈ Dirset)
6 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (𝑑 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin) β†’ (toIncβ€˜π‘‘) = (toIncβ€˜(𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
76eleq1d 2819 . . . . . . . 8 (𝑑 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin) β†’ ((toIncβ€˜π‘‘) ∈ Dirset ↔ (toIncβ€˜(𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ∈ Dirset))
8 unieq 4920 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin) β†’ βˆͺ 𝑑 = βˆͺ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))
98fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 (𝑑 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin) β†’ (πΉβ€˜βˆͺ 𝑑) = (πΉβ€˜βˆͺ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
10 imaeq2 6056 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin) β†’ (𝐹 β€œ 𝑑) = (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
1110unieqd 4923 . . . . . . . . 9 (𝑑 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin) β†’ βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑑) = βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
129, 11eqeq12d 2749 . . . . . . . 8 (𝑑 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin) β†’ ((πΉβ€˜βˆͺ 𝑑) = βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑑) ↔ (πΉβ€˜βˆͺ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
137, 12imbi12d 345 . . . . . . 7 (𝑑 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin) β†’ (((toIncβ€˜π‘‘) ∈ Dirset β†’ (πΉβ€˜βˆͺ 𝑑) = βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑑)) ↔ ((toIncβ€˜(𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ∈ Dirset β†’ (πΉβ€˜βˆͺ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))))
14 simplr 768 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toIncβ€˜π‘‘) ∈ Dirset β†’ (πΉβ€˜βˆͺ 𝑑) = βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑑))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toIncβ€˜π‘‘) ∈ Dirset β†’ (πΉβ€˜βˆͺ 𝑑) = βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑑)))
15 inss1 4229 . . . . . . . . . 10 (𝒫 𝑠 ∩ Fin) βŠ† 𝒫 𝑠
16 elpwi 4610 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 β†’ 𝑠 βŠ† 𝑋)
1716sspwd 4616 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 β†’ 𝒫 𝑠 βŠ† 𝒫 𝑋)
1817adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) β†’ 𝒫 𝑠 βŠ† 𝒫 𝑋)
1915, 18sstrid 3994 . . . . . . . . 9 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) β†’ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) βŠ† 𝒫 𝑋)
20 vpwex 5376 . . . . . . . . . . 11 𝒫 𝑠 ∈ V
2120inex1 5318 . . . . . . . . . 10 (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∈ V
2221elpw 4607 . . . . . . . . 9 ((𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ↔ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) βŠ† 𝒫 𝑋)
2319, 22sylibr 233 . . . . . . . 8 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) β†’ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∈ 𝒫 𝒫 𝑋)
2423adantlr 714 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toIncβ€˜π‘‘) ∈ Dirset β†’ (πΉβ€˜βˆͺ 𝑑) = βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑑))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) β†’ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∈ 𝒫 𝒫 𝑋)
2513, 14, 24rspcdva 3614 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toIncβ€˜π‘‘) ∈ Dirset β†’ (πΉβ€˜βˆͺ 𝑑) = βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑑))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) β†’ ((toIncβ€˜(𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ∈ Dirset β†’ (πΉβ€˜βˆͺ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
265, 25mpd 15 . . . . 5 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toIncβ€˜π‘‘) ∈ Dirset β†’ (πΉβ€˜βˆͺ 𝑑) = βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑑))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) β†’ (πΉβ€˜βˆͺ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
272, 26eqtr3id 2787 . . . 4 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toIncβ€˜π‘‘) ∈ Dirset β†’ (πΉβ€˜βˆͺ 𝑑) = βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑑))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘ ) = βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
2827ralrimiva 3147 . . 3 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toIncβ€˜π‘‘) ∈ Dirset β†’ (πΉβ€˜βˆͺ 𝑑) = βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑑))) β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝑋(πΉβ€˜π‘ ) = βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
2928ex 414 . 2 (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toIncβ€˜π‘‘) ∈ Dirset β†’ (πΉβ€˜βˆͺ 𝑑) = βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑑)) β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝑋(πΉβ€˜π‘ ) = βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
3029imdistani 570 1 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toIncβ€˜π‘‘) ∈ Dirset β†’ (πΉβ€˜βˆͺ 𝑑) = βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑑))) β†’ (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝑋(πΉβ€˜π‘ ) = βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4603  βˆͺ cuni 4909   β€œ cima 5680  β€˜cfv 6544  Fincfn 8939  Moorecmre 17526  mrClscmrc 17527  Dirsetcdrs 18247  toInccipo 18480
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ocomp 17218  df-proset 18248  df-drs 18249  df-poset 18266  df-ipo 18481
This theorem is referenced by:  acsficl  18500  isacs5  18501  isacs4  18502
  Copyright terms: Public domain W3C validator