Theorem isacs5lem 18568

Description: If closure commutes with directed unions, then the closure of a set is the closure of its finite subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
acsdrscl.f	⊢ 𝐹 = (mrCls‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
isacs5lem	⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡))) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑠,𝑡   𝐹,𝑠,𝑡   𝑋,𝑠,𝑡

Proof of Theorem isacs5lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unifpw 9292	. . . . . 6 ⊢ ∪ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) = 𝑠
2	1	fveq2i 6865	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘∪ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = (𝐹‘𝑠)
3		vex 3457	. . . . . . 7 ⊢ 𝑠 ∈ V
4		fpwipodrs 18563	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ V → (toInc‘(𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ∈ Dirset)
5	3, 4	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → (toInc‘(𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ∈ Dirset)
6		fveq2 6862	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → (toInc‘𝑡) = (toInc‘(𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
7	6	eleq1d 2846	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → ((toInc‘𝑡) ∈ Dirset ↔ (toInc‘(𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ∈ Dirset))
8		unieq 4873	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → ∪ 𝑡 = ∪ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))
9	8	fveq2d 6866	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → (𝐹‘∪ 𝑡) = (𝐹‘∪ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
10		imaeq2 6041	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → (𝐹 “ 𝑡) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
11	10	unieqd 4875	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → ∪ (𝐹 “ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
12	9, 11	eqeq12d 2777	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → ((𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡) ↔ (𝐹‘∪ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
13	7, 12	imbi12d 346	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → (((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡)) ↔ ((toInc‘(𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))))
14		simplr 778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡)))
15		inss1 4186	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝑠
16		elpwi 4559	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 → 𝑠 ⊆ 𝑋)
17	16	sspwd 4565	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 → 𝒫 𝑠 ⊆ 𝒫 𝑋)
18	17	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝒫 𝑠 ⊆ 𝒫 𝑋)
19	15, 18	sstrid 3945	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝑋)
20		vpwex 5331	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝒫 𝑠 ∈ V
21	20	inex1 5270	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∈ V
22	21	elpw 4556	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ↔ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝑋)
23	19, 22	sylibr 236	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∈ 𝒫 𝒫 𝑋)
24	23	adantlr 725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∈ 𝒫 𝒫 𝑋)
25	13, 14, 24	rspcdva 3581	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → ((toInc‘(𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
26	5, 25	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝐹‘∪ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
27	2, 26	eqtr3id 2810	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
28	27	ralrimiva 3153	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡))) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
29	28	ex 416	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → (∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡)) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
30	29	imdistani 576	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡))) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  Vcvv 3453   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  𝒫 cpw 4552  ∪ cuni 4862   “ cima 5646  ‘cfv 6516  Fincfn 8921  Moorecmre 17601  mrClscmrc 17602  Dirsetcdrs 18316  toInccipo 18550

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12476  df-z 12563  df-dec 12683  df-uz 12834  df-fz 13507  df-struct 17174  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-tset 17296  df-ple 17297  df-ocomp 17298  df-proset 18317  df-drs 18318  df-poset 18336  df-ipo 18551

This theorem is referenced by:  acsficl  18570  isacs5  18571  isacs4  18572