Theorem isacs5lem 18511

Description: If closure commutes with directed unions, then the closure of a set is the closure of its finite subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
acsdrscl.f	⊢ 𝐹 = (mrCls‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
isacs5lem	⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡))) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑠,𝑡   𝐹,𝑠,𝑡   𝑋,𝑠,𝑡

Proof of Theorem isacs5lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unifpw 9265	. . . . . 6 ⊢ ∪ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) = 𝑠
2	1	fveq2i 6843	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘∪ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = (𝐹‘𝑠)
3		vex 3433	. . . . . . 7 ⊢ 𝑠 ∈ V
4		fpwipodrs 18506	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ V → (toInc‘(𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ∈ Dirset)
5	3, 4	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → (toInc‘(𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ∈ Dirset)
6		fveq2 6840	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → (toInc‘𝑡) = (toInc‘(𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
7	6	eleq1d 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → ((toInc‘𝑡) ∈ Dirset ↔ (toInc‘(𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ∈ Dirset))
8		unieq 4861	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → ∪ 𝑡 = ∪ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))
9	8	fveq2d 6844	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → (𝐹‘∪ 𝑡) = (𝐹‘∪ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
10		imaeq2 6021	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → (𝐹 “ 𝑡) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
11	10	unieqd 4863	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → ∪ (𝐹 “ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
12	9, 11	eqeq12d 2752	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → ((𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡) ↔ (𝐹‘∪ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
13	7, 12	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → (((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡)) ↔ ((toInc‘(𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))))
14		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡)))
15		inss1 4177	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝑠
16		elpwi 4548	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 → 𝑠 ⊆ 𝑋)
17	16	sspwd 4554	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 → 𝒫 𝑠 ⊆ 𝒫 𝑋)
18	17	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝒫 𝑠 ⊆ 𝒫 𝑋)
19	15, 18	sstrid 3933	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝑋)
20		vpwex 5319	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝒫 𝑠 ∈ V
21	20	inex1 5258	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∈ V
22	21	elpw 4545	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ↔ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝑋)
23	19, 22	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∈ 𝒫 𝒫 𝑋)
24	23	adantlr 716	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∈ 𝒫 𝒫 𝑋)
25	13, 14, 24	rspcdva 3565	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → ((toInc‘(𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
26	5, 25	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝐹‘∪ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
27	2, 26	eqtr3id 2785	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
28	27	ralrimiva 3129	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡))) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
29	28	ex 412	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → (∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡)) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
30	29	imdistani 568	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡))) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  Vcvv 3429   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889  𝒫 cpw 4541  ∪ cuni 4850   “ cima 5634  ‘cfv 6498  Fincfn 8893  Moorecmre 17544  mrClscmrc 17545  Dirsetcdrs 18259  toInccipo 18493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-struct 17117  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ocomp 17241  df-proset 18260  df-drs 18261  df-poset 18279  df-ipo 18494

This theorem is referenced by:  acsficl  18513  isacs5  18514  isacs4  18515