Theorem isacs5lem 18603

Description: If closure commutes with directed unions, then the closure of a set is the closure of its finite subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
acsdrscl.f	⊢ 𝐹 = (mrCls‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
isacs5lem	⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡))) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑠,𝑡   𝐹,𝑠,𝑡   𝑋,𝑠,𝑡

Proof of Theorem isacs5lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unifpw 9393	. . . . . 6 ⊢ ∪ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) = 𝑠
2	1	fveq2i 6910	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘∪ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = (𝐹‘𝑠)
3		vex 3482	. . . . . . 7 ⊢ 𝑠 ∈ V
4		fpwipodrs 18598	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ V → (toInc‘(𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ∈ Dirset)
5	3, 4	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → (toInc‘(𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ∈ Dirset)
6		fveq2 6907	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → (toInc‘𝑡) = (toInc‘(𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
7	6	eleq1d 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → ((toInc‘𝑡) ∈ Dirset ↔ (toInc‘(𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ∈ Dirset))
8		unieq 4923	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → ∪ 𝑡 = ∪ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))
9	8	fveq2d 6911	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → (𝐹‘∪ 𝑡) = (𝐹‘∪ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
10		imaeq2 6076	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → (𝐹 “ 𝑡) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
11	10	unieqd 4925	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → ∪ (𝐹 “ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
12	9, 11	eqeq12d 2751	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → ((𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡) ↔ (𝐹‘∪ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
13	7, 12	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → (((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡)) ↔ ((toInc‘(𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))))
14		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡)))
15		inss1 4245	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝑠
16		elpwi 4612	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 → 𝑠 ⊆ 𝑋)
17	16	sspwd 4618	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 → 𝒫 𝑠 ⊆ 𝒫 𝑋)
18	17	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝒫 𝑠 ⊆ 𝒫 𝑋)
19	15, 18	sstrid 4007	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝑋)
20		vpwex 5383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝒫 𝑠 ∈ V
21	20	inex1 5323	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∈ V
22	21	elpw 4609	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ↔ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝑋)
23	19, 22	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∈ 𝒫 𝒫 𝑋)
24	23	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∈ 𝒫 𝒫 𝑋)
25	13, 14, 24	rspcdva 3623	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → ((toInc‘(𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
26	5, 25	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝐹‘∪ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
27	2, 26	eqtr3id 2789	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
28	27	ralrimiva 3144	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡))) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
29	28	ex 412	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → (∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡)) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
30	29	imdistani 568	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡))) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹‘𝑠) = ∪ (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  Vcvv 3478   ∩ cin 3962   ⊆ wss 3963  𝒫 cpw 4605  ∪ cuni 4912   “ cima 5692  ‘cfv 6563  Fincfn 8984  Moorecmre 17627  mrClscmrc 17628  Dirsetcdrs 18351  toInccipo 18585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ocomp 17319  df-proset 18352  df-drs 18353  df-poset 18371  df-ipo 18586

This theorem is referenced by:  acsficl  18605  isacs5  18606  isacs4  18607