MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isacs5lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isacs5lem 18442
Description: If closure commutes with directed unions, then the closure of a set is the closure of its finite subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
acsdrscl.f 𝐹 = (mrClsβ€˜πΆ)
Assertion
Ref Expression
isacs5lem ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toIncβ€˜π‘‘) ∈ Dirset β†’ (πΉβ€˜βˆͺ 𝑑) = βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑑))) β†’ (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝑋(πΉβ€˜π‘ ) = βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
Distinct variable groups:   𝐢,𝑠,𝑑   𝐹,𝑠,𝑑   𝑋,𝑠,𝑑

Proof of Theorem isacs5lem
StepHypRef Expression
1 unifpw 9305 . . . . . 6 βˆͺ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) = 𝑠
21fveq2i 6849 . . . . 5 (πΉβ€˜βˆͺ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = (πΉβ€˜π‘ )
3 vex 3451 . . . . . . 7 𝑠 ∈ V
4 fpwipodrs 18437 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ V β†’ (toIncβ€˜(𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ∈ Dirset)
53, 4mp1i 13 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toIncβ€˜π‘‘) ∈ Dirset β†’ (πΉβ€˜βˆͺ 𝑑) = βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑑))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) β†’ (toIncβ€˜(𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ∈ Dirset)
6 fveq2 6846 . . . . . . . . 9 (𝑑 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin) β†’ (toIncβ€˜π‘‘) = (toIncβ€˜(𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
76eleq1d 2819 . . . . . . . 8 (𝑑 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin) β†’ ((toIncβ€˜π‘‘) ∈ Dirset ↔ (toIncβ€˜(𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ∈ Dirset))
8 unieq 4880 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin) β†’ βˆͺ 𝑑 = βˆͺ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))
98fveq2d 6850 . . . . . . . . 9 (𝑑 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin) β†’ (πΉβ€˜βˆͺ 𝑑) = (πΉβ€˜βˆͺ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
10 imaeq2 6013 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin) β†’ (𝐹 β€œ 𝑑) = (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
1110unieqd 4883 . . . . . . . . 9 (𝑑 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin) β†’ βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑑) = βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
129, 11eqeq12d 2749 . . . . . . . 8 (𝑑 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin) β†’ ((πΉβ€˜βˆͺ 𝑑) = βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑑) ↔ (πΉβ€˜βˆͺ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
137, 12imbi12d 345 . . . . . . 7 (𝑑 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin) β†’ (((toIncβ€˜π‘‘) ∈ Dirset β†’ (πΉβ€˜βˆͺ 𝑑) = βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑑)) ↔ ((toIncβ€˜(𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ∈ Dirset β†’ (πΉβ€˜βˆͺ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))))
14 simplr 768 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toIncβ€˜π‘‘) ∈ Dirset β†’ (πΉβ€˜βˆͺ 𝑑) = βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑑))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toIncβ€˜π‘‘) ∈ Dirset β†’ (πΉβ€˜βˆͺ 𝑑) = βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑑)))
15 inss1 4192 . . . . . . . . . 10 (𝒫 𝑠 ∩ Fin) βŠ† 𝒫 𝑠
16 elpwi 4571 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 β†’ 𝑠 βŠ† 𝑋)
1716sspwd 4577 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 β†’ 𝒫 𝑠 βŠ† 𝒫 𝑋)
1817adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) β†’ 𝒫 𝑠 βŠ† 𝒫 𝑋)
1915, 18sstrid 3959 . . . . . . . . 9 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) β†’ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) βŠ† 𝒫 𝑋)
20 vpwex 5336 . . . . . . . . . . 11 𝒫 𝑠 ∈ V
2120inex1 5278 . . . . . . . . . 10 (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∈ V
2221elpw 4568 . . . . . . . . 9 ((𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ↔ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) βŠ† 𝒫 𝑋)
2319, 22sylibr 233 . . . . . . . 8 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) β†’ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∈ 𝒫 𝒫 𝑋)
2423adantlr 714 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toIncβ€˜π‘‘) ∈ Dirset β†’ (πΉβ€˜βˆͺ 𝑑) = βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑑))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) β†’ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∈ 𝒫 𝒫 𝑋)
2513, 14, 24rspcdva 3584 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toIncβ€˜π‘‘) ∈ Dirset β†’ (πΉβ€˜βˆͺ 𝑑) = βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑑))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) β†’ ((toIncβ€˜(𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ∈ Dirset β†’ (πΉβ€˜βˆͺ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
265, 25mpd 15 . . . . 5 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toIncβ€˜π‘‘) ∈ Dirset β†’ (πΉβ€˜βˆͺ 𝑑) = βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑑))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) β†’ (πΉβ€˜βˆͺ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
272, 26eqtr3id 2787 . . . 4 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toIncβ€˜π‘‘) ∈ Dirset β†’ (πΉβ€˜βˆͺ 𝑑) = βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑑))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘ ) = βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
2827ralrimiva 3140 . . 3 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toIncβ€˜π‘‘) ∈ Dirset β†’ (πΉβ€˜βˆͺ 𝑑) = βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑑))) β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝑋(πΉβ€˜π‘ ) = βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
2928ex 414 . 2 (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toIncβ€˜π‘‘) ∈ Dirset β†’ (πΉβ€˜βˆͺ 𝑑) = βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑑)) β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝑋(πΉβ€˜π‘ ) = βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
3029imdistani 570 1 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toIncβ€˜π‘‘) ∈ Dirset β†’ (πΉβ€˜βˆͺ 𝑑) = βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑑))) β†’ (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝑋(πΉβ€˜π‘ ) = βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  Vcvv 3447   ∩ cin 3913   βŠ† wss 3914  π’« cpw 4564  βˆͺ cuni 4869   β€œ cima 5640  β€˜cfv 6500  Fincfn 8889  Moorecmre 17470  mrClscmrc 17471  Dirsetcdrs 18191  toInccipo 18424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-fz 13434  df-struct 17027  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ocomp 17162  df-proset 18192  df-drs 18193  df-poset 18210  df-ipo 18425
This theorem is referenced by:  acsficl  18444  isacs5  18445  isacs4  18446
  Copyright terms: Public domain W3C validator