Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isacs5lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isacs5lem 17757
 Description: If closure commutes with directed unions, then the closure of a set is the closure of its finite subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
acsdrscl.f 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
isacs5lem ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹 𝑡) = (𝐹𝑡))) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑠,𝑡   𝐹,𝑠,𝑡   𝑋,𝑠,𝑡

Proof of Theorem isacs5lem
StepHypRef Expression
1 unifpw 8803 . . . . . 6 (𝒫 𝑠 ∩ Fin) = 𝑠
21fveq2i 6646 . . . . 5 (𝐹 (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = (𝐹𝑠)
3 vex 3474 . . . . . . 7 𝑠 ∈ V
4 fpwipodrs 17752 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ V → (toInc‘(𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ∈ Dirset)
53, 4mp1i 13 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹 𝑡) = (𝐹𝑡))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → (toInc‘(𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ∈ Dirset)
6 fveq2 6643 . . . . . . . . 9 (𝑡 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → (toInc‘𝑡) = (toInc‘(𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
76eleq1d 2896 . . . . . . . 8 (𝑡 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → ((toInc‘𝑡) ∈ Dirset ↔ (toInc‘(𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ∈ Dirset))
8 unieq 4822 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → 𝑡 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin))
98fveq2d 6647 . . . . . . . . 9 (𝑡 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → (𝐹 𝑡) = (𝐹 (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
10 imaeq2 5898 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → (𝐹𝑡) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
1110unieqd 4825 . . . . . . . . 9 (𝑡 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → (𝐹𝑡) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
129, 11eqeq12d 2837 . . . . . . . 8 (𝑡 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → ((𝐹 𝑡) = (𝐹𝑡) ↔ (𝐹 (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
137, 12imbi12d 348 . . . . . . 7 (𝑡 = (𝒫 𝑠 ∩ Fin) → (((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹 𝑡) = (𝐹𝑡)) ↔ ((toInc‘(𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ∈ Dirset → (𝐹 (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))))
14 simplr 768 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹 𝑡) = (𝐹𝑡))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹 𝑡) = (𝐹𝑡)))
15 inss1 4180 . . . . . . . . . 10 (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝑠
16 elpwi 4521 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ 𝒫 𝑋𝑠𝑋)
1716sspwd 4527 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 → 𝒫 𝑠 ⊆ 𝒫 𝑋)
1817adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝒫 𝑠 ⊆ 𝒫 𝑋)
1915, 18sstrid 3954 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝑋)
20 vpwex 5251 . . . . . . . . . . 11 𝒫 𝑠 ∈ V
2120inex1 5194 . . . . . . . . . 10 (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∈ V
2221elpw 4516 . . . . . . . . 9 ((𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ↔ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝑋)
2319, 22sylibr 237 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∈ 𝒫 𝒫 𝑋)
2423adantlr 714 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹 𝑡) = (𝐹𝑡))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝒫 𝑠 ∩ Fin) ∈ 𝒫 𝒫 𝑋)
2513, 14, 24rspcdva 3602 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹 𝑡) = (𝐹𝑡))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → ((toInc‘(𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ∈ Dirset → (𝐹 (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
265, 25mpd 15 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹 𝑡) = (𝐹𝑡))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝐹 (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
272, 26syl5eqr 2870 . . . 4 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹 𝑡) = (𝐹𝑡))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
2827ralrimiva 3170 . . 3 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹 𝑡) = (𝐹𝑡))) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
2928ex 416 . 2 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → (∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹 𝑡) = (𝐹𝑡)) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
3029imdistani 572 1 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹 𝑡) = (𝐹𝑡))) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∀wral 3126  Vcvv 3471   ∩ cin 3909   ⊆ wss 3910  𝒫 cpw 4512  ∪ cuni 4811   “ cima 5531  ‘cfv 6328  Fincfn 8484  Moorecmre 16831  mrClscmrc 16832  Dirsetcdrs 17515  toInccipo 17739 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-oadd 8081  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-7 11683  df-8 11684  df-9 11685  df-n0 11876  df-z 11960  df-dec 12077  df-uz 12222  df-fz 12876  df-struct 16463  df-ndx 16464  df-slot 16465  df-base 16467  df-tset 16562  df-ple 16563  df-ocomp 16564  df-proset 17516  df-drs 17517  df-poset 17534  df-ipo 17740 This theorem is referenced by:  acsficl  17759  isacs5  17760  isacs4  17761
 Copyright terms: Public domain W3C validator