Theorem tususs 22878

Description: The uniform structure of a constructed uniform space. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
tuslem.k	⊢ 𝐾 = (toUnifSp‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
tususs	⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → 𝑈 = (UnifSt‘𝐾))

Proof of Theorem tususs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tuslem.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (toUnifSp‘𝑈)
2	1	tusunif 22877	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → 𝑈 = (UnifSet‘𝐾))
3		ustuni 22834	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → ∪ 𝑈 = (𝑋 × 𝑋))
4	2	unieqd 4851	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → ∪ 𝑈 = ∪ (UnifSet‘𝐾))
5	1	tusbas 22876	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → 𝑋 = (Base‘𝐾))
6	5	sqxpeqd 5586	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → (𝑋 × 𝑋) = ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
7	3, 4, 6	3eqtr3rd 2865	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)) = ∪ (UnifSet‘𝐾))
8		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
9		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (UnifSet‘𝐾) = (UnifSet‘𝐾)
10	8, 9	ussid 22868	. . 3 ⊢ (((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)) = ∪ (UnifSet‘𝐾) → (UnifSet‘𝐾) = (UnifSt‘𝐾))
11	7, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → (UnifSet‘𝐾) = (UnifSt‘𝐾))
12	2, 11	eqtrd 2856	1 ⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → 𝑈 = (UnifSt‘𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∪ cuni 4837   × cxp 5552  ‘cfv 6354  Basecbs 16482  UnifSetcunif 16574  UnifOncust 22807  UnifStcuss 22861  toUnifSpctus 22863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-oadd 8105  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-fz 12892  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-tset 16583  df-unif 16587  df-rest 16695  df-topn 16696  df-ust 22808  df-utop 22839  df-uss 22864  df-tus 22866

This theorem is referenced by:  tususp  22880  cmetcusp  23956