Theorem tususs 24213

Description: The uniform structure of a constructed uniform space. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
tuslem.k	⊢ 𝐾 = (toUnifSp‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
tususs	⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → 𝑈 = (UnifSt‘𝐾))

Proof of Theorem tususs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tuslem.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (toUnifSp‘𝑈)
2	1	tusunif 24212	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → 𝑈 = (UnifSet‘𝐾))
3		ustuni 24170	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → ∪ 𝑈 = (𝑋 × 𝑋))
4	2	unieqd 4876	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → ∪ 𝑈 = ∪ (UnifSet‘𝐾))
5	1	tusbas 24211	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → 𝑋 = (Base‘𝐾))
6	5	sqxpeqd 5656	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → (𝑋 × 𝑋) = ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
7	3, 4, 6	3eqtr3rd 2780	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)) = ∪ (UnifSet‘𝐾))
8		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
9		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (UnifSet‘𝐾) = (UnifSet‘𝐾)
10	8, 9	ussid 24204	. . 3 ⊢ (((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)) = ∪ (UnifSet‘𝐾) → (UnifSet‘𝐾) = (UnifSt‘𝐾))
11	7, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → (UnifSet‘𝐾) = (UnifSt‘𝐾))
12	2, 11	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → 𝑈 = (UnifSt‘𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∪ cuni 4863   × cxp 5622  ‘cfv 6492  Basecbs 17136  UnifSetcunif 17187  UnifOncust 24144  UnifStcuss 24197  toUnifSpctus 24199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-fz 13424  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-tset 17196  df-unif 17200  df-rest 17342  df-topn 17343  df-ust 24145  df-utop 24175  df-uss 24200  df-tus 24202

This theorem is referenced by:  tususp  24215  cmetcusp  25310