MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnflduss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnflduss 23562
Description: The uniform structure of the complex numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Mar-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
cnflduss.1 𝑈 = (UnifSt‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
cnflduss 𝑈 = (metUnif‘(abs ∘ − ))

Proof of Theorem cnflduss
StepHypRef Expression
1 cnflduss.1 . 2 𝑈 = (UnifSt‘ℂfld)
2 0cn 10368 . . . . . . 7 0 ∈ ℂ
32ne0ii 4152 . . . . . 6 ℂ ≠ ∅
4 cnxmet 22984 . . . . . . 7 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
5 xmetpsmet 22561 . . . . . . 7 ((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) → (abs ∘ − ) ∈ (PsMet‘ℂ))
64, 5ax-mp 5 . . . . . 6 (abs ∘ − ) ∈ (PsMet‘ℂ)
7 metuust 22773 . . . . . 6 ((ℂ ≠ ∅ ∧ (abs ∘ − ) ∈ (PsMet‘ℂ)) → (metUnif‘(abs ∘ − )) ∈ (UnifOn‘ℂ))
83, 6, 7mp2an 682 . . . . 5 (metUnif‘(abs ∘ − )) ∈ (UnifOn‘ℂ)
9 ustuni 22438 . . . . 5 ((metUnif‘(abs ∘ − )) ∈ (UnifOn‘ℂ) → (metUnif‘(abs ∘ − )) = (ℂ × ℂ))
108, 9ax-mp 5 . . . 4 (metUnif‘(abs ∘ − )) = (ℂ × ℂ)
1110eqcomi 2787 . . 3 (ℂ × ℂ) = (metUnif‘(abs ∘ − ))
12 cnfldbas 20146 . . . 4 ℂ = (Base‘ℂfld)
13 cnfldunif 20153 . . . 4 (metUnif‘(abs ∘ − )) = (UnifSet‘ℂfld)
1412, 13ussid 22472 . . 3 ((ℂ × ℂ) = (metUnif‘(abs ∘ − )) → (metUnif‘(abs ∘ − )) = (UnifSt‘ℂfld))
1511, 14ax-mp 5 . 2 (metUnif‘(abs ∘ − )) = (UnifSt‘ℂfld)
161, 15eqtr4i 2805 1 𝑈 = (metUnif‘(abs ∘ − ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1601  wcel 2107  wne 2969  c0 4141   cuni 4671   × cxp 5353  ccom 5359  cfv 6135  cc 10270  0cc0 10272  cmin 10606  abscabs 14381  PsMetcpsmet 20126  ∞Metcxmet 20127  metUnifcmetu 20133  fldccnfld 20142  UnifOncust 22411  UnifStcuss 22465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-sup 8636  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-ico 12493  df-fz 12644  df-seq 13120  df-exp 13179  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-rest 16469  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-met 20136  df-fbas 20139  df-fg 20140  df-metu 20141  df-cnfld 20143  df-fil 22058  df-ust 22412  df-uss 22468
This theorem is referenced by:  cnfldcusp  23563  reust  23587  qqhucn  30634  cnrrext  30652
  Copyright terms: Public domain W3C validator