Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnflduss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnflduss 23998
 Description: The uniform structure of the complex numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Mar-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
cnflduss.1 𝑈 = (UnifSt‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
cnflduss 𝑈 = (metUnif‘(abs ∘ − ))

Proof of Theorem cnflduss
StepHypRef Expression
1 cnflduss.1 . 2 𝑈 = (UnifSt‘ℂfld)
2 0cn 10637 . . . . . . 7 0 ∈ ℂ
32ne0ii 4255 . . . . . 6 ℂ ≠ ∅
4 cnxmet 23416 . . . . . . 7 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
5 xmetpsmet 22993 . . . . . . 7 ((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) → (abs ∘ − ) ∈ (PsMet‘ℂ))
64, 5ax-mp 5 . . . . . 6 (abs ∘ − ) ∈ (PsMet‘ℂ)
7 metuust 23205 . . . . . 6 ((ℂ ≠ ∅ ∧ (abs ∘ − ) ∈ (PsMet‘ℂ)) → (metUnif‘(abs ∘ − )) ∈ (UnifOn‘ℂ))
83, 6, 7mp2an 691 . . . . 5 (metUnif‘(abs ∘ − )) ∈ (UnifOn‘ℂ)
9 ustuni 22870 . . . . 5 ((metUnif‘(abs ∘ − )) ∈ (UnifOn‘ℂ) → (metUnif‘(abs ∘ − )) = (ℂ × ℂ))
108, 9ax-mp 5 . . . 4 (metUnif‘(abs ∘ − )) = (ℂ × ℂ)
1110eqcomi 2807 . . 3 (ℂ × ℂ) = (metUnif‘(abs ∘ − ))
12 cnfldbas 20113 . . . 4 ℂ = (Base‘ℂfld)
13 cnfldunif 20120 . . . 4 (metUnif‘(abs ∘ − )) = (UnifSet‘ℂfld)
1412, 13ussid 22904 . . 3 ((ℂ × ℂ) = (metUnif‘(abs ∘ − )) → (metUnif‘(abs ∘ − )) = (UnifSt‘ℂfld))
1511, 14ax-mp 5 . 2 (metUnif‘(abs ∘ − )) = (UnifSt‘ℂfld)
161, 15eqtr4i 2824 1 𝑈 = (metUnif‘(abs ∘ − ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∅c0 4245  ∪ cuni 4803   × cxp 5520   ∘ ccom 5526  ‘cfv 6329  ℂcc 10539  0cc0 10541   − cmin 10874  abscabs 14602  PsMetcpsmet 20093  ∞Metcxmet 20094  metUnifcmetu 20100  ℂfldccnfld 20109  UnifOncust 22843  UnifStcuss 22897 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7451  ax-cnex 10597  ax-resscn 10598  ax-1cn 10599  ax-icn 10600  ax-addcl 10601  ax-addrcl 10602  ax-mulcl 10603  ax-mulrcl 10604  ax-mulcom 10605  ax-addass 10606  ax-mulass 10607  ax-distr 10608  ax-i2m1 10609  ax-1ne0 10610  ax-1rid 10611  ax-rnegex 10612  ax-rrecex 10613  ax-cnre 10614  ax-pre-lttri 10615  ax-pre-lttrn 10616  ax-pre-ltadd 10617  ax-pre-mulgt0 10618  ax-pre-sup 10619 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3722  df-csb 3830  df-dif 3885  df-un 3887  df-in 3889  df-ss 3899  df-pss 3901  df-nul 4246  df-if 4428  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5441  df-so 5442  df-fr 5481  df-we 5483  df-xp 5528  df-rel 5529  df-cnv 5530  df-co 5531  df-dm 5532  df-rn 5533  df-res 5534  df-ima 5535  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6288  df-fun 6331  df-fn 6332  df-f 6333  df-f1 6334  df-fo 6335  df-f1o 6336  df-fv 6337  df-riota 7100  df-ov 7145  df-oprab 7146  df-mpo 7147  df-om 7571  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-1o 8100  df-oadd 8104  df-er 8287  df-map 8406  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-fin 8511  df-sup 8905  df-pnf 10681  df-mnf 10682  df-xr 10683  df-ltxr 10684  df-le 10685  df-sub 10876  df-neg 10877  df-div 11302  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11987  df-dec 12104  df-uz 12249  df-rp 12395  df-xneg 12512  df-xadd 12513  df-xmul 12514  df-ico 12749  df-fz 12903  df-seq 13382  df-exp 13443  df-cj 14467  df-re 14468  df-im 14469  df-sqrt 14603  df-abs 14604  df-struct 16494  df-ndx 16495  df-slot 16496  df-base 16498  df-plusg 16587  df-mulr 16588  df-starv 16589  df-tset 16593  df-ple 16594  df-ds 16596  df-unif 16597  df-rest 16705  df-psmet 20101  df-xmet 20102  df-met 20103  df-fbas 20106  df-fg 20107  df-metu 20108  df-cnfld 20110  df-fil 22489  df-ust 22844  df-uss 22900 This theorem is referenced by:  cnfldcusp  23999  reust  24023  qqhucn  31406  cnrrext  31424
 Copyright terms: Public domain W3C validator