Theorem cnflduss 25310

Description: The uniform structure of the complex numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Mar-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnflduss.1	⊢ 𝑈 = (UnifSt‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
cnflduss	⊢ 𝑈 = (metUnif‘(abs ∘ − ))

Proof of Theorem cnflduss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnflduss.1	. 2 ⊢ 𝑈 = (UnifSt‘ℂfld)
2		0cn 11122	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℂ
3	2	ne0ii 4294	. . . . . 6 ⊢ ℂ ≠ ∅
4		cnxmet 24714	. . . . . . 7 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
5		xmetpsmet 24290	. . . . . . 7 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) → (abs ∘ − ) ∈ (PsMet‘ℂ))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (PsMet‘ℂ)
7		metuust 24502	. . . . . 6 ⊢ ((ℂ ≠ ∅ ∧ (abs ∘ − ) ∈ (PsMet‘ℂ)) → (metUnif‘(abs ∘ − )) ∈ (UnifOn‘ℂ))
8	3, 6, 7	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (metUnif‘(abs ∘ − )) ∈ (UnifOn‘ℂ)
9		ustuni 24168	. . . . 5 ⊢ ((metUnif‘(abs ∘ − )) ∈ (UnifOn‘ℂ) → ∪ (metUnif‘(abs ∘ − )) = (ℂ × ℂ))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ∪ (metUnif‘(abs ∘ − )) = (ℂ × ℂ)
11	10	eqcomi 2743	. . 3 ⊢ (ℂ × ℂ) = ∪ (metUnif‘(abs ∘ − ))
12		cnfldbas 21311	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
13		cnfldunif 21320	. . . 4 ⊢ (metUnif‘(abs ∘ − )) = (UnifSet‘ℂfld)
14	12, 13	ussid 24202	. . 3 ⊢ ((ℂ × ℂ) = ∪ (metUnif‘(abs ∘ − )) → (metUnif‘(abs ∘ − )) = (UnifSt‘ℂfld))
15	11, 14	ax-mp 5	. 2 ⊢ (metUnif‘(abs ∘ − )) = (UnifSt‘ℂfld)
16	1, 15	eqtr4i 2760	1 ⊢ 𝑈 = (metUnif‘(abs ∘ − ))

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ∅c0 4283  ∪ cuni 4861   × cxp 5620   ∘ ccom 5626  ‘cfv 6490  ℂcc 11022  0cc0 11024   − cmin 11362  abscabs 15155  PsMetcpsmet 21291  ∞Metcxmet 21292  metUnifcmetu 21298  ℂ_fldccnfld 21307  UnifOncust 24142  UnifStcuss 24195

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-sup 9343  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-rp 12904  df-xneg 13024  df-xadd 13025  df-xmul 13026  df-ico 13265  df-fz 13422  df-seq 13923  df-exp 13983  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-struct 17072  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-starv 17190  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-unif 17198  df-rest 17340  df-psmet 21299  df-xmet 21300  df-met 21301  df-fbas 21304  df-fg 21305  df-metu 21306  df-cnfld 21308  df-fil 23788  df-ust 24143  df-uss 24198

This theorem is referenced by:  cnfldcusp  25311  reust  25335  qqhucn  34098  cnrrext  34116