Theorem cnflduss 25304

Description: The uniform structure of the complex numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Mar-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnflduss.1	⊢ 𝑈 = (UnifSt‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
cnflduss	⊢ 𝑈 = (metUnif‘(abs ∘ − ))

Proof of Theorem cnflduss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnflduss.1	. 2 ⊢ 𝑈 = (UnifSt‘ℂfld)
2		0cn 11244	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℂ
3	2	ne0ii 4341	. . . . . 6 ⊢ ℂ ≠ ∅
4		cnxmet 24709	. . . . . . 7 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
5		xmetpsmet 24274	. . . . . . 7 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) → (abs ∘ − ) ∈ (PsMet‘ℂ))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (PsMet‘ℂ)
7		metuust 24489	. . . . . 6 ⊢ ((ℂ ≠ ∅ ∧ (abs ∘ − ) ∈ (PsMet‘ℂ)) → (metUnif‘(abs ∘ − )) ∈ (UnifOn‘ℂ))
8	3, 6, 7	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ (metUnif‘(abs ∘ − )) ∈ (UnifOn‘ℂ)
9		ustuni 24151	. . . . 5 ⊢ ((metUnif‘(abs ∘ − )) ∈ (UnifOn‘ℂ) → ∪ (metUnif‘(abs ∘ − )) = (ℂ × ℂ))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ∪ (metUnif‘(abs ∘ − )) = (ℂ × ℂ)
11	10	eqcomi 2737	. . 3 ⊢ (ℂ × ℂ) = ∪ (metUnif‘(abs ∘ − ))
12		cnfldbas 21290	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
13		cnfldunif 21299	. . . 4 ⊢ (metUnif‘(abs ∘ − )) = (UnifSet‘ℂfld)
14	12, 13	ussid 24185	. . 3 ⊢ ((ℂ × ℂ) = ∪ (metUnif‘(abs ∘ − )) → (metUnif‘(abs ∘ − )) = (UnifSt‘ℂfld))
15	11, 14	ax-mp 5	. 2 ⊢ (metUnif‘(abs ∘ − )) = (UnifSt‘ℂfld)
16	1, 15	eqtr4i 2759	1 ⊢ 𝑈 = (metUnif‘(abs ∘ − ))

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2937  ∅c0 4326  ∪ cuni 4912   × cxp 5680   ∘ ccom 5686  ‘cfv 6553  ℂcc 11144  0cc0 11146   − cmin 11482  abscabs 15221  PsMetcpsmet 21270  ∞Metcxmet 21271  metUnifcmetu 21277  ℂ_fldccnfld 21286  UnifOncust 24124  UnifStcuss 24178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ico 13370  df-fz 13525  df-seq 14007  df-exp 14067  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-struct 17123  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-rest 17411  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-fbas 21283  df-fg 21284  df-metu 21285  df-cnfld 21287  df-fil 23770  df-ust 24125  df-uss 24181

This theorem is referenced by:  cnfldcusp  25305  reust  25329  qqhucn  33626  cnrrext  33644