MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnflduss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnflduss 25370
Description: The uniform structure of the complex numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Mar-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
cnflduss.1 𝑈 = (UnifSt‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
cnflduss 𝑈 = (metUnif‘(abs ∘ − ))

Proof of Theorem cnflduss
StepHypRef Expression
1 cnflduss.1 . 2 𝑈 = (UnifSt‘ℂfld)
2 0cn 11245 . . . . . . 7 0 ∈ ℂ
32ne0ii 4338 . . . . . 6 ℂ ≠ ∅
4 cnxmet 24775 . . . . . . 7 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
5 xmetpsmet 24340 . . . . . . 7 ((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) → (abs ∘ − ) ∈ (PsMet‘ℂ))
64, 5ax-mp 5 . . . . . 6 (abs ∘ − ) ∈ (PsMet‘ℂ)
7 metuust 24555 . . . . . 6 ((ℂ ≠ ∅ ∧ (abs ∘ − ) ∈ (PsMet‘ℂ)) → (metUnif‘(abs ∘ − )) ∈ (UnifOn‘ℂ))
83, 6, 7mp2an 690 . . . . 5 (metUnif‘(abs ∘ − )) ∈ (UnifOn‘ℂ)
9 ustuni 24217 . . . . 5 ((metUnif‘(abs ∘ − )) ∈ (UnifOn‘ℂ) → (metUnif‘(abs ∘ − )) = (ℂ × ℂ))
108, 9ax-mp 5 . . . 4 (metUnif‘(abs ∘ − )) = (ℂ × ℂ)
1110eqcomi 2735 . . 3 (ℂ × ℂ) = (metUnif‘(abs ∘ − ))
12 cnfldbas 21341 . . . 4 ℂ = (Base‘ℂfld)
13 cnfldunif 21350 . . . 4 (metUnif‘(abs ∘ − )) = (UnifSet‘ℂfld)
1412, 13ussid 24251 . . 3 ((ℂ × ℂ) = (metUnif‘(abs ∘ − )) → (metUnif‘(abs ∘ − )) = (UnifSt‘ℂfld))
1511, 14ax-mp 5 . 2 (metUnif‘(abs ∘ − )) = (UnifSt‘ℂfld)
161, 15eqtr4i 2757 1 𝑈 = (metUnif‘(abs ∘ − ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  c0 4323   cuni 4906   × cxp 5671  ccom 5677  cfv 6544  cc 11145  0cc0 11147  cmin 11483  abscabs 15232  PsMetcpsmet 21321  ∞Metcxmet 21322  metUnifcmetu 21328  fldccnfld 21337  UnifOncust 24190  UnifStcuss 24244
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736  ax-cnex 11203  ax-resscn 11204  ax-1cn 11205  ax-icn 11206  ax-addcl 11207  ax-addrcl 11208  ax-mulcl 11209  ax-mulrcl 11210  ax-mulcom 11211  ax-addass 11212  ax-mulass 11213  ax-distr 11214  ax-i2m1 11215  ax-1ne0 11216  ax-1rid 11217  ax-rnegex 11218  ax-rrecex 11219  ax-cnre 11220  ax-pre-lttri 11221  ax-pre-lttrn 11222  ax-pre-ltadd 11223  ax-pre-mulgt0 11224  ax-pre-sup 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4907  df-iun 4996  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6303  df-ord 6369  df-on 6370  df-lim 6371  df-suc 6372  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9476  df-pnf 11289  df-mnf 11290  df-xr 11291  df-ltxr 11292  df-le 11293  df-sub 11485  df-neg 11486  df-div 11911  df-nn 12257  df-2 12319  df-3 12320  df-4 12321  df-5 12322  df-6 12323  df-7 12324  df-8 12325  df-9 12326  df-n0 12517  df-z 12603  df-dec 12722  df-uz 12867  df-rp 13021  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-ico 13376  df-fz 13531  df-seq 14014  df-exp 14074  df-cj 15097  df-re 15098  df-im 15099  df-sqrt 15233  df-abs 15234  df-struct 17142  df-slot 17177  df-ndx 17189  df-base 17207  df-plusg 17272  df-mulr 17273  df-starv 17274  df-tset 17278  df-ple 17279  df-ds 17281  df-unif 17282  df-rest 17430  df-psmet 21329  df-xmet 21330  df-met 21331  df-fbas 21334  df-fg 21335  df-metu 21336  df-cnfld 21338  df-fil 23836  df-ust 24191  df-uss 24247
This theorem is referenced by:  cnfldcusp  25371  reust  25395  qqhucn  33818  cnrrext  33836
  Copyright terms: Public domain W3C validator