Theorem cnflduss 25283

Description: The uniform structure of the complex numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Mar-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnflduss.1	⊢ 𝑈 = (UnifSt‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
cnflduss	⊢ 𝑈 = (metUnif‘(abs ∘ − ))

Proof of Theorem cnflduss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnflduss.1	. 2 ⊢ 𝑈 = (UnifSt‘ℂfld)
2		0cn 11104	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℂ
3	2	ne0ii 4291	. . . . . 6 ⊢ ℂ ≠ ∅
4		cnxmet 24687	. . . . . . 7 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
5		xmetpsmet 24263	. . . . . . 7 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) → (abs ∘ − ) ∈ (PsMet‘ℂ))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (PsMet‘ℂ)
7		metuust 24475	. . . . . 6 ⊢ ((ℂ ≠ ∅ ∧ (abs ∘ − ) ∈ (PsMet‘ℂ)) → (metUnif‘(abs ∘ − )) ∈ (UnifOn‘ℂ))
8	3, 6, 7	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (metUnif‘(abs ∘ − )) ∈ (UnifOn‘ℂ)
9		ustuni 24141	. . . . 5 ⊢ ((metUnif‘(abs ∘ − )) ∈ (UnifOn‘ℂ) → ∪ (metUnif‘(abs ∘ − )) = (ℂ × ℂ))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ∪ (metUnif‘(abs ∘ − )) = (ℂ × ℂ)
11	10	eqcomi 2740	. . 3 ⊢ (ℂ × ℂ) = ∪ (metUnif‘(abs ∘ − ))
12		cnfldbas 21295	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
13		cnfldunif 21304	. . . 4 ⊢ (metUnif‘(abs ∘ − )) = (UnifSet‘ℂfld)
14	12, 13	ussid 24175	. . 3 ⊢ ((ℂ × ℂ) = ∪ (metUnif‘(abs ∘ − )) → (metUnif‘(abs ∘ − )) = (UnifSt‘ℂfld))
15	11, 14	ax-mp 5	. 2 ⊢ (metUnif‘(abs ∘ − )) = (UnifSt‘ℂfld)
16	1, 15	eqtr4i 2757	1 ⊢ 𝑈 = (metUnif‘(abs ∘ − ))

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∅c0 4280  ∪ cuni 4856   × cxp 5612   ∘ ccom 5618  ‘cfv 6481  ℂcc 11004  0cc0 11006   − cmin 11344  abscabs 15141  PsMetcpsmet 21275  ∞Metcxmet 21276  metUnifcmetu 21282  ℂ_fldccnfld 21291  UnifOncust 24115  UnifStcuss 24168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-rp 12891  df-xneg 13011  df-xadd 13012  df-xmul 13013  df-ico 13251  df-fz 13408  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-struct 17058  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-rest 17326  df-psmet 21283  df-xmet 21284  df-met 21285  df-fbas 21288  df-fg 21289  df-metu 21290  df-cnfld 21292  df-fil 23761  df-ust 24116  df-uss 24171

This theorem is referenced by:  cnfldcusp  25284  reust  25308  qqhucn  34005  cnrrext  34023