Theorem cnflduss 24872

Description: The uniform structure of the complex numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Mar-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnflduss.1	⊢ 𝑈 = (UnifSt‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
cnflduss	⊢ 𝑈 = (metUnif‘(abs ∘ − ))

Proof of Theorem cnflduss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnflduss.1	. 2 ⊢ 𝑈 = (UnifSt‘ℂfld)
2		0cn 11205	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℂ
3	2	ne0ii 4337	. . . . . 6 ⊢ ℂ ≠ ∅
4		cnxmet 24288	. . . . . . 7 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
5		xmetpsmet 23853	. . . . . . 7 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) → (abs ∘ − ) ∈ (PsMet‘ℂ))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (PsMet‘ℂ)
7		metuust 24068	. . . . . 6 ⊢ ((ℂ ≠ ∅ ∧ (abs ∘ − ) ∈ (PsMet‘ℂ)) → (metUnif‘(abs ∘ − )) ∈ (UnifOn‘ℂ))
8	3, 6, 7	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ (metUnif‘(abs ∘ − )) ∈ (UnifOn‘ℂ)
9		ustuni 23730	. . . . 5 ⊢ ((metUnif‘(abs ∘ − )) ∈ (UnifOn‘ℂ) → ∪ (metUnif‘(abs ∘ − )) = (ℂ × ℂ))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ∪ (metUnif‘(abs ∘ − )) = (ℂ × ℂ)
11	10	eqcomi 2741	. . 3 ⊢ (ℂ × ℂ) = ∪ (metUnif‘(abs ∘ − ))
12		cnfldbas 20947	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
13		cnfldunif 20954	. . . 4 ⊢ (metUnif‘(abs ∘ − )) = (UnifSet‘ℂfld)
14	12, 13	ussid 23764	. . 3 ⊢ ((ℂ × ℂ) = ∪ (metUnif‘(abs ∘ − )) → (metUnif‘(abs ∘ − )) = (UnifSt‘ℂfld))
15	11, 14	ax-mp 5	. 2 ⊢ (metUnif‘(abs ∘ − )) = (UnifSt‘ℂfld)
16	1, 15	eqtr4i 2763	1 ⊢ 𝑈 = (metUnif‘(abs ∘ − ))

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∅c0 4322  ∪ cuni 4908   × cxp 5674   ∘ ccom 5680  ‘cfv 6543  ℂcc 11107  0cc0 11109   − cmin 11443  abscabs 15180  PsMetcpsmet 20927  ∞Metcxmet 20928  metUnifcmetu 20934  ℂ_fldccnfld 20943  UnifOncust 23703  UnifStcuss 23757

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ico 13329  df-fz 13484  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-struct 17079  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-rest 17367  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-fbas 20940  df-fg 20941  df-metu 20942  df-cnfld 20944  df-fil 23349  df-ust 23704  df-uss 23760

This theorem is referenced by:  cnfldcusp  24873  reust  24897  qqhucn  32967  cnrrext  32985