Theorem uzn0 12907

Description: The upper integers are all nonempty. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
uzn0	⊢ (𝑀 ∈ ran ℤ≥ → 𝑀 ≠ ∅)

Proof of Theorem uzn0

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzf 12893	. . 3 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
2		ffn 6706	. . 3 ⊢ (ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ → ℤ≥ Fn ℤ)
3		fvelrnb 6942	. . 3 ⊢ (ℤ≥ Fn ℤ → (𝑀 ∈ ran ℤ≥ ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (ℤ≥‘𝑘) = 𝑀))
4	1, 2, 3	mp2b 10	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ran ℤ≥ ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (ℤ≥‘𝑘) = 𝑀)
5		uzid 12905	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
6	5	ne0d 4291	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑘) ≠ ∅)
7		neeq1 3019	. . . 4 ⊢ ((ℤ≥‘𝑘) = 𝑀 → ((ℤ≥‘𝑘) ≠ ∅ ↔ 𝑀 ≠ ∅))
8	6, 7	syl5ibcom 248	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → ((ℤ≥‘𝑘) = 𝑀 → 𝑀 ≠ ∅))
9	8	rexlimiv 3158	. 2 ⊢ (∃𝑘 ∈ ℤ (ℤ≥‘𝑘) = 𝑀 → 𝑀 ≠ ∅)
10	4, 9	sylbi 220	1 ⊢ (𝑀 ∈ ran ℤ≥ → 𝑀 ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∃wrex 3088  ∅c0 4282  𝒫 cpw 4560  ran crn 5660   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  ℤcz 12618  ℤ_≥cuz 12890

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-pre-lttri 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7419  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-neg 11471  df-z 12619  df-uz 12891

This theorem is used by:  heibor1lem  38546