Theorem uzn0 12772

Description: The upper integers are all nonempty. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
uzn0	⊢ (𝑀 ∈ ran ℤ≥ → 𝑀 ≠ ∅)

Proof of Theorem uzn0

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzf 12758	. . 3 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
2		ffn 6663	. . 3 ⊢ (ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ → ℤ≥ Fn ℤ)
3		fvelrnb 6895	. . 3 ⊢ (ℤ≥ Fn ℤ → (𝑀 ∈ ran ℤ≥ ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (ℤ≥‘𝑘) = 𝑀))
4	1, 2, 3	mp2b 10	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ran ℤ≥ ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (ℤ≥‘𝑘) = 𝑀)
5		uzid 12770	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
6	5	ne0d 4295	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑘) ≠ ∅)
7		neeq1 2995	. . . 4 ⊢ ((ℤ≥‘𝑘) = 𝑀 → ((ℤ≥‘𝑘) ≠ ∅ ↔ 𝑀 ≠ ∅))
8	6, 7	syl5ibcom 245	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → ((ℤ≥‘𝑘) = 𝑀 → 𝑀 ≠ ∅))
9	8	rexlimiv 3131	. 2 ⊢ (∃𝑘 ∈ ℤ (ℤ≥‘𝑘) = 𝑀 → 𝑀 ≠ ∅)
10	4, 9	sylbi 217	1 ⊢ (𝑀 ∈ ran ℤ≥ → 𝑀 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3061  ∅c0 4286  𝒫 cpw 4555  ran crn 5626   Fn wfn 6488  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  ℤcz 12492  ℤ_≥cuz 12755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-pre-lttri 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7363  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-neg 11371  df-z 12493  df-uz 12756

This theorem is referenced by:  heibor1lem  38012