MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzn0 12895
Description: The upper integers are all nonempty. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
uzn0 (𝑀 ∈ ran ℤ𝑀 ≠ ∅)

Proof of Theorem uzn0
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uzf 12881 . . 3 :ℤ⟶𝒫 ℤ
2 ffn 6736 . . 3 (ℤ:ℤ⟶𝒫 ℤ → ℤ Fn ℤ)
3 fvelrnb 6969 . . 3 (ℤ Fn ℤ → (𝑀 ∈ ran ℤ ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (ℤ𝑘) = 𝑀))
41, 2, 3mp2b 10 . 2 (𝑀 ∈ ran ℤ ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (ℤ𝑘) = 𝑀)
5 uzid 12893 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ (ℤ𝑘))
65ne0d 4342 . . . 4 (𝑘 ∈ ℤ → (ℤ𝑘) ≠ ∅)
7 neeq1 3003 . . . 4 ((ℤ𝑘) = 𝑀 → ((ℤ𝑘) ≠ ∅ ↔ 𝑀 ≠ ∅))
86, 7syl5ibcom 245 . . 3 (𝑘 ∈ ℤ → ((ℤ𝑘) = 𝑀𝑀 ≠ ∅))
98rexlimiv 3148 . 2 (∃𝑘 ∈ ℤ (ℤ𝑘) = 𝑀𝑀 ≠ ∅)
104, 9sylbi 217 1 (𝑀 ∈ ran ℤ𝑀 ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wrex 3070  c0 4333  𝒫 cpw 4600  ran crn 5686   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  cz 12613  cuz 12878
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-pre-lttri 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-neg 11495  df-z 12614  df-uz 12879
This theorem is referenced by:  heibor1lem  37816
  Copyright terms: Public domain W3C validator