MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzn0 12788
Description: The upper integers are all nonempty. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
uzn0 (𝑀 ∈ ran β„€β‰₯ β†’ 𝑀 β‰  βˆ…)

Proof of Theorem uzn0
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uzf 12774 . . 3 β„€β‰₯:β„€βŸΆπ’« β„€
2 ffn 6672 . . 3 (β„€β‰₯:β„€βŸΆπ’« β„€ β†’ β„€β‰₯ Fn β„€)
3 fvelrnb 6907 . . 3 (β„€β‰₯ Fn β„€ β†’ (𝑀 ∈ ran β„€β‰₯ ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) = 𝑀))
41, 2, 3mp2b 10 . 2 (𝑀 ∈ ran β„€β‰₯ ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) = 𝑀)
5 uzid 12786 . . . . 5 (π‘˜ ∈ β„€ β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜))
65ne0d 4299 . . . 4 (π‘˜ ∈ β„€ β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β‰  βˆ…)
7 neeq1 3003 . . . 4 ((β„€β‰₯β€˜π‘˜) = 𝑀 β†’ ((β„€β‰₯β€˜π‘˜) β‰  βˆ… ↔ 𝑀 β‰  βˆ…))
86, 7syl5ibcom 244 . . 3 (π‘˜ ∈ β„€ β†’ ((β„€β‰₯β€˜π‘˜) = 𝑀 β†’ 𝑀 β‰  βˆ…))
98rexlimiv 3142 . 2 (βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) = 𝑀 β†’ 𝑀 β‰  βˆ…)
104, 9sylbi 216 1 (𝑀 ∈ ran β„€β‰₯ β†’ 𝑀 β‰  βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070  βˆ…c0 4286  π’« cpw 4564  ran crn 5638   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  β„€cz 12507  β„€β‰₯cuz 12771
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-pre-lttri 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-neg 11396  df-z 12508  df-uz 12772
This theorem is referenced by:  heibor1lem  36318
  Copyright terms: Public domain W3C validator