MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzn0 12837
Description: The upper integers are all nonempty. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
uzn0 (𝑀 ∈ ran β„€β‰₯ β†’ 𝑀 β‰  βˆ…)

Proof of Theorem uzn0
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uzf 12823 . . 3 β„€β‰₯:β„€βŸΆπ’« β„€
2 ffn 6708 . . 3 (β„€β‰₯:β„€βŸΆπ’« β„€ β†’ β„€β‰₯ Fn β„€)
3 fvelrnb 6943 . . 3 (β„€β‰₯ Fn β„€ β†’ (𝑀 ∈ ran β„€β‰₯ ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) = 𝑀))
41, 2, 3mp2b 10 . 2 (𝑀 ∈ ran β„€β‰₯ ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) = 𝑀)
5 uzid 12835 . . . . 5 (π‘˜ ∈ β„€ β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜))
65ne0d 4328 . . . 4 (π‘˜ ∈ β„€ β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β‰  βˆ…)
7 neeq1 2995 . . . 4 ((β„€β‰₯β€˜π‘˜) = 𝑀 β†’ ((β„€β‰₯β€˜π‘˜) β‰  βˆ… ↔ 𝑀 β‰  βˆ…))
86, 7syl5ibcom 244 . . 3 (π‘˜ ∈ β„€ β†’ ((β„€β‰₯β€˜π‘˜) = 𝑀 β†’ 𝑀 β‰  βˆ…))
98rexlimiv 3140 . 2 (βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) = 𝑀 β†’ 𝑀 β‰  βˆ…)
104, 9sylbi 216 1 (𝑀 ∈ ran β„€β‰₯ β†’ 𝑀 β‰  βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  βˆƒwrex 3062  βˆ…c0 4315  π’« cpw 4595  ran crn 5668   Fn wfn 6529  βŸΆwf 6530  β€˜cfv 6534  β„€cz 12556  β„€β‰₯cuz 12820
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-pre-lttri 11181
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-neg 11445  df-z 12557  df-uz 12821
This theorem is referenced by:  heibor1lem  37171
  Copyright terms: Public domain W3C validator