MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzn0 12838
Description: The upper integers are all nonempty. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
uzn0 (𝑀 ∈ ran β„€β‰₯ β†’ 𝑀 β‰  βˆ…)

Proof of Theorem uzn0
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uzf 12824 . . 3 β„€β‰₯:β„€βŸΆπ’« β„€
2 ffn 6717 . . 3 (β„€β‰₯:β„€βŸΆπ’« β„€ β†’ β„€β‰₯ Fn β„€)
3 fvelrnb 6952 . . 3 (β„€β‰₯ Fn β„€ β†’ (𝑀 ∈ ran β„€β‰₯ ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) = 𝑀))
41, 2, 3mp2b 10 . 2 (𝑀 ∈ ran β„€β‰₯ ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) = 𝑀)
5 uzid 12836 . . . . 5 (π‘˜ ∈ β„€ β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜))
65ne0d 4335 . . . 4 (π‘˜ ∈ β„€ β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β‰  βˆ…)
7 neeq1 3003 . . . 4 ((β„€β‰₯β€˜π‘˜) = 𝑀 β†’ ((β„€β‰₯β€˜π‘˜) β‰  βˆ… ↔ 𝑀 β‰  βˆ…))
86, 7syl5ibcom 244 . . 3 (π‘˜ ∈ β„€ β†’ ((β„€β‰₯β€˜π‘˜) = 𝑀 β†’ 𝑀 β‰  βˆ…))
98rexlimiv 3148 . 2 (βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) = 𝑀 β†’ 𝑀 β‰  βˆ…)
104, 9sylbi 216 1 (𝑀 ∈ ran β„€β‰₯ β†’ 𝑀 β‰  βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070  βˆ…c0 4322  π’« cpw 4602  ran crn 5677   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  β„€cz 12557  β„€β‰₯cuz 12821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-pre-lttri 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-neg 11446  df-z 12558  df-uz 12822
This theorem is referenced by:  heibor1lem  36672
  Copyright terms: Public domain W3C validator