Theorem uzidd 12751

Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
uzidd.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
uzidd	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem uzidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		uzid 12750	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6482  ℤcz 12471  ℤ_≥cuz 12735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-pre-lttri 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-ov 7352  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-neg 11350  df-z 12472  df-uz 12736

This theorem is referenced by:  fzdif1  13508  ccatass  14495  ccatrn  14496  swrdccat2  14576  pfxccat1  14608  splfv1  14661  splval2  14663  revccat  14672  ntrivcvgn0  15805  gsumsplit1r  18561  gsumsgrpccat  18714  efginvrel2  19606  signstfvp  34545  poimirlem20  37630  aks4d1p1p3  42052  aks4d1p1p4  42054  aks4d1p1p6  42056  aks4d1p1p7  42057  aks4d1p1p5  42058  aks4d1p1  42059  aks4d1p6  42064  sumcubes  42296  uzidd2  45405  uzinico3  45553  smflimsuplem7  46817  smflimsuplem8  46818  smflimsupmpt  46820  smfliminfmpt  46823