Theorem uzidd 12991

Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
uzidd.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
uzidd	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem uzidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		uzid 12990	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6546  ℤcz 12703  ℤ_≥cuz 12975

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-pre-lttri 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5549  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-ov 7430  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-neg 11554  df-z 12704  df-uz 12976

This theorem is used by:  fzdif1  13749  ccatass  14744  ccatrn  14745  swrdccat2  14830  pfxccat1  14862  splfv1  14915  splval2  14917  revccat  14926  ntrivcvgn0  16079  gsumsplit1r  18888  gsumsgrpccat  19048  efginvrel2  19953  signstfvp  35253  poimirlem20  38698  aks4d1p1p3  43259  aks4d1p1p4  43261  aks4d1p1p6  43263  aks4d1p1p7  43264  aks4d1p1p5  43265  aks4d1p1  43266  aks4d1p6  43271  sumcubes  43510  uzidd2  46565  uzinico3  46713  smflimsuplem7  47975  smflimsuplem8  47976  smflimsupmpt  47978  smfliminfmpt  47981