Theorem uzidd 12527

Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
uzidd.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
uzidd	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem uzidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		uzid 12526	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6418  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-pre-lttri 10876

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-neg 11138  df-z 12250  df-uz 12512

This theorem is referenced by:  ccatass  14221  ccatrn  14222  swrdccat2  14310  pfxccat1  14343  splfv1  14396  splval2  14398  revccat  14407  ntrivcvgn0  15538  gsumsplit1r  18286  gsumsgrpccat  18393  efginvrel2  19248  signstfvp  32450  poimirlem20  35724  aks4d1p1p3  40005  aks4d1p1p4  40007  aks4d1p1p6  40009  aks4d1p1p7  40010  aks4d1p1p5  40011  aks4d1p1  40012  aks4d1p6  40017  uzidd2  42846  uzinico3  42991  smflimsuplem7  44246  smflimsuplem8  44247  smflimsupmpt  44249  smfliminfmpt  44252