Theorem uzidd 12804

Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
uzidd.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
uzidd	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem uzidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		uzid 12803	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6498  ℤcz 12524  ℤ_≥cuz 12788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-pre-lttri 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-neg 11380  df-z 12525  df-uz 12789

This theorem is referenced by:  fzdif1  13559  ccatass  14551  ccatrn  14552  swrdccat2  14632  pfxccat1  14664  splfv1  14717  splval2  14719  revccat  14728  ntrivcvgn0  15863  gsumsplit1r  18655  gsumsgrpccat  18808  efginvrel2  19702  signstfvp  34715  poimirlem20  37961  aks4d1p1p3  42508  aks4d1p1p4  42510  aks4d1p1p6  42512  aks4d1p1p7  42513  aks4d1p1p5  42514  aks4d1p1  42515  aks4d1p6  42520  sumcubes  42745  uzidd2  45844  uzinico3  45992  smflimsuplem7  47254  smflimsuplem8  47255  smflimsupmpt  47257  smfliminfmpt  47260