MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uztrn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uztrn 12786
Description: Transitive law for sets of upper integers. (Contributed by NM, 20-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
uztrn ((𝑀 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))

Proof of Theorem uztrn
StepHypRef Expression
1 eluzel2 12773 . . 3 (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
21adantl 483 . 2 ((𝑀 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
3 eluzelz 12778 . . 3 (𝑀 ∈ (ℤ𝐾) → 𝑀 ∈ ℤ)
43adantr 482 . 2 ((𝑀 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
5 eluzle 12781 . . . 4 (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁𝐾)
65adantl 483 . . 3 ((𝑀 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁𝐾)
7 eluzle 12781 . . . 4 (𝑀 ∈ (ℤ𝐾) → 𝐾𝑀)
87adantr 482 . . 3 ((𝑀 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝐾𝑀)
9 eluzelz 12778 . . . 4 (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
10 zletr 12552 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑁𝐾𝐾𝑀) → 𝑁𝑀))
111, 9, 4, 10syl2an23an 1424 . . 3 ((𝑀 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑁𝐾𝐾𝑀) → 𝑁𝑀))
126, 8, 11mp2and 698 . 2 ((𝑀 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁𝑀)
13 eluz2 12774 . 2 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑀))
142, 4, 12, 13syl3anbrc 1344 1 ((𝑀 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wcel 2107   class class class wbr 5106  cfv 6497  cle 11195  cz 12504  cuz 12768
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-neg 11393  df-z 12505  df-uz 12769
This theorem is referenced by:  uztrn2  12787  fzsplit2  13472  fzass4  13485  fzss1  13486  fzss2  13487  uzsplit  13519  seqfveq2  13936  sermono  13946  seqsplit  13947  seqid2  13960  fzsdom2  14334  seqcoll  14369  spllen  14648  splfv2a  14650  splval2  14651  climcndslem1  15739  mertenslem1  15774  ntrivcvgfvn0  15789  zprod  15825  dvdsfac  16213  smupvallem  16368  vdwlem2  16859  vdwlem6  16863  efgredleme  19530  bposlem6  26653  dchrisumlem2  26854  axlowdimlem16  27948  fzsplit3  31744  sseqf  33049  ballotlemsima  33172  ballotlemfrc  33183  climuzcnv  34316  seqpo  36252  incsequz2  36254  mettrifi  36262  monotuz  41308
  Copyright terms: Public domain W3C validator