Theorem uztrn 12983

Description: Transitive law for sets of upper integers. (Contributed by NM, 20-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uztrn	⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))

Proof of Theorem uztrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 12970	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
2	1	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		eluzelz 12975	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝑀 ∈ ℤ)
4	3	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
5		eluzle 12978	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 ≤ 𝐾)
6	5	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ≤ 𝐾)
7		eluzle 12978	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐾 ≤ 𝑀)
8	7	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝐾 ≤ 𝑀)
9		eluzelz 12975	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
10		zletr 12740	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑁 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → 𝑁 ≤ 𝑀))
11	1, 9, 4, 10	syl2an23an 1450	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((𝑁 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → 𝑁 ≤ 𝑀))
12	6, 8, 11	mp2and 712	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ≤ 𝑀)
13		eluz2 12971	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀))
14	2, 4, 12, 13	syl3anbrc 1362	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538   ≤ cle 11344  ℤcz 12693  ℤ_≥cuz 12965

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-neg 11544  df-z 12694  df-uz 12966

This theorem is used by:  uztrn2  12984  fzsplit2  13683  fzass4  13696  fzss1  13697  fzss2  13698  uzsplit  13730  seqfveq2  14167  sermono  14177  seqsplit  14178  seqid2  14191  fzsdom2  14573  seqcoll  14609  spllen  14903  splfv2a  14905  splval2  14906  climcndslem1  16018  mertenslem1  16053  ntrivcvgfvn0  16068  zprod  16104  dvdsfac  16496  smupvallem  16653  vdwlem2  17160  vdwlem6  17164  efgredleme  19957  bposlem6  27616  dchrisumlem2  27817  axlowdimlem16  29535  fzsplit3  33385  sseqf  35024  ballotlemsima  35148  ballotlemfrc  35159  climuzcnv  36436  seqpo  38682  incsequz2  38684  mettrifi  38692  monotuz  43948