MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uztrn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uztrn 12896
Description: Transitive law for sets of upper integers. (Contributed by NM, 20-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
uztrn ((𝑀 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))

Proof of Theorem uztrn
StepHypRef Expression
1 eluzel2 12883 . . 3 (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
21adantl 481 . 2 ((𝑀 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
3 eluzelz 12888 . . 3 (𝑀 ∈ (ℤ𝐾) → 𝑀 ∈ ℤ)
43adantr 480 . 2 ((𝑀 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
5 eluzle 12891 . . . 4 (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁𝐾)
65adantl 481 . . 3 ((𝑀 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁𝐾)
7 eluzle 12891 . . . 4 (𝑀 ∈ (ℤ𝐾) → 𝐾𝑀)
87adantr 480 . . 3 ((𝑀 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝐾𝑀)
9 eluzelz 12888 . . . 4 (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
10 zletr 12661 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑁𝐾𝐾𝑀) → 𝑁𝑀))
111, 9, 4, 10syl2an23an 1425 . . 3 ((𝑀 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑁𝐾𝐾𝑀) → 𝑁𝑀))
126, 8, 11mp2and 699 . 2 ((𝑀 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁𝑀)
13 eluz2 12884 . 2 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑀))
142, 4, 12, 13syl3anbrc 1344 1 ((𝑀 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2108   class class class wbr 5143  cfv 6561  cle 11296  cz 12613  cuz 12878
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-neg 11495  df-z 12614  df-uz 12879
This theorem is referenced by:  uztrn2  12897  fzsplit2  13589  fzass4  13602  fzss1  13603  fzss2  13604  uzsplit  13636  seqfveq2  14065  sermono  14075  seqsplit  14076  seqid2  14089  fzsdom2  14467  seqcoll  14503  spllen  14792  splfv2a  14794  splval2  14795  climcndslem1  15885  mertenslem1  15920  ntrivcvgfvn0  15935  zprod  15973  dvdsfac  16363  smupvallem  16520  vdwlem2  17020  vdwlem6  17024  efgredleme  19761  bposlem6  27333  dchrisumlem2  27534  axlowdimlem16  28972  fzsplit3  32795  sseqf  34394  ballotlemsima  34518  ballotlemfrc  34529  climuzcnv  35676  seqpo  37754  incsequz2  37756  mettrifi  37764  monotuz  42953
  Copyright terms: Public domain W3C validator