Theorem uztrn 12906

Description: Transitive law for sets of upper integers. (Contributed by NM, 20-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uztrn	⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))

Proof of Theorem uztrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 12893	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
2	1	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		eluzelz 12898	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝑀 ∈ ℤ)
4	3	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
5		eluzle 12901	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 ≤ 𝐾)
6	5	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ≤ 𝐾)
7		eluzle 12901	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐾 ≤ 𝑀)
8	7	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝐾 ≤ 𝑀)
9		eluzelz 12898	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
10		zletr 12663	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑁 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → 𝑁 ≤ 𝑀))
11	1, 9, 4, 10	syl2an23an 1450	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((𝑁 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → 𝑁 ≤ 𝑀))
12	6, 8, 11	mp2and 712	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ≤ 𝑀)
13		eluz2 12894	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀))
14	2, 4, 12, 13	syl3anbrc 1362	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537   ≤ cle 11269  ℤcz 12616  ℤ_≥cuz 12888

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7419  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-neg 11469  df-z 12617  df-uz 12889

This theorem is used by:  uztrn2  12907  fzsplit2  13604  fzass4  13617  fzss1  13618  fzss2  13619  uzsplit  13651  seqfveq2  14088  sermono  14098  seqsplit  14099  seqid2  14112  fzsdom2  14493  seqcoll  14529  spllen  14823  splfv2a  14825  splval2  14826  climcndslem1  15938  mertenslem1  15973  ntrivcvgfvn0  15988  zprod  16026  dvdsfac  16418  smupvallem  16575  vdwlem2  17076  vdwlem6  17080  efgredleme  19869  bposlem6  27521  dchrisumlem2  27722  axlowdimlem16  29398  fzsplit3  33249  sseqf  34888  ballotlemsima  35012  ballotlemfrc  35023  climuzcnv  36235  seqpo  38482  incsequz2  38484  mettrifi  38492  monotuz  43767