Theorem uztrn 12839

Description: Transitive law for sets of upper integers. (Contributed by NM, 20-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uztrn	⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))

Proof of Theorem uztrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 12826	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
2	1	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		eluzelz 12831	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝑀 ∈ ℤ)
4	3	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
5		eluzle 12834	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 ≤ 𝐾)
6	5	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ≤ 𝐾)
7		eluzle 12834	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐾 ≤ 𝑀)
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝐾 ≤ 𝑀)
9		eluzelz 12831	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
10		zletr 12605	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑁 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → 𝑁 ≤ 𝑀))
11	1, 9, 4, 10	syl2an23an 1420	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((𝑁 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → 𝑁 ≤ 𝑀))
12	6, 8, 11	mp2and 696	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ≤ 𝑀)
13		eluz2 12827	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀))
14	2, 4, 12, 13	syl3anbrc 1340	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5139  ‘cfv 6534   ≤ cle 11248  ℤcz 12557  ℤ_≥cuz 12821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-neg 11446  df-z 12558  df-uz 12822

This theorem is referenced by:  uztrn2  12840  fzsplit2  13527  fzass4  13540  fzss1  13541  fzss2  13542  uzsplit  13574  seqfveq2  13991  sermono  14001  seqsplit  14002  seqid2  14015  fzsdom2  14389  seqcoll  14427  spllen  14706  splfv2a  14708  splval2  14709  climcndslem1  15797  mertenslem1  15832  ntrivcvgfvn0  15847  zprod  15883  dvdsfac  16272  smupvallem  16427  vdwlem2  16920  vdwlem6  16924  efgredleme  19659  bposlem6  27162  dchrisumlem2  27363  axlowdimlem16  28708  fzsplit3  32499  sseqf  33910  ballotlemsima  34033  ballotlemfrc  34044  climuzcnv  35173  seqpo  37118  incsequz2  37120  mettrifi  37128  monotuz  42230