Theorem uzssd3 42524

Description: Subset relationship for two sets of upper integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
uzssd3.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
uzssd3	⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ 𝑍)

Proof of Theorem uzssd3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzssd3.1	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		id 22	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → 𝑁 ∈ 𝑍)
3	1, 2	uzssd2 42515	1 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3843  ‘cfv 6339  ℤ_≥cuz 12324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-op 4523  df-uni 4797  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5429  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-ov 7173  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-neg 10951  df-z 12063  df-uz 12325

This theorem is referenced by:  limsupvaluzmpt  42820  supcnvlimsupmpt  42844  climxlim2  42949  meaiuninc3v  43584  smflimmpt  43902