Theorem uzssd3 45410

Description: Subset relationship for two sets of upper integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
uzssd3.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
uzssd3	⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ 𝑍)

Proof of Theorem uzssd3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzssd3.1	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		id 22	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → 𝑁 ∈ 𝑍)
3	1, 2	uzssd2 45401	1 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3950  ‘cfv 6559  ℤ_≥cuz 12874

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751  ax-cnex 11207  ax-resscn 11208  ax-pre-lttri 11225  ax-pre-lttrn 11226

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4906  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-id 5576  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-ov 7432  df-er 8741  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-pnf 11293  df-mnf 11294  df-xr 11295  df-ltxr 11296  df-le 11297  df-neg 11491  df-z 12610  df-uz 12875

This theorem is referenced by:  limsupvaluzmpt  45705  limsupvaluz2  45726  supcnvlimsupmpt  45729  climxlim2  45834  meaiuninc3v  46472  smflimmpt  46798