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Theorem meaiuninc3v 42143
Description: Measures are continuous from below: if 𝐸 is a sequence of nondecreasing measurable sets (with bounded measure) then the measure of the union is the limit of the measures. This is the general case of Proposition 112C (e) of [Fremlin1] p. 16 . This theorem generalizes meaiuninc 42140 and meaiuninc2 42141 where the sequence is required to be bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 13-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
meaiuninc3v.m (𝜑𝑀 ∈ Meas)
meaiuninc3v.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
meaiuninc3v.z 𝑍 = (ℤ𝑁)
meaiuninc3v.e (𝜑𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
meaiuninc3v.i ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)))
meaiuninc3v.s 𝑆 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
Assertion
Ref Expression
meaiuninc3v (𝜑𝑆~~>*(𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐸   𝑛,𝑀   𝑛,𝑍   𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem meaiuninc3v
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 meaiuninc3v.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
21adantr 473 . . 3 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → 𝑁 ∈ ℤ)
3 meaiuninc3v.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑁)
4 meaiuninc3v.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ Meas)
54adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑀 ∈ Meas)
6 eqid 2772 . . . . . 6 dom 𝑀 = dom 𝑀
7 meaiuninc3v.e . . . . . . 7 (𝜑𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
87ffvelrnda 6670 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ∈ dom 𝑀)
95, 6, 8meaxrcl 42120 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) ∈ ℝ*)
10 meaiuninc3v.s . . . . 5 𝑆 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
119, 10fmptd 6695 . . . 4 (𝜑𝑆:𝑍⟶ℝ*)
1211adantr 473 . . 3 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → 𝑆:𝑍⟶ℝ*)
13 nfv 1873 . . . . 5 𝑛𝜑
14 nfcv 2926 . . . . . 6 𝑛
15 nfra1 3163 . . . . . 6 𝑛𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥
1614, 15nfrex 3247 . . . . 5 𝑛𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥
1713, 16nfan 1862 . . . 4 𝑛(𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
18 nfcv 2926 . . . 4 𝑛𝐸
194adantr 473 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → 𝑀 ∈ Meas)
207adantr 473 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → 𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
21 meaiuninc3v.i . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)))
2221adantlr 702 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) ∧ 𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)))
23 simpr 477 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
2417, 18, 19, 2, 3, 20, 22, 23, 10meaiunincf 42142 . . 3 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → 𝑆 ⇝ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
252, 3, 12, 24climxlim2 41504 . 2 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → 𝑆~~>*(𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
26 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
27 2fveq3 6498 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑛 → (𝑀‘(𝐸𝑗)) = (𝑀‘(𝐸𝑛)))
2827breq2d 4935 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑛 → (𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)) ↔ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑛))))
2928cbvrexv 3378 . . . . . . . . . 10 (∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑛)))
3029a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑛))))
31 rexr 10478 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
3231ad2antlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ ℝ*)
339adantlr 702 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) ∈ ℝ*)
3432, 33xrltnled 41006 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍) → (𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑛)) ↔ ¬ (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥))
3534rexbidva 3235 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑛𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑛)) ↔ ∃𝑛𝑍 ¬ (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥))
3630, 35bitrd 271 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)) ↔ ∃𝑛𝑍 ¬ (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥))
3736ralbidva 3140 . . . . . . 7 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑛𝑍 ¬ (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥))
38 rexnal 3179 . . . . . . . . . 10 (∃𝑛𝑍 ¬ (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 ↔ ¬ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
3938ralbii 3109 . . . . . . . . 9 (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑛𝑍 ¬ (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
40 ralnex 3177 . . . . . . . . 9 (∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
4139, 40bitri 267 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑛𝑍 ¬ (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
4241a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑛𝑍 ¬ (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥))
4337, 42bitrd 271 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥))
4443adantr 473 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥))
4526, 44mpbird 249 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)))
46 simpr 477 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)))
4745, 46syldan 582 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)))
48 simp-4r 771 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ)
4948, 31syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
50 simp-4l 770 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝜑)
513uztrn2 12069 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑛𝑍)
5251ad4ant24 741 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑛𝑍)
5311ffvelrnda 6670 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑆𝑛) ∈ ℝ*)
5450, 52, 53syl2anc 576 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑆𝑛) ∈ ℝ*)
55 eleq1w 2842 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑗 → (𝑛𝑍𝑗𝑍))
5655anbi2d 619 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑗 → ((𝜑𝑛𝑍) ↔ (𝜑𝑗𝑍)))
57 2fveq3 6498 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑗 → (𝑀‘(𝐸𝑛)) = (𝑀‘(𝐸𝑗)))
5857eleq1d 2844 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑗 → ((𝑀‘(𝐸𝑛)) ∈ ℝ* ↔ (𝑀‘(𝐸𝑗)) ∈ ℝ*))
5956, 58imbi12d 337 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑗 → (((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) ∈ ℝ*) ↔ ((𝜑𝑗𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑗)) ∈ ℝ*)))
6059, 9chvarv 2325 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑗)) ∈ ℝ*)
6160ad5ant13 744 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑀‘(𝐸𝑗)) ∈ ℝ*)
62 simplr 756 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)))
6343ad2ant1 1113 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑀 ∈ Meas)
647ffvelrnda 6670 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐸𝑗) ∈ dom 𝑀)
65643adant3 1112 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐸𝑗) ∈ dom 𝑀)
66 simp1 1116 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝜑)
67513adant1 1110 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑛𝑍)
6866, 67, 8syl2anc 576 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐸𝑛) ∈ dom 𝑀)
69 simp3 1118 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))
70 simpll 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑗..^𝑛)) → 𝜑)
713uzssd3 41077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗𝑍 → (ℤ𝑗) ⊆ 𝑍)
7271adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (𝑗..^𝑛)) → (ℤ𝑗) ⊆ 𝑍)
73 elfzouz 12851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ (𝑗..^𝑛) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))
7473adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (𝑗..^𝑛)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))
7572, 74sseldd 3855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (𝑗..^𝑛)) → 𝑘𝑍)
7675adantll 701 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑗..^𝑛)) → 𝑘𝑍)
77 eleq1w 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛𝑍𝑘𝑍))
7877anbi2d 619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = 𝑘 → ((𝜑𝑛𝑍) ↔ (𝜑𝑘𝑍)))
79 fveq2 6493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = 𝑘 → (𝐸𝑛) = (𝐸𝑘))
80 fvoveq1 6993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = 𝑘 → (𝐸‘(𝑛 + 1)) = (𝐸‘(𝑘 + 1)))
8179, 80sseq12d 3886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)) ↔ (𝐸𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1))))
8278, 81imbi12d 337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 𝑘 → (((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1))) ↔ ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐸𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1)))))
8382, 21chvarv 2325 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐸𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1)))
8470, 76, 83syl2anc 576 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑗..^𝑛)) → (𝐸𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1)))
85843adantl3 1148 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑗..^𝑛)) → (𝐸𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1)))
8669, 85ssinc 40720 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐸𝑗) ⊆ (𝐸𝑛))
8763, 6, 65, 68, 86meassle 42122 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑀‘(𝐸𝑗)) ≤ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
88 fvexd 6508 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) ∈ V)
8910fvmpt2 6599 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛𝑍 ∧ (𝑀‘(𝐸𝑛)) ∈ V) → (𝑆𝑛) = (𝑀‘(𝐸𝑛)))
9051, 88, 89syl2anc 576 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑆𝑛) = (𝑀‘(𝐸𝑛)))
91903adant1 1110 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑆𝑛) = (𝑀‘(𝐸𝑛)))
9287, 91breqtrrd 4951 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑀‘(𝐸𝑗)) ≤ (𝑆𝑛))
9392ad5ant135 1348 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑀‘(𝐸𝑗)) ≤ (𝑆𝑛))
9449, 61, 54, 62, 93xrltletrd 12364 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑥 < (𝑆𝑛))
9549, 54, 94xrltled 12353 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑥 ≤ (𝑆𝑛))
9695ralrimiva 3126 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝑆𝑛))
9796ex 405 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) → (𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)) → ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝑆𝑛)))
9897reximdva 3213 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)) → ∃𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝑆𝑛)))
9998ralimdva 3121 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝑆𝑛)))
10099imp 398 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝑆𝑛))
101 nfmpt1 5019 . . . . . . . 8 𝑛(𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
10210, 101nfcxfr 2924 . . . . . . 7 𝑛𝑆
103102, 1, 3, 11xlimpnf 41500 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆~~>*+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝑆𝑛)))
104103adantr 473 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → (𝑆~~>*+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝑆𝑛)))
105100, 104mpbird 249 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → 𝑆~~>*+∞)
106 nfv 1873 . . . . . . 7 𝑥𝜑
107 nfra1 3163 . . . . . . 7 𝑥𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))
108106, 107nfan 1862 . . . . . 6 𝑥(𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)))
109 rspa 3150 . . . . . . . 8 ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)))
110109adantll 701 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)))
111 nfv 1873 . . . . . . . . . 10 𝑗𝜑
112 nfcv 2926 . . . . . . . . . . 11 𝑗
113 nfre1 3245 . . . . . . . . . . 11 𝑗𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))
114112, 113nfral 3168 . . . . . . . . . 10 𝑗𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))
115111, 114nfan 1862 . . . . . . . . 9 𝑗(𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)))
116 nfv 1873 . . . . . . . . 9 𝑗 𝑥 ∈ ℝ
117115, 116nfan 1862 . . . . . . . 8 𝑗((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ)
118 nfv 1873 . . . . . . . 8 𝑗 𝑥 ≤ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
11931ad3antlr 718 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
1204, 6dmmeasal 42111 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom 𝑀 ∈ SAlg)
1213uzct 40689 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑍 ≼ ω
122121a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑍 ≼ ω)
123120, 122, 8saliuncl 41984 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ∈ dom 𝑀)
1244, 6, 123meaxrcl 42120 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ∈ ℝ*)
125124ad3antrrr 717 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ∈ ℝ*)
12660ad4ant13 738 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → (𝑀‘(𝐸𝑗)) ∈ ℝ*)
127 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)))
1284adantr 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑀 ∈ Meas)
129123adantr 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ∈ dom 𝑀)
130 fveq2 6493 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑗 → (𝐸𝑛) = (𝐸𝑗))
131130ssiun2s 4832 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗𝑍 → (𝐸𝑗) ⊆ 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
132131adantl 474 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐸𝑗) ⊆ 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
133128, 6, 64, 129, 132meassle 42122 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑗)) ≤ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
134133ad4ant13 738 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → (𝑀‘(𝐸𝑗)) ≤ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
135119, 126, 125, 127, 134xrltletrd 12364 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → 𝑥 < (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
136119, 125, 135xrltled 12353 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → 𝑥 ≤ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
137136exp31 412 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑗𝑍 → (𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)) → 𝑥 ≤ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))))
138137adantlr 702 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑗𝑍 → (𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)) → 𝑥 ≤ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))))
139117, 118, 138rexlimd 3254 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)) → 𝑥 ≤ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))))
140110, 139mpd 15 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ≤ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
141108, 140ralrimia 40766 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
142 xrpnf 41139 . . . . . . 7 ((𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ∈ ℝ* → ((𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))))
143124, 142syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))))
144143adantr 473 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → ((𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))))
145141, 144mpbird 249 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) = +∞)
146105, 145breqtrrd 4951 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → 𝑆~~>*(𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
14747, 146syldan 582 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → 𝑆~~>*(𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
14825, 147pm2.61dan 800 1 (𝜑𝑆~~>*(𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2048  wral 3082  wrex 3083  Vcvv 3409  wss 3825   ciun 4786   class class class wbr 4923  cmpt 5002  dom cdm 5400  wf 6178  cfv 6182  (class class class)co 6970  ωcom 7390  cdom 8296  cr 10326  1c1 10328   + caddc 10330  +∞cpnf 10463  *cxr 10465   < clt 10466  cle 10467  cz 11786  cuz 12051  ..^cfzo 12842  ~~>*clsxlim 41476  Meascmea 42108
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-inf2 8890  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404  ax-pre-sup 10405
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-disj 4892  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-se 5360  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-isom 6191  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-1o 7897  df-oadd 7901  df-omul 7902  df-er 8081  df-map 8200  df-pm 8201  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-fin 8302  df-fi 8662  df-sup 8693  df-inf 8694  df-oi 8761  df-card 9154  df-acn 9157  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-div 11091  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-4 11498  df-5 11499  df-6 11500  df-7 11501  df-8 11502  df-9 11503  df-n0 11701  df-z 11787  df-dec 11905  df-uz 12052  df-q 12156  df-rp 12198  df-xneg 12317  df-xadd 12318  df-xmul 12319  df-ioo 12551  df-ioc 12552  df-ico 12553  df-icc 12554  df-fz 12702  df-fzo 12843  df-fl 12970  df-seq 13178  df-exp 13238  df-hash 13499  df-cj 14309  df-re 14310  df-im 14311  df-sqrt 14445  df-abs 14446  df-clim 14696  df-rlim 14697  df-sum 14894  df-struct 16331  df-ndx 16332  df-slot 16333  df-base 16335  df-plusg 16424  df-mulr 16425  df-starv 16426  df-tset 16430  df-ple 16431  df-ds 16433  df-unif 16434  df-rest 16542  df-topn 16543  df-topgen 16563  df-ordt 16620  df-ps 17658  df-tsr 17659  df-psmet 20229  df-xmet 20230  df-met 20231  df-bl 20232  df-mopn 20233  df-cnfld 20238  df-top 21196  df-topon 21213  df-topsp 21235  df-bases 21248  df-lm 21531  df-xms 22623  df-ms 22624  df-xlim 41477  df-salg 41971  df-sumge0 42022  df-mea 42109
This theorem is referenced by:  meaiuninc3  42144
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