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Theorem meaiuninc3v 46499
Description: Measures are continuous from below: if 𝐸 is a sequence of nondecreasing measurable sets (with bounded measure) then the measure of the union is the limit of the measures. This is the general case of Proposition 112C (e) of [Fremlin1] p. 16 . This theorem generalizes meaiuninc 46496 and meaiuninc2 46497 where the sequence is required to be bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 13-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
meaiuninc3v.m (𝜑𝑀 ∈ Meas)
meaiuninc3v.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
meaiuninc3v.z 𝑍 = (ℤ𝑁)
meaiuninc3v.e (𝜑𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
meaiuninc3v.i ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)))
meaiuninc3v.s 𝑆 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
Assertion
Ref Expression
meaiuninc3v (𝜑𝑆~~>*(𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐸   𝑛,𝑀   𝑛,𝑍   𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem meaiuninc3v
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 meaiuninc3v.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
21adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → 𝑁 ∈ ℤ)
3 meaiuninc3v.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑁)
4 meaiuninc3v.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ Meas)
54adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑀 ∈ Meas)
6 eqid 2737 . . . . . 6 dom 𝑀 = dom 𝑀
7 meaiuninc3v.e . . . . . . 7 (𝜑𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
87ffvelcdmda 7104 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ∈ dom 𝑀)
95, 6, 8meaxrcl 46476 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) ∈ ℝ*)
10 meaiuninc3v.s . . . . 5 𝑆 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
119, 10fmptd 7134 . . . 4 (𝜑𝑆:𝑍⟶ℝ*)
1211adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → 𝑆:𝑍⟶ℝ*)
13 nfv 1914 . . . . 5 𝑛𝜑
14 nfcv 2905 . . . . . 6 𝑛
15 nfra1 3284 . . . . . 6 𝑛𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥
1614, 15nfrexw 3313 . . . . 5 𝑛𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥
1713, 16nfan 1899 . . . 4 𝑛(𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
18 nfcv 2905 . . . 4 𝑛𝐸
194adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → 𝑀 ∈ Meas)
207adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → 𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
21 meaiuninc3v.i . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)))
2221adantlr 715 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) ∧ 𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)))
23 simpr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
2417, 18, 19, 2, 3, 20, 22, 23, 10meaiunincf 46498 . . 3 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → 𝑆 ⇝ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
252, 3, 12, 24climxlim2 45861 . 2 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → 𝑆~~>*(𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
26 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
27 2fveq3 6911 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑛 → (𝑀‘(𝐸𝑗)) = (𝑀‘(𝐸𝑛)))
2827breq2d 5155 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑛 → (𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)) ↔ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑛))))
2928cbvrexvw 3238 . . . . . . . . . 10 (∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑛)))
3029a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑛))))
31 rexr 11307 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
3231ad2antlr 727 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ ℝ*)
339adantlr 715 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) ∈ ℝ*)
3432, 33xrltnled 45374 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍) → (𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑛)) ↔ ¬ (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥))
3534rexbidva 3177 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑛𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑛)) ↔ ∃𝑛𝑍 ¬ (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥))
3630, 35bitrd 279 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)) ↔ ∃𝑛𝑍 ¬ (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥))
3736ralbidva 3176 . . . . . . 7 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑛𝑍 ¬ (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥))
38 rexnal 3100 . . . . . . . . . 10 (∃𝑛𝑍 ¬ (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 ↔ ¬ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
3938ralbii 3093 . . . . . . . . 9 (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑛𝑍 ¬ (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
40 ralnex 3072 . . . . . . . . 9 (∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
4139, 40bitri 275 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑛𝑍 ¬ (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
4241a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑛𝑍 ¬ (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥))
4337, 42bitrd 279 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥))
4443adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥))
4526, 44mpbird 257 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)))
46 simpr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)))
4745, 46syldan 591 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)))
48 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ)
4948, 31syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
50 simp-4l 783 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝜑)
513uztrn2 12897 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑛𝑍)
5251ad4ant24 754 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑛𝑍)
5311ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑆𝑛) ∈ ℝ*)
5450, 52, 53syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑆𝑛) ∈ ℝ*)
55 eleq1w 2824 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑗 → (𝑛𝑍𝑗𝑍))
5655anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑗 → ((𝜑𝑛𝑍) ↔ (𝜑𝑗𝑍)))
57 2fveq3 6911 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑗 → (𝑀‘(𝐸𝑛)) = (𝑀‘(𝐸𝑗)))
5857eleq1d 2826 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑗 → ((𝑀‘(𝐸𝑛)) ∈ ℝ* ↔ (𝑀‘(𝐸𝑗)) ∈ ℝ*))
5956, 58imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑗 → (((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) ∈ ℝ*) ↔ ((𝜑𝑗𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑗)) ∈ ℝ*)))
6059, 9chvarvv 1998 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑗)) ∈ ℝ*)
6160ad5ant13 757 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑀‘(𝐸𝑗)) ∈ ℝ*)
62 simplr 769 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)))
6343ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑀 ∈ Meas)
647ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐸𝑗) ∈ dom 𝑀)
65643adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐸𝑗) ∈ dom 𝑀)
66 simp1 1137 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝜑)
67513adant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑛𝑍)
6866, 67, 8syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐸𝑛) ∈ dom 𝑀)
69 simp3 1139 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))
70 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑗..^𝑛)) → 𝜑)
713uzssd3 45437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗𝑍 → (ℤ𝑗) ⊆ 𝑍)
7271adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (𝑗..^𝑛)) → (ℤ𝑗) ⊆ 𝑍)
73 elfzouz 13703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ (𝑗..^𝑛) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))
7473adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (𝑗..^𝑛)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))
7572, 74sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (𝑗..^𝑛)) → 𝑘𝑍)
7675adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑗..^𝑛)) → 𝑘𝑍)
77 eleq1w 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛𝑍𝑘𝑍))
7877anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = 𝑘 → ((𝜑𝑛𝑍) ↔ (𝜑𝑘𝑍)))
79 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = 𝑘 → (𝐸𝑛) = (𝐸𝑘))
80 fvoveq1 7454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = 𝑘 → (𝐸‘(𝑛 + 1)) = (𝐸‘(𝑘 + 1)))
8179, 80sseq12d 4017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)) ↔ (𝐸𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1))))
8278, 81imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 𝑘 → (((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1))) ↔ ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐸𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1)))))
8382, 21chvarvv 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐸𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1)))
8470, 76, 83syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑗..^𝑛)) → (𝐸𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1)))
85843adantl3 1169 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑗..^𝑛)) → (𝐸𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1)))
8669, 85ssinc 45092 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐸𝑗) ⊆ (𝐸𝑛))
8763, 6, 65, 68, 86meassle 46478 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑀‘(𝐸𝑗)) ≤ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
88 fvexd 6921 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) ∈ V)
8910fvmpt2 7027 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛𝑍 ∧ (𝑀‘(𝐸𝑛)) ∈ V) → (𝑆𝑛) = (𝑀‘(𝐸𝑛)))
9051, 88, 89syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑆𝑛) = (𝑀‘(𝐸𝑛)))
91903adant1 1131 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑆𝑛) = (𝑀‘(𝐸𝑛)))
9287, 91breqtrrd 5171 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑀‘(𝐸𝑗)) ≤ (𝑆𝑛))
9392ad5ant135 1370 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑀‘(𝐸𝑗)) ≤ (𝑆𝑛))
9449, 61, 54, 62, 93xrltletrd 13203 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑥 < (𝑆𝑛))
9549, 54, 94xrltled 13192 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑥 ≤ (𝑆𝑛))
9695ralrimiva 3146 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝑆𝑛))
9796ex 412 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) → (𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)) → ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝑆𝑛)))
9897reximdva 3168 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)) → ∃𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝑆𝑛)))
9998ralimdva 3167 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝑆𝑛)))
10099imp 406 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝑆𝑛))
101 nfmpt1 5250 . . . . . . . 8 𝑛(𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
10210, 101nfcxfr 2903 . . . . . . 7 𝑛𝑆
103102, 1, 3, 11xlimpnf 45857 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆~~>*+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝑆𝑛)))
104103adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → (𝑆~~>*+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝑆𝑛)))
105100, 104mpbird 257 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → 𝑆~~>*+∞)
106 nfv 1914 . . . . . . 7 𝑥𝜑
107 nfra1 3284 . . . . . . 7 𝑥𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))
108106, 107nfan 1899 . . . . . 6 𝑥(𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)))
109 rspa 3248 . . . . . . . 8 ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)))
110109adantll 714 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)))
111 nfv 1914 . . . . . . . . . 10 𝑗𝜑
112 nfcv 2905 . . . . . . . . . . 11 𝑗
113 nfre1 3285 . . . . . . . . . . 11 𝑗𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))
114112, 113nfralw 3311 . . . . . . . . . 10 𝑗𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))
115111, 114nfan 1899 . . . . . . . . 9 𝑗(𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)))
116 nfv 1914 . . . . . . . . 9 𝑗 𝑥 ∈ ℝ
117115, 116nfan 1899 . . . . . . . 8 𝑗((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ)
118 nfv 1914 . . . . . . . 8 𝑗 𝑥 ≤ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
11931ad3antlr 731 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
1204, 6dmmeasal 46467 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom 𝑀 ∈ SAlg)
1213uzct 45068 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑍 ≼ ω
122121a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑍 ≼ ω)
123120, 122, 8saliuncl 46338 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ∈ dom 𝑀)
1244, 6, 123meaxrcl 46476 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ∈ ℝ*)
125124ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ∈ ℝ*)
12660ad4ant13 751 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → (𝑀‘(𝐸𝑗)) ∈ ℝ*)
127 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)))
1284adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑀 ∈ Meas)
129123adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ∈ dom 𝑀)
130 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑗 → (𝐸𝑛) = (𝐸𝑗))
131130ssiun2s 5048 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗𝑍 → (𝐸𝑗) ⊆ 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
132131adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐸𝑗) ⊆ 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
133128, 6, 64, 129, 132meassle 46478 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑗)) ≤ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
134133ad4ant13 751 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → (𝑀‘(𝐸𝑗)) ≤ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
135119, 126, 125, 127, 134xrltletrd 13203 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → 𝑥 < (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
136119, 125, 135xrltled 13192 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → 𝑥 ≤ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
137136exp31 419 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑗𝑍 → (𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)) → 𝑥 ≤ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))))
138137adantlr 715 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑗𝑍 → (𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)) → 𝑥 ≤ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))))
139117, 118, 138rexlimd 3266 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)) → 𝑥 ≤ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))))
140110, 139mpd 15 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ≤ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
141108, 140ralrimia 3258 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
142 xrpnf 45496 . . . . . . 7 ((𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ∈ ℝ* → ((𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))))
143124, 142syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))))
144143adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → ((𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))))
145141, 144mpbird 257 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) = +∞)
146105, 145breqtrrd 5171 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → 𝑆~~>*(𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
14747, 146syldan 591 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → 𝑆~~>*(𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
14825, 147pm2.61dan 813 1 (𝜑𝑆~~>*(𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3480  wss 3951   ciun 4991   class class class wbr 5143  cmpt 5225  dom cdm 5685  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  ωcom 7887  cdom 8983  cr 11154  1c1 11156   + caddc 11158  +∞cpnf 11292  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cz 12613  cuz 12878  ..^cfzo 13694  ~~>*clsxlim 45833  Meascmea 46464
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-rest 17467  df-topn 17468  df-topgen 17488  df-ordt 17546  df-ps 18611  df-tsr 18612  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-lm 23237  df-xms 24330  df-ms 24331  df-xlim 45834  df-salg 46324  df-sumge0 46378  df-mea 46465
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