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Theorem meaiuninc3v 43110
Description: Measures are continuous from below: if 𝐸 is a sequence of nondecreasing measurable sets (with bounded measure) then the measure of the union is the limit of the measures. This is the general case of Proposition 112C (e) of [Fremlin1] p. 16 . This theorem generalizes meaiuninc 43107 and meaiuninc2 43108 where the sequence is required to be bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 13-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
meaiuninc3v.m (𝜑𝑀 ∈ Meas)
meaiuninc3v.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
meaiuninc3v.z 𝑍 = (ℤ𝑁)
meaiuninc3v.e (𝜑𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
meaiuninc3v.i ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)))
meaiuninc3v.s 𝑆 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
Assertion
Ref Expression
meaiuninc3v (𝜑𝑆~~>*(𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐸   𝑛,𝑀   𝑛,𝑍   𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem meaiuninc3v
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 meaiuninc3v.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
21adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → 𝑁 ∈ ℤ)
3 meaiuninc3v.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑁)
4 meaiuninc3v.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ Meas)
54adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑀 ∈ Meas)
6 eqid 2801 . . . . . 6 dom 𝑀 = dom 𝑀
7 meaiuninc3v.e . . . . . . 7 (𝜑𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
87ffvelrnda 6832 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ∈ dom 𝑀)
95, 6, 8meaxrcl 43087 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) ∈ ℝ*)
10 meaiuninc3v.s . . . . 5 𝑆 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
119, 10fmptd 6859 . . . 4 (𝜑𝑆:𝑍⟶ℝ*)
1211adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → 𝑆:𝑍⟶ℝ*)
13 nfv 1915 . . . . 5 𝑛𝜑
14 nfcv 2958 . . . . . 6 𝑛
15 nfra1 3186 . . . . . 6 𝑛𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥
1614, 15nfrex 3271 . . . . 5 𝑛𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥
1713, 16nfan 1900 . . . 4 𝑛(𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
18 nfcv 2958 . . . 4 𝑛𝐸
194adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → 𝑀 ∈ Meas)
207adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → 𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
21 meaiuninc3v.i . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)))
2221adantlr 714 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) ∧ 𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)))
23 simpr 488 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
2417, 18, 19, 2, 3, 20, 22, 23, 10meaiunincf 43109 . . 3 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → 𝑆 ⇝ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
252, 3, 12, 24climxlim2 42475 . 2 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → 𝑆~~>*(𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
26 simpr 488 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
27 2fveq3 6654 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑛 → (𝑀‘(𝐸𝑗)) = (𝑀‘(𝐸𝑛)))
2827breq2d 5045 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑛 → (𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)) ↔ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑛))))
2928cbvrexvw 3400 . . . . . . . . . 10 (∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑛)))
3029a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑛))))
31 rexr 10680 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
3231ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ ℝ*)
339adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) ∈ ℝ*)
3432, 33xrltnled 41982 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍) → (𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑛)) ↔ ¬ (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥))
3534rexbidva 3258 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑛𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑛)) ↔ ∃𝑛𝑍 ¬ (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥))
3630, 35bitrd 282 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)) ↔ ∃𝑛𝑍 ¬ (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥))
3736ralbidva 3164 . . . . . . 7 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑛𝑍 ¬ (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥))
38 rexnal 3204 . . . . . . . . . 10 (∃𝑛𝑍 ¬ (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 ↔ ¬ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
3938ralbii 3136 . . . . . . . . 9 (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑛𝑍 ¬ (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
40 ralnex 3202 . . . . . . . . 9 (∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
4139, 40bitri 278 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑛𝑍 ¬ (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
4241a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑛𝑍 ¬ (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥))
4337, 42bitrd 282 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥))
4443adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥))
4526, 44mpbird 260 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)))
46 simpr 488 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)))
4745, 46syldan 594 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)))
48 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ)
4948, 31syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
50 simp-4l 782 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝜑)
513uztrn2 12254 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑛𝑍)
5251ad4ant24 753 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑛𝑍)
5311ffvelrnda 6832 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑆𝑛) ∈ ℝ*)
5450, 52, 53syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑆𝑛) ∈ ℝ*)
55 eleq1w 2875 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑗 → (𝑛𝑍𝑗𝑍))
5655anbi2d 631 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑗 → ((𝜑𝑛𝑍) ↔ (𝜑𝑗𝑍)))
57 2fveq3 6654 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑗 → (𝑀‘(𝐸𝑛)) = (𝑀‘(𝐸𝑗)))
5857eleq1d 2877 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑗 → ((𝑀‘(𝐸𝑛)) ∈ ℝ* ↔ (𝑀‘(𝐸𝑗)) ∈ ℝ*))
5956, 58imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑗 → (((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) ∈ ℝ*) ↔ ((𝜑𝑗𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑗)) ∈ ℝ*)))
6059, 9chvarvv 2005 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑗)) ∈ ℝ*)
6160ad5ant13 756 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑀‘(𝐸𝑗)) ∈ ℝ*)
62 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)))
6343ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑀 ∈ Meas)
647ffvelrnda 6832 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐸𝑗) ∈ dom 𝑀)
65643adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐸𝑗) ∈ dom 𝑀)
66 simp1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝜑)
67513adant1 1127 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑛𝑍)
6866, 67, 8syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐸𝑛) ∈ dom 𝑀)
69 simp3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))
70 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑗..^𝑛)) → 𝜑)
713uzssd3 42050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗𝑍 → (ℤ𝑗) ⊆ 𝑍)
7271adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (𝑗..^𝑛)) → (ℤ𝑗) ⊆ 𝑍)
73 elfzouz 13041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ (𝑗..^𝑛) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))
7473adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (𝑗..^𝑛)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))
7572, 74sseldd 3919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (𝑗..^𝑛)) → 𝑘𝑍)
7675adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑗..^𝑛)) → 𝑘𝑍)
77 eleq1w 2875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛𝑍𝑘𝑍))
7877anbi2d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = 𝑘 → ((𝜑𝑛𝑍) ↔ (𝜑𝑘𝑍)))
79 fveq2 6649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = 𝑘 → (𝐸𝑛) = (𝐸𝑘))
80 fvoveq1 7162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = 𝑘 → (𝐸‘(𝑛 + 1)) = (𝐸‘(𝑘 + 1)))
8179, 80sseq12d 3951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)) ↔ (𝐸𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1))))
8278, 81imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 𝑘 → (((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1))) ↔ ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐸𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1)))))
8382, 21chvarvv 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐸𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1)))
8470, 76, 83syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑗..^𝑛)) → (𝐸𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1)))
85843adantl3 1165 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑗..^𝑛)) → (𝐸𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1)))
8669, 85ssinc 41710 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐸𝑗) ⊆ (𝐸𝑛))
8763, 6, 65, 68, 86meassle 43089 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑀‘(𝐸𝑗)) ≤ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
88 fvexd 6664 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) ∈ V)
8910fvmpt2 6760 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛𝑍 ∧ (𝑀‘(𝐸𝑛)) ∈ V) → (𝑆𝑛) = (𝑀‘(𝐸𝑛)))
9051, 88, 89syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑆𝑛) = (𝑀‘(𝐸𝑛)))
91903adant1 1127 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑆𝑛) = (𝑀‘(𝐸𝑛)))
9287, 91breqtrrd 5061 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑀‘(𝐸𝑗)) ≤ (𝑆𝑛))
9392ad5ant135 1365 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑀‘(𝐸𝑗)) ≤ (𝑆𝑛))
9449, 61, 54, 62, 93xrltletrd 12546 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑥 < (𝑆𝑛))
9549, 54, 94xrltled 12535 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑥 ≤ (𝑆𝑛))
9695ralrimiva 3152 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝑆𝑛))
9796ex 416 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) → (𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)) → ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝑆𝑛)))
9897reximdva 3236 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)) → ∃𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝑆𝑛)))
9998ralimdva 3147 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝑆𝑛)))
10099imp 410 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝑆𝑛))
101 nfmpt1 5131 . . . . . . . 8 𝑛(𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
10210, 101nfcxfr 2956 . . . . . . 7 𝑛𝑆
103102, 1, 3, 11xlimpnf 42471 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆~~>*+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝑆𝑛)))
104103adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → (𝑆~~>*+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝑆𝑛)))
105100, 104mpbird 260 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → 𝑆~~>*+∞)
106 nfv 1915 . . . . . . 7 𝑥𝜑
107 nfra1 3186 . . . . . . 7 𝑥𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))
108106, 107nfan 1900 . . . . . 6 𝑥(𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)))
109 rspa 3174 . . . . . . . 8 ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)))
110109adantll 713 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)))
111 nfv 1915 . . . . . . . . . 10 𝑗𝜑
112 nfcv 2958 . . . . . . . . . . 11 𝑗
113 nfre1 3268 . . . . . . . . . . 11 𝑗𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))
114112, 113nfralw 3192 . . . . . . . . . 10 𝑗𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))
115111, 114nfan 1900 . . . . . . . . 9 𝑗(𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)))
116 nfv 1915 . . . . . . . . 9 𝑗 𝑥 ∈ ℝ
117115, 116nfan 1900 . . . . . . . 8 𝑗((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ)
118 nfv 1915 . . . . . . . 8 𝑗 𝑥 ≤ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
11931ad3antlr 730 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
1204, 6dmmeasal 43078 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom 𝑀 ∈ SAlg)
1213uzct 41684 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑍 ≼ ω
122121a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑍 ≼ ω)
123120, 122, 8saliuncl 42951 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ∈ dom 𝑀)
1244, 6, 123meaxrcl 43087 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ∈ ℝ*)
125124ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ∈ ℝ*)
12660ad4ant13 750 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → (𝑀‘(𝐸𝑗)) ∈ ℝ*)
127 simpr 488 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)))
1284adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑀 ∈ Meas)
129123adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ∈ dom 𝑀)
130 fveq2 6649 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑗 → (𝐸𝑛) = (𝐸𝑗))
131130ssiun2s 4938 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗𝑍 → (𝐸𝑗) ⊆ 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
132131adantl 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐸𝑗) ⊆ 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
133128, 6, 64, 129, 132meassle 43089 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑗)) ≤ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
134133ad4ant13 750 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → (𝑀‘(𝐸𝑗)) ≤ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
135119, 126, 125, 127, 134xrltletrd 12546 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → 𝑥 < (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
136119, 125, 135xrltled 12535 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → 𝑥 ≤ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
137136exp31 423 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑗𝑍 → (𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)) → 𝑥 ≤ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))))
138137adantlr 714 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑗𝑍 → (𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)) → 𝑥 ≤ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))))
139117, 118, 138rexlimd 3279 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)) → 𝑥 ≤ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))))
140110, 139mpd 15 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ≤ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
141108, 140ralrimia 41754 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
142 xrpnf 42112 . . . . . . 7 ((𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ∈ ℝ* → ((𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))))
143124, 142syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))))
144143adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → ((𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))))
145141, 144mpbird 260 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) = +∞)
146105, 145breqtrrd 5061 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → 𝑆~~>*(𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
14747, 146syldan 594 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → 𝑆~~>*(𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
14825, 147pm2.61dan 812 1 (𝜑𝑆~~>*(𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  wral 3109  wrex 3110  Vcvv 3444  wss 3884   ciun 4884   class class class wbr 5033  cmpt 5113  dom cdm 5523  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7139  ωcom 7564  cdom 8494  cr 10529  1c1 10531   + caddc 10533  +∞cpnf 10665  *cxr 10667   < clt 10668  cle 10669  cz 11973  cuz 12235  ..^cfzo 13032  ~~>*clsxlim 42447  Meascmea 43075
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-disj 4999  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-omul 8094  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ioc 12735  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-rlim 14841  df-sum 15038  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-rest 16691  df-topn 16692  df-topgen 16712  df-ordt 16769  df-ps 17805  df-tsr 17806  df-psmet 20086  df-xmet 20087  df-met 20088  df-bl 20089  df-mopn 20090  df-cnfld 20095  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-lm 21837  df-xms 22930  df-ms 22931  df-xlim 42448  df-salg 42938  df-sumge0 42989  df-mea 43076
This theorem is referenced by:  meaiuninc3  43111
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