MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bpolylem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bpolylem 14985
Description: Lemma for bpolyval 14986. (Contributed by Scott Fenton, 22-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bpoly.1 𝐺 = (𝑔 ∈ V ↦ (♯‘dom 𝑔) / 𝑛((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))))
bpoly.2 𝐹 = wrecs( < , ℕ0, 𝐺)
Assertion
Ref Expression
bpolylem ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (𝑁 BernPoly 𝑋) = ((𝑋𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)))))
Distinct variable groups:   𝑔,𝑘,𝑛,𝐹   𝑔,𝑁,𝑘,𝑛   𝑔,𝑋,𝑘,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑔,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem bpolylem
Dummy variables 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6800 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝑛) = (𝑋𝑛))
21oveq1d 6808 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))) = ((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))))
32csbeq2dv 4136 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋(♯‘dom 𝑔) / 𝑛((𝑥𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))) = (♯‘dom 𝑔) / 𝑛((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))))
43mpteq2dv 4879 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → (𝑔 ∈ V ↦ (♯‘dom 𝑔) / 𝑛((𝑥𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1))))) = (𝑔 ∈ V ↦ (♯‘dom 𝑔) / 𝑛((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1))))))
5 bpoly.1 . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑔 ∈ V ↦ (♯‘dom 𝑔) / 𝑛((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))))
64, 5syl6eqr 2823 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝑔 ∈ V ↦ (♯‘dom 𝑔) / 𝑛((𝑥𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1))))) = 𝐺)
7 wrecseq3 7564 . . . . . . 7 ((𝑔 ∈ V ↦ (♯‘dom 𝑔) / 𝑛((𝑥𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1))))) = 𝐺 → wrecs( < , ℕ0, (𝑔 ∈ V ↦ (♯‘dom 𝑔) / 𝑛((𝑥𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))))) = wrecs( < , ℕ0, 𝐺))
86, 7syl 17 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → wrecs( < , ℕ0, (𝑔 ∈ V ↦ (♯‘dom 𝑔) / 𝑛((𝑥𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))))) = wrecs( < , ℕ0, 𝐺))
9 bpoly.2 . . . . . 6 𝐹 = wrecs( < , ℕ0, 𝐺)
108, 9syl6eqr 2823 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → wrecs( < , ℕ0, (𝑔 ∈ V ↦ (♯‘dom 𝑔) / 𝑛((𝑥𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))))) = 𝐹)
1110fveq1d 6334 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (wrecs( < , ℕ0, (𝑔 ∈ V ↦ (♯‘dom 𝑔) / 𝑛((𝑥𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1))))))‘𝑚) = (𝐹𝑚))
12 fveq2 6332 . . . 4 (𝑚 = 𝑁 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑁))
1311, 12sylan9eqr 2827 . . 3 ((𝑚 = 𝑁𝑥 = 𝑋) → (wrecs( < , ℕ0, (𝑔 ∈ V ↦ (♯‘dom 𝑔) / 𝑛((𝑥𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1))))))‘𝑚) = (𝐹𝑁))
14 df-bpoly 14984 . . 3 BernPoly = (𝑚 ∈ ℕ0, 𝑥 ∈ ℂ ↦ (wrecs( < , ℕ0, (𝑔 ∈ V ↦ (♯‘dom 𝑔) / 𝑛((𝑥𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1))))))‘𝑚))
15 fvex 6342 . . 3 (𝐹𝑁) ∈ V
1613, 14, 15ovmpt2a 6938 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (𝑁 BernPoly 𝑋) = (𝐹𝑁))
17 ltweuz 12968 . . . . 5 < We (ℤ‘0)
18 nn0uz 11924 . . . . . 6 0 = (ℤ‘0)
19 weeq2 5238 . . . . . 6 (ℕ0 = (ℤ‘0) → ( < We ℕ0 ↔ < We (ℤ‘0)))
2018, 19ax-mp 5 . . . . 5 ( < We ℕ0 ↔ < We (ℤ‘0))
2117, 20mpbir 221 . . . 4 < We ℕ0
22 nn0ex 11500 . . . . 5 0 ∈ V
23 exse 5213 . . . . 5 (ℕ0 ∈ V → < Se ℕ0)
2422, 23ax-mp 5 . . . 4 < Se ℕ0
2521, 24, 9wfr2 7587 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐹𝑁) = (𝐺‘(𝐹 ↾ Pred( < , ℕ0, 𝑁))))
2625adantr 466 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (𝐹𝑁) = (𝐺‘(𝐹 ↾ Pred( < , ℕ0, 𝑁))))
27 prednn0 12671 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → Pred( < , ℕ0, 𝑁) = (0...(𝑁 − 1)))
2827adantr 466 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → Pred( < , ℕ0, 𝑁) = (0...(𝑁 − 1)))
2928reseq2d 5534 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (𝐹 ↾ Pred( < , ℕ0, 𝑁)) = (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))))
3029fveq2d 6336 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (𝐺‘(𝐹 ↾ Pred( < , ℕ0, 𝑁))) = (𝐺‘(𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1)))))
3121, 24, 9wfrfun 7578 . . . . . 6 Fun 𝐹
32 ovex 6823 . . . . . 6 (0...(𝑁 − 1)) ∈ V
33 resfunexg 6623 . . . . . 6 ((Fun 𝐹 ∧ (0...(𝑁 − 1)) ∈ V) → (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) ∈ V)
3431, 32, 33mp2an 672 . . . . 5 (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) ∈ V
35 dmeq 5462 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) → dom 𝑔 = dom (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))))
3621, 24, 9wfr1 7586 . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 Fn ℕ0
37 fz0ssnn0 12642 . . . . . . . . . . . . 13 (0...(𝑁 − 1)) ⊆ ℕ0
38 fnssres 6144 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 Fn ℕ0 ∧ (0...(𝑁 − 1)) ⊆ ℕ0) → (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) Fn (0...(𝑁 − 1)))
3936, 37, 38mp2an 672 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) Fn (0...(𝑁 − 1))
40 fndm 6130 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) Fn (0...(𝑁 − 1)) → dom (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) = (0...(𝑁 − 1)))
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 dom (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) = (0...(𝑁 − 1))
4235, 41syl6eq 2821 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) → dom 𝑔 = (0...(𝑁 − 1)))
43 fveq1 6331 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑔𝑘) = ((𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1)))‘𝑘))
44 fvres 6348 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → ((𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1)))‘𝑘) = (𝐹𝑘))
4543, 44sylan9eq 2825 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑔 = (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑔𝑘) = (𝐹𝑘))
4645oveq1d 6808 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔 = (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)) = ((𝐹𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))
4746oveq2d 6809 . . . . . . . . . 10 ((𝑔 = (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1))) = ((𝑛C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1))))
4842, 47sumeq12rdv 14646 . . . . . . . . 9 (𝑔 = (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) → Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1))))
4948oveq2d 6809 . . . . . . . 8 (𝑔 = (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))) = ((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))))
5049csbeq2dv 4136 . . . . . . 7 (𝑔 = (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) → (♯‘dom 𝑔) / 𝑛((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))) = (♯‘dom 𝑔) / 𝑛((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))))
5142fveq2d 6336 . . . . . . . 8 (𝑔 = (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) → (♯‘dom 𝑔) = (♯‘(0...(𝑁 − 1))))
5251csbeq1d 3689 . . . . . . 7 (𝑔 = (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) → (♯‘dom 𝑔) / 𝑛((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))) = (♯‘(0...(𝑁 − 1))) / 𝑛((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))))
5350, 52eqtrd 2805 . . . . . 6 (𝑔 = (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) → (♯‘dom 𝑔) / 𝑛((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))) = (♯‘(0...(𝑁 − 1))) / 𝑛((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))))
54 ovex 6823 . . . . . . 7 ((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))) ∈ V
5554csbex 4927 . . . . . 6 (♯‘(0...(𝑁 − 1))) / 𝑛((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))) ∈ V
5653, 5, 55fvmpt 6424 . . . . 5 ((𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) ∈ V → (𝐺‘(𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1)))) = (♯‘(0...(𝑁 − 1))) / 𝑛((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))))
5734, 56ax-mp 5 . . . 4 (𝐺‘(𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1)))) = (♯‘(0...(𝑁 − 1))) / 𝑛((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1))))
58 nfcvd 2914 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑛((𝑋𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑁𝑘) + 1)))))
59 oveq2 6801 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁 → (𝑋𝑛) = (𝑋𝑁))
60 oveq1 6800 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛C𝑘) = (𝑁C𝑘))
61 oveq1 6800 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛𝑘) = (𝑁𝑘))
6261oveq1d 6808 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑁 → ((𝑛𝑘) + 1) = ((𝑁𝑘) + 1))
6362oveq2d 6809 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑁 → ((𝐹𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)) = ((𝐹𝑘) / ((𝑁𝑘) + 1)))
6460, 63oveq12d 6811 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑁 → ((𝑛C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1))) = ((𝑁C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑁𝑘) + 1))))
6564sumeq2sdv 14643 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑁𝑘) + 1))))
6659, 65oveq12d 6811 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → ((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))) = ((𝑋𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑁𝑘) + 1)))))
6758, 66csbiegf 3706 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 / 𝑛((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))) = ((𝑋𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑁𝑘) + 1)))))
6867adantr 466 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → 𝑁 / 𝑛((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))) = ((𝑋𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑁𝑘) + 1)))))
69 nn0z 11602 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
70 fz01en 12576 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (0...(𝑁 − 1)) ≈ (1...𝑁))
7169, 70syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0...(𝑁 − 1)) ≈ (1...𝑁))
72 fzfi 12979 . . . . . . . . . 10 (0...(𝑁 − 1)) ∈ Fin
73 fzfi 12979 . . . . . . . . . 10 (1...𝑁) ∈ Fin
74 hashen 13339 . . . . . . . . . 10 (((0...(𝑁 − 1)) ∈ Fin ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → ((♯‘(0...(𝑁 − 1))) = (♯‘(1...𝑁)) ↔ (0...(𝑁 − 1)) ≈ (1...𝑁)))
7572, 73, 74mp2an 672 . . . . . . . . 9 ((♯‘(0...(𝑁 − 1))) = (♯‘(1...𝑁)) ↔ (0...(𝑁 − 1)) ≈ (1...𝑁))
7671, 75sylibr 224 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(0...(𝑁 − 1))) = (♯‘(1...𝑁)))
77 hashfz1 13338 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
7876, 77eqtrd 2805 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(0...(𝑁 − 1))) = 𝑁)
7978adantr 466 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (♯‘(0...(𝑁 − 1))) = 𝑁)
8079csbeq1d 3689 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (♯‘(0...(𝑁 − 1))) / 𝑛((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))) = 𝑁 / 𝑛((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))))
81 elfznn0 12640 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
82 simpr 471 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → 𝑋 ∈ ℂ)
83 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑘 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑘))
8411, 83sylan9eqr 2827 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 = 𝑘𝑥 = 𝑋) → (wrecs( < , ℕ0, (𝑔 ∈ V ↦ (♯‘dom 𝑔) / 𝑛((𝑥𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1))))))‘𝑚) = (𝐹𝑘))
85 fvex 6342 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝑘) ∈ V
8684, 14, 85ovmpt2a 6938 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (𝑘 BernPoly 𝑋) = (𝐹𝑘))
8781, 82, 86syl2anr 584 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑘 BernPoly 𝑋) = (𝐹𝑘))
8887oveq1d 6808 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)) = ((𝐹𝑘) / ((𝑁𝑘) + 1)))
8988oveq2d 6809 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))) = ((𝑁C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑁𝑘) + 1))))
9089sumeq2dv 14641 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑁𝑘) + 1))))
9190oveq2d 6809 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑋𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)))) = ((𝑋𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑁𝑘) + 1)))))
9268, 80, 913eqtr4d 2815 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (♯‘(0...(𝑁 − 1))) / 𝑛((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))) = ((𝑋𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)))))
9357, 92syl5eq 2817 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (𝐺‘(𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1)))) = ((𝑋𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)))))
9430, 93eqtrd 2805 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (𝐺‘(𝐹 ↾ Pred( < , ℕ0, 𝑁))) = ((𝑋𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)))))
9516, 26, 943eqtrd 2809 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (𝑁 BernPoly 𝑋) = ((𝑋𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  Vcvv 3351  csb 3682  wss 3723   class class class wbr 4786  cmpt 4863   Se wse 5206   We wwe 5207  dom cdm 5249  cres 5251  Predcpred 5822  Fun wfun 6025   Fn wfn 6026  cfv 6031  (class class class)co 6793  wrecscwrecs 7558  cen 8106  Fincfn 8109  cc 10136  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   · cmul 10143   < clt 10276  cmin 10468   / cdiv 10886  0cn0 11494  cz 11579  cuz 11888  ...cfz 12533  cexp 13067  Ccbc 13293  chash 13321  Σcsu 14624   BernPoly cbp 14983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-seq 13009  df-hash 13322  df-sum 14625  df-bpoly 14984
This theorem is referenced by:  bpolyval  14986
  Copyright terms: Public domain W3C validator