MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bpolylem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bpolylem 15996
Description: Lemma for bpolyval 15997. (Contributed by Scott Fenton, 22-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bpoly.1 ๐บ = (๐‘” โˆˆ V โ†ฆ โฆ‹(โ™ฏโ€˜dom ๐‘”) / ๐‘›โฆŒ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
bpoly.2 ๐น = wrecs( < , โ„•0, ๐บ)
Assertion
Ref Expression
bpolylem ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ BernPoly ๐‘‹) = ((๐‘‹โ†‘๐‘) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
Distinct variable groups:   ๐‘”,๐‘˜,๐‘›,๐น   ๐‘”,๐‘,๐‘˜,๐‘›   ๐‘”,๐‘‹,๐‘˜,๐‘›
Allowed substitution hints:   ๐บ(๐‘”,๐‘˜,๐‘›)

Proof of Theorem bpolylem
Dummy variables ๐‘š ๐‘ฅ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7418 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘ฅโ†‘๐‘›) = (๐‘‹โ†‘๐‘›))
21oveq1d 7426 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ ((๐‘ฅโ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))) = ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
32csbeq2dv 3899 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ โฆ‹(โ™ฏโ€˜dom ๐‘”) / ๐‘›โฆŒ((๐‘ฅโ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))) = โฆ‹(โ™ฏโ€˜dom ๐‘”) / ๐‘›โฆŒ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
43mpteq2dv 5249 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘” โˆˆ V โ†ฆ โฆ‹(โ™ฏโ€˜dom ๐‘”) / ๐‘›โฆŒ((๐‘ฅโ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1))))) = (๐‘” โˆˆ V โ†ฆ โฆ‹(โ™ฏโ€˜dom ๐‘”) / ๐‘›โฆŒ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1))))))
5 bpoly.1 . . . . . . . 8 ๐บ = (๐‘” โˆˆ V โ†ฆ โฆ‹(โ™ฏโ€˜dom ๐‘”) / ๐‘›โฆŒ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
64, 5eqtr4di 2788 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘” โˆˆ V โ†ฆ โฆ‹(โ™ฏโ€˜dom ๐‘”) / ๐‘›โฆŒ((๐‘ฅโ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1))))) = ๐บ)
7 wrecseq3 8307 . . . . . . 7 ((๐‘” โˆˆ V โ†ฆ โฆ‹(โ™ฏโ€˜dom ๐‘”) / ๐‘›โฆŒ((๐‘ฅโ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1))))) = ๐บ โ†’ wrecs( < , โ„•0, (๐‘” โˆˆ V โ†ฆ โฆ‹(โ™ฏโ€˜dom ๐‘”) / ๐‘›โฆŒ((๐‘ฅโ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))) = wrecs( < , โ„•0, ๐บ))
86, 7syl 17 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ wrecs( < , โ„•0, (๐‘” โˆˆ V โ†ฆ โฆ‹(โ™ฏโ€˜dom ๐‘”) / ๐‘›โฆŒ((๐‘ฅโ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))) = wrecs( < , โ„•0, ๐บ))
9 bpoly.2 . . . . . 6 ๐น = wrecs( < , โ„•0, ๐บ)
108, 9eqtr4di 2788 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ wrecs( < , โ„•0, (๐‘” โˆˆ V โ†ฆ โฆ‹(โ™ฏโ€˜dom ๐‘”) / ๐‘›โฆŒ((๐‘ฅโ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))) = ๐น)
1110fveq1d 6892 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (wrecs( < , โ„•0, (๐‘” โˆˆ V โ†ฆ โฆ‹(โ™ฏโ€˜dom ๐‘”) / ๐‘›โฆŒ((๐‘ฅโ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1))))))โ€˜๐‘š) = (๐นโ€˜๐‘š))
12 fveq2 6890 . . . 4 (๐‘š = ๐‘ โ†’ (๐นโ€˜๐‘š) = (๐นโ€˜๐‘))
1311, 12sylan9eqr 2792 . . 3 ((๐‘š = ๐‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โ†’ (wrecs( < , โ„•0, (๐‘” โˆˆ V โ†ฆ โฆ‹(โ™ฏโ€˜dom ๐‘”) / ๐‘›โฆŒ((๐‘ฅโ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1))))))โ€˜๐‘š) = (๐นโ€˜๐‘))
14 df-bpoly 15995 . . 3 BernPoly = (๐‘š โˆˆ โ„•0, ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (wrecs( < , โ„•0, (๐‘” โˆˆ V โ†ฆ โฆ‹(โ™ฏโ€˜dom ๐‘”) / ๐‘›โฆŒ((๐‘ฅโ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1))))))โ€˜๐‘š))
15 fvex 6903 . . 3 (๐นโ€˜๐‘) โˆˆ V
1613, 14, 15ovmpoa 7565 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ BernPoly ๐‘‹) = (๐นโ€˜๐‘))
17 ltweuz 13930 . . . . 5 < We (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
18 nn0uz 12868 . . . . . 6 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
19 weeq2 5664 . . . . . 6 (โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0) โ†’ ( < We โ„•0 โ†” < We (โ„คโ‰ฅโ€˜0)))
2018, 19ax-mp 5 . . . . 5 ( < We โ„•0 โ†” < We (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
2117, 20mpbir 230 . . . 4 < We โ„•0
22 nn0ex 12482 . . . . 5 โ„•0 โˆˆ V
23 exse 5638 . . . . 5 (โ„•0 โˆˆ V โ†’ < Se โ„•0)
2422, 23ax-mp 5 . . . 4 < Se โ„•0
259wfr2 8338 . . . 4 ((( < We โ„•0 โˆง < Se โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜๐‘) = (๐บโ€˜(๐น โ†พ Pred( < , โ„•0, ๐‘))))
2621, 24, 25mpanl12 698 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐นโ€˜๐‘) = (๐บโ€˜(๐น โ†พ Pred( < , โ„•0, ๐‘))))
2726adantr 479 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐นโ€˜๐‘) = (๐บโ€˜(๐น โ†พ Pred( < , โ„•0, ๐‘))))
28 prednn0 13629 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ Pred( < , โ„•0, ๐‘) = (0...(๐‘ โˆ’ 1)))
2928adantr 479 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ Pred( < , โ„•0, ๐‘) = (0...(๐‘ โˆ’ 1)))
3029reseq2d 5980 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐น โ†พ Pred( < , โ„•0, ๐‘)) = (๐น โ†พ (0...(๐‘ โˆ’ 1))))
3130fveq2d 6894 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐บโ€˜(๐น โ†พ Pred( < , โ„•0, ๐‘))) = (๐บโ€˜(๐น โ†พ (0...(๐‘ โˆ’ 1)))))
329wfrfun 8334 . . . . . . 7 (( < We โ„•0 โˆง < Se โ„•0) โ†’ Fun ๐น)
3321, 24, 32mp2an 688 . . . . . 6 Fun ๐น
34 ovex 7444 . . . . . 6 (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ V
35 resfunexg 7218 . . . . . 6 ((Fun ๐น โˆง (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ V) โ†’ (๐น โ†พ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ V)
3633, 34, 35mp2an 688 . . . . 5 (๐น โ†พ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ V
37 dmeq 5902 . . . . . . . . 9 (๐‘” = (๐น โ†พ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ dom ๐‘” = dom (๐น โ†พ (0...(๐‘ โˆ’ 1))))
389wfr1 8337 . . . . . . . . . . . 12 (( < We โ„•0 โˆง < Se โ„•0) โ†’ ๐น Fn โ„•0)
3921, 24, 38mp2an 688 . . . . . . . . . . 11 ๐น Fn โ„•0
40 fz0ssnn0 13600 . . . . . . . . . . 11 (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โŠ† โ„•0
41 fnssres 6672 . . . . . . . . . . 11 ((๐น Fn โ„•0 โˆง (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โŠ† โ„•0) โ†’ (๐น โ†พ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) Fn (0...(๐‘ โˆ’ 1)))
4239, 40, 41mp2an 688 . . . . . . . . . 10 (๐น โ†พ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) Fn (0...(๐‘ โˆ’ 1))
4342fndmi 6652 . . . . . . . . 9 dom (๐น โ†พ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) = (0...(๐‘ โˆ’ 1))
4437, 43eqtrdi 2786 . . . . . . . 8 (๐‘” = (๐น โ†พ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ dom ๐‘” = (0...(๐‘ โˆ’ 1)))
4544fveq2d 6894 . . . . . . 7 (๐‘” = (๐น โ†พ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (โ™ฏโ€˜dom ๐‘”) = (โ™ฏโ€˜(0...(๐‘ โˆ’ 1))))
46 fveq1 6889 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘” = (๐น โ†พ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘”โ€˜๐‘˜) = ((๐น โ†พ (0...(๐‘ โˆ’ 1)))โ€˜๐‘˜))
47 fvres 6909 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ((๐น โ†พ (0...(๐‘ โˆ’ 1)))โ€˜๐‘˜) = (๐นโ€˜๐‘˜))
4846, 47sylan9eq 2790 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘” = (๐น โ†พ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘”โ€˜๐‘˜) = (๐นโ€˜๐‘˜))
4948oveq1d 7426 . . . . . . . . . 10 ((๐‘” = (๐น โ†พ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)) = ((๐นโ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))
5049oveq2d 7427 . . . . . . . . 9 ((๐‘” = (๐น โ†พ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = ((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐นโ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1))))
5144, 50sumeq12rdv 15657 . . . . . . . 8 (๐‘” = (๐น โ†พ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐นโ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1))))
5251oveq2d 7427 . . . . . . 7 (๐‘” = (๐น โ†พ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))) = ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐นโ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
5345, 52csbeq12dv 3901 . . . . . 6 (๐‘” = (๐น โ†พ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ โฆ‹(โ™ฏโ€˜dom ๐‘”) / ๐‘›โฆŒ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))) = โฆ‹(โ™ฏโ€˜(0...(๐‘ โˆ’ 1))) / ๐‘›โฆŒ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐นโ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
54 ovex 7444 . . . . . . 7 ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐นโ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))) โˆˆ V
5554csbex 5310 . . . . . 6 โฆ‹(โ™ฏโ€˜(0...(๐‘ โˆ’ 1))) / ๐‘›โฆŒ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐นโ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))) โˆˆ V
5653, 5, 55fvmpt 6997 . . . . 5 ((๐น โ†พ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ V โ†’ (๐บโ€˜(๐น โ†พ (0...(๐‘ โˆ’ 1)))) = โฆ‹(โ™ฏโ€˜(0...(๐‘ โˆ’ 1))) / ๐‘›โฆŒ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐นโ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
5736, 56ax-mp 5 . . . 4 (๐บโ€˜(๐น โ†พ (0...(๐‘ โˆ’ 1)))) = โฆ‹(โ™ฏโ€˜(0...(๐‘ โˆ’ 1))) / ๐‘›โฆŒ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐นโ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1))))
58 nfcvd 2902 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ โ„ฒ๐‘›((๐‘‹โ†‘๐‘) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐นโ€˜๐‘˜) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
59 oveq2 7419 . . . . . . . 8 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (๐‘‹โ†‘๐‘›) = (๐‘‹โ†‘๐‘))
60 oveq1 7418 . . . . . . . . . 10 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (๐‘›C๐‘˜) = (๐‘C๐‘˜))
61 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (๐‘› โˆ’ ๐‘˜) = (๐‘ โˆ’ ๐‘˜))
6261oveq1d 7426 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› = ๐‘ โ†’ ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1) = ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1))
6362oveq2d 7427 . . . . . . . . . 10 (๐‘› = ๐‘ โ†’ ((๐นโ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)) = ((๐นโ€˜๐‘˜) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1)))
6460, 63oveq12d 7429 . . . . . . . . 9 (๐‘› = ๐‘ โ†’ ((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐นโ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = ((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐นโ€˜๐‘˜) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1))))
6564sumeq2sdv 15654 . . . . . . . 8 (๐‘› = ๐‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐นโ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐นโ€˜๐‘˜) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1))))
6659, 65oveq12d 7429 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘ โ†’ ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐นโ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))) = ((๐‘‹โ†‘๐‘) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐นโ€˜๐‘˜) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
6758, 66csbiegf 3926 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ โฆ‹๐‘ / ๐‘›โฆŒ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐นโ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))) = ((๐‘‹โ†‘๐‘) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐นโ€˜๐‘˜) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
6867adantr 479 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ โฆ‹๐‘ / ๐‘›โฆŒ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐นโ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))) = ((๐‘‹โ†‘๐‘) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐นโ€˜๐‘˜) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
69 nn0z 12587 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
70 fz01en 13533 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โ‰ˆ (1...๐‘))
7169, 70syl 17 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โ‰ˆ (1...๐‘))
72 fzfi 13941 . . . . . . . . . 10 (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ Fin
73 fzfi 13941 . . . . . . . . . 10 (1...๐‘) โˆˆ Fin
74 hashen 14311 . . . . . . . . . 10 (((0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ Fin โˆง (1...๐‘) โˆˆ Fin) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(0...(๐‘ โˆ’ 1))) = (โ™ฏโ€˜(1...๐‘)) โ†” (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โ‰ˆ (1...๐‘)))
7572, 73, 74mp2an 688 . . . . . . . . 9 ((โ™ฏโ€˜(0...(๐‘ โˆ’ 1))) = (โ™ฏโ€˜(1...๐‘)) โ†” (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โ‰ˆ (1...๐‘))
7671, 75sylibr 233 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ™ฏโ€˜(0...(๐‘ โˆ’ 1))) = (โ™ฏโ€˜(1...๐‘)))
77 hashfz1 14310 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...๐‘)) = ๐‘)
7876, 77eqtrd 2770 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ™ฏโ€˜(0...(๐‘ โˆ’ 1))) = ๐‘)
7978adantr 479 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ™ฏโ€˜(0...(๐‘ โˆ’ 1))) = ๐‘)
8079csbeq1d 3896 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ โฆ‹(โ™ฏโ€˜(0...(๐‘ โˆ’ 1))) / ๐‘›โฆŒ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐นโ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))) = โฆ‹๐‘ / ๐‘›โฆŒ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐นโ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
81 elfznn0 13598 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
82 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
83 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š = ๐‘˜ โ†’ (๐นโ€˜๐‘š) = (๐นโ€˜๐‘˜))
8411, 83sylan9eqr 2792 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘š = ๐‘˜ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โ†’ (wrecs( < , โ„•0, (๐‘” โˆˆ V โ†ฆ โฆ‹(โ™ฏโ€˜dom ๐‘”) / ๐‘›โฆŒ((๐‘ฅโ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1))))))โ€˜๐‘š) = (๐นโ€˜๐‘˜))
85 fvex 6903 . . . . . . . . . . 11 (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ V
8684, 14, 85ovmpoa 7565 . . . . . . . . . 10 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) = (๐นโ€˜๐‘˜))
8781, 82, 86syl2anr 595 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) = (๐นโ€˜๐‘˜))
8887oveq1d 7426 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1)) = ((๐นโ€˜๐‘˜) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1)))
8988oveq2d 7427 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = ((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐นโ€˜๐‘˜) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1))))
9089sumeq2dv 15653 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐นโ€˜๐‘˜) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1))))
9190oveq2d 7427 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘‹โ†‘๐‘) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1)))) = ((๐‘‹โ†‘๐‘) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐นโ€˜๐‘˜) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
9268, 80, 913eqtr4d 2780 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ โฆ‹(โ™ฏโ€˜(0...(๐‘ โˆ’ 1))) / ๐‘›โฆŒ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐นโ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))) = ((๐‘‹โ†‘๐‘) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
9357, 92eqtrid 2782 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐บโ€˜(๐น โ†พ (0...(๐‘ โˆ’ 1)))) = ((๐‘‹โ†‘๐‘) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
9431, 93eqtrd 2770 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐บโ€˜(๐น โ†พ Pred( < , โ„•0, ๐‘))) = ((๐‘‹โ†‘๐‘) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
9516, 27, 943eqtrd 2774 1 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ BernPoly ๐‘‹) = ((๐‘‹โ†‘๐‘) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  Vcvv 3472  โฆ‹csb 3892   โŠ† wss 3947   class class class wbr 5147   โ†ฆ cmpt 5230   Se wse 5628   We wwe 5629  dom cdm 5675   โ†พ cres 5677  Predcpred 6298  Fun wfun 6536   Fn wfn 6537  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  wrecscwrecs 8298   โ‰ˆ cen 8938  Fincfn 8941  โ„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  โ„คโ‰ฅcuz 12826  ...cfz 13488  โ†‘cexp 14031  Ccbc 14266  โ™ฏchash 14294  ฮฃcsu 15636   BernPoly cbp 15994
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-seq 13971  df-hash 14295  df-sum 15637  df-bpoly 15995
This theorem is referenced by:  bpolyval  15997
  Copyright terms: Public domain W3C validator