Theorem bpolylem 15965

Description: Lemma for bpolyval 15966. (Contributed by Scott Fenton, 22-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
bpoly.1	⊢ 𝐺 = (𝑔 ∈ V ↦ ⦋(♯‘dom 𝑔) / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))))
bpoly.2	⊢ 𝐹 = wrecs( < , ℕ0, 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
bpolylem	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑁 BernPoly 𝑋) = ((𝑋↑𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1)))))

Distinct variable groups:   𝑔,𝑘,𝑛,𝐹   𝑔,𝑁,𝑘,𝑛   𝑔,𝑋,𝑘,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑔,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem bpolylem

Dummy variables 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥↑𝑛) = (𝑋↑𝑛))
2	1	oveq1d 7370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))) = ((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))))
3	2	csbeq2dv 3854	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ⦋(♯‘dom 𝑔) / 𝑛⦌((𝑥↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))) = ⦋(♯‘dom 𝑔) / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))))
4	3	mpteq2dv 5189	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑔 ∈ V ↦ ⦋(♯‘dom 𝑔) / 𝑛⦌((𝑥↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))))) = (𝑔 ∈ V ↦ ⦋(♯‘dom 𝑔) / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))))))
5		bpoly.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑔 ∈ V ↦ ⦋(♯‘dom 𝑔) / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))))
6	4, 5	eqtr4di 2786	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑔 ∈ V ↦ ⦋(♯‘dom 𝑔) / 𝑛⦌((𝑥↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))))) = 𝐺)
7		wrecseq3 8256	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 ∈ V ↦ ⦋(♯‘dom 𝑔) / 𝑛⦌((𝑥↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))))) = 𝐺 → wrecs( < , ℕ0, (𝑔 ∈ V ↦ ⦋(♯‘dom 𝑔) / 𝑛⦌((𝑥↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))))) = wrecs( < , ℕ0, 𝐺))
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → wrecs( < , ℕ0, (𝑔 ∈ V ↦ ⦋(♯‘dom 𝑔) / 𝑛⦌((𝑥↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))))) = wrecs( < , ℕ0, 𝐺))
9		bpoly.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = wrecs( < , ℕ0, 𝐺)
10	8, 9	eqtr4di 2786	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → wrecs( < , ℕ0, (𝑔 ∈ V ↦ ⦋(♯‘dom 𝑔) / 𝑛⦌((𝑥↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))))) = 𝐹)
11	10	fveq1d 6833	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (wrecs( < , ℕ0, (𝑔 ∈ V ↦ ⦋(♯‘dom 𝑔) / 𝑛⦌((𝑥↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))))))‘𝑚) = (𝐹‘𝑚))
12		fveq2 6831	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑁))
13	11, 12	sylan9eqr 2790	. . 3 ⊢ ((𝑚 = 𝑁 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (wrecs( < , ℕ0, (𝑔 ∈ V ↦ ⦋(♯‘dom 𝑔) / 𝑛⦌((𝑥↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))))))‘𝑚) = (𝐹‘𝑁))
14		df-bpoly 15964	. . 3 ⊢ BernPoly = (𝑚 ∈ ℕ0, 𝑥 ∈ ℂ ↦ (wrecs( < , ℕ0, (𝑔 ∈ V ↦ ⦋(♯‘dom 𝑔) / 𝑛⦌((𝑥↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))))))‘𝑚))
15		fvex 6844	. . 3 ⊢ (𝐹‘𝑁) ∈ V
16	13, 14, 15	ovmpoa 7510	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑁 BernPoly 𝑋) = (𝐹‘𝑁))
17		ltweuz 13878	. . . . 5 ⊢ < We (ℤ≥‘0)
18		nn0uz 12784	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
19		weeq2 5609	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 = (ℤ≥‘0) → ( < We ℕ0 ↔ < We (ℤ≥‘0)))
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ( < We ℕ0 ↔ < We (ℤ≥‘0))
21	17, 20	mpbir 231	. . . 4 ⊢ < We ℕ0
22		nn0ex 12397	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
23		exse 5581	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ∈ V → < Se ℕ0)
24	22, 23	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ < Se ℕ0
25	9	wfr2 8266	. . . 4 ⊢ ((( < We ℕ0 ∧ < Se ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑁) = (𝐺‘(𝐹 ↾ Pred( < , ℕ0, 𝑁))))
26	21, 24, 25	mpanl12 702	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑁) = (𝐺‘(𝐹 ↾ Pred( < , ℕ0, 𝑁))))
27	26	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑁) = (𝐺‘(𝐹 ↾ Pred( < , ℕ0, 𝑁))))
28		prednn0 13562	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Pred( < , ℕ0, 𝑁) = (0...(𝑁 − 1)))
29	28	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → Pred( < , ℕ0, 𝑁) = (0...(𝑁 − 1)))
30	29	reseq2d 5935	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝐹 ↾ Pred( < , ℕ0, 𝑁)) = (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))))
31	30	fveq2d 6835	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝐺‘(𝐹 ↾ Pred( < , ℕ0, 𝑁))) = (𝐺‘(𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1)))))
32	9	wfrfun 8262	. . . . . . 7 ⊢ (( < We ℕ0 ∧ < Se ℕ0) → Fun 𝐹)
33	21, 24, 32	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ Fun 𝐹
34		ovex 7388	. . . . . 6 ⊢ (0...(𝑁 − 1)) ∈ V
35		resfunexg 7158	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ (0...(𝑁 − 1)) ∈ V) → (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) ∈ V)
36	33, 34, 35	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) ∈ V
37		dmeq 5850	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) → dom 𝑔 = dom (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))))
38	9	wfr1 8265	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (( < We ℕ0 ∧ < Se ℕ0) → 𝐹 Fn ℕ0)
39	21, 24, 38	mp2an 692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 Fn ℕ0
40		fz0ssnn0 13532	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0...(𝑁 − 1)) ⊆ ℕ0
41		fnssres 6612	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 Fn ℕ0 ∧ (0...(𝑁 − 1)) ⊆ ℕ0) → (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) Fn (0...(𝑁 − 1)))
42	39, 40, 41	mp2an 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) Fn (0...(𝑁 − 1))
43	42	fndmi 6593	. . . . . . . . 9 ⊢ dom (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) = (0...(𝑁 − 1))
44	37, 43	eqtrdi 2784	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) → dom 𝑔 = (0...(𝑁 − 1)))
45	44	fveq2d 6835	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) → (♯‘dom 𝑔) = (♯‘(0...(𝑁 − 1))))
46		fveq1 6830	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 = (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑔‘𝑘) = ((𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1)))‘𝑘))
47		fvres 6850	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → ((𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1)))‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
48	46, 47	sylan9eq 2788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑔 = (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑔‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
49	48	oveq1d 7370	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑔 = (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)) = ((𝐹‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))
50	49	oveq2d 7371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑔 = (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))) = ((𝑛C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))))
51	44, 50	sumeq12rdv 15624	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) → Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))))
52	51	oveq2d 7371	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))) = ((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))))
53	45, 52	csbeq12dv 3856	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) → ⦋(♯‘dom 𝑔) / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))) = ⦋(♯‘(0...(𝑁 − 1))) / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))))
54		ovex 7388	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))) ∈ V
55	54	csbex 5253	. . . . . 6 ⊢ ⦋(♯‘(0...(𝑁 − 1))) / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))) ∈ V
56	53, 5, 55	fvmpt 6938	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) ∈ V → (𝐺‘(𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1)))) = ⦋(♯‘(0...(𝑁 − 1))) / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))))
57	36, 56	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝐺‘(𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1)))) = ⦋(♯‘(0...(𝑁 − 1))) / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))))
58		nfcvd 2897	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Ⅎ𝑛((𝑋↑𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑁 − 𝑘) + 1)))))
59		oveq2 7363	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑋↑𝑛) = (𝑋↑𝑁))
60		oveq1 7362	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛C𝑘) = (𝑁C𝑘))
61		oveq1 7362	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 − 𝑘) = (𝑁 − 𝑘))
62	61	oveq1d 7370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝑛 − 𝑘) + 1) = ((𝑁 − 𝑘) + 1))
63	62	oveq2d 7371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝐹‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)) = ((𝐹‘𝑘) / ((𝑁 − 𝑘) + 1)))
64	60, 63	oveq12d 7373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝑛C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))) = ((𝑁C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑁 − 𝑘) + 1))))
65	64	sumeq2sdv 15620	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑁 − 𝑘) + 1))))
66	59, 65	oveq12d 7373	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))) = ((𝑋↑𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑁 − 𝑘) + 1)))))
67	58, 66	csbiegf 3880	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))) = ((𝑋↑𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑁 − 𝑘) + 1)))))
68	67	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))) = ((𝑋↑𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑁 − 𝑘) + 1)))))
69		nn0z 12503	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
70		fz01en 13462	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0...(𝑁 − 1)) ≈ (1...𝑁))
71	69, 70	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0...(𝑁 − 1)) ≈ (1...𝑁))
72		fzfi 13889	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0...(𝑁 − 1)) ∈ Fin
73		fzfi 13889	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1...𝑁) ∈ Fin
74		hashen 14264	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((0...(𝑁 − 1)) ∈ Fin ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → ((♯‘(0...(𝑁 − 1))) = (♯‘(1...𝑁)) ↔ (0...(𝑁 − 1)) ≈ (1...𝑁)))
75	72, 73, 74	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘(0...(𝑁 − 1))) = (♯‘(1...𝑁)) ↔ (0...(𝑁 − 1)) ≈ (1...𝑁))
76	71, 75	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(0...(𝑁 − 1))) = (♯‘(1...𝑁)))
77		hashfz1 14263	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
78	76, 77	eqtrd 2768	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(0...(𝑁 − 1))) = 𝑁)
79	78	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (♯‘(0...(𝑁 − 1))) = 𝑁)
80	79	csbeq1d 3851	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ⦋(♯‘(0...(𝑁 − 1))) / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))) = ⦋𝑁 / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))))
81		elfznn0 13530	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
82		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → 𝑋 ∈ ℂ)
83		fveq2 6831	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑘))
84	11, 83	sylan9eqr 2790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 = 𝑘 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (wrecs( < , ℕ0, (𝑔 ∈ V ↦ ⦋(♯‘dom 𝑔) / 𝑛⦌((𝑥↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))))))‘𝑚) = (𝐹‘𝑘))
85		fvex 6844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹‘𝑘) ∈ V
86	84, 14, 85	ovmpoa 7510	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑘 BernPoly 𝑋) = (𝐹‘𝑘))
87	81, 82, 86	syl2anr 597	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑘 BernPoly 𝑋) = (𝐹‘𝑘))
88	87	oveq1d 7370	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1)) = ((𝐹‘𝑘) / ((𝑁 − 𝑘) + 1)))
89	88	oveq2d 7371	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1))) = ((𝑁C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑁 − 𝑘) + 1))))
90	89	sumeq2dv 15619	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑁 − 𝑘) + 1))))
91	90	oveq2d 7371	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑋↑𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1)))) = ((𝑋↑𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑁 − 𝑘) + 1)))))
92	68, 80, 91	3eqtr4d 2778	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ⦋(♯‘(0...(𝑁 − 1))) / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))) = ((𝑋↑𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1)))))
93	57, 92	eqtrid 2780	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝐺‘(𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1)))) = ((𝑋↑𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1)))))
94	31, 93	eqtrd 2768	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝐺‘(𝐹 ↾ Pred( < , ℕ0, 𝑁))) = ((𝑋↑𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1)))))
95	16, 27, 94	3eqtrd 2772	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑁 BernPoly 𝑋) = ((𝑋↑𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3438  ⦋csb 3847   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176   Se wse 5572   We wwe 5573  dom cdm 5621   ↾ cres 5623  Predcpred 6255  Fun wfun 6483   Fn wfn 6484  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  wrecscwrecs 8250   ≈ cen 8875  Fincfn 8878  ℂcc 11014  0cc0 11016  1c1 11017   + caddc 11019   · cmul 11021   < clt 11156   − cmin 11354   / cdiv 11784  ℕ₀cn0 12391  ℤcz 12478  ℤ_≥cuz 12742  ...cfz 13417  ↑cexp 13978  Ccbc 14219  ♯chash 14247  Σcsu 15603   BernPoly cbp 15963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-inf2 9541  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8631  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-fin 8882  df-card 9842  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-nn 12136  df-n0 12392  df-z 12479  df-uz 12743  df-fz 13418  df-seq 13919  df-hash 14248  df-sum 15604  df-bpoly 15964

This theorem is referenced by:  bpolyval  15966