MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bpolylem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bpolylem 15936
Description: Lemma for bpolyval 15937. (Contributed by Scott Fenton, 22-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bpoly.1 ๐บ = (๐‘” โˆˆ V โ†ฆ โฆ‹(โ™ฏโ€˜dom ๐‘”) / ๐‘›โฆŒ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
bpoly.2 ๐น = wrecs( < , โ„•0, ๐บ)
Assertion
Ref Expression
bpolylem ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ BernPoly ๐‘‹) = ((๐‘‹โ†‘๐‘) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
Distinct variable groups:   ๐‘”,๐‘˜,๐‘›,๐น   ๐‘”,๐‘,๐‘˜,๐‘›   ๐‘”,๐‘‹,๐‘˜,๐‘›
Allowed substitution hints:   ๐บ(๐‘”,๐‘˜,๐‘›)

Proof of Theorem bpolylem
Dummy variables ๐‘š ๐‘ฅ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7365 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘ฅโ†‘๐‘›) = (๐‘‹โ†‘๐‘›))
21oveq1d 7373 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ ((๐‘ฅโ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))) = ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
32csbeq2dv 3863 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ โฆ‹(โ™ฏโ€˜dom ๐‘”) / ๐‘›โฆŒ((๐‘ฅโ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))) = โฆ‹(โ™ฏโ€˜dom ๐‘”) / ๐‘›โฆŒ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
43mpteq2dv 5208 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘” โˆˆ V โ†ฆ โฆ‹(โ™ฏโ€˜dom ๐‘”) / ๐‘›โฆŒ((๐‘ฅโ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1))))) = (๐‘” โˆˆ V โ†ฆ โฆ‹(โ™ฏโ€˜dom ๐‘”) / ๐‘›โฆŒ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1))))))
5 bpoly.1 . . . . . . . 8 ๐บ = (๐‘” โˆˆ V โ†ฆ โฆ‹(โ™ฏโ€˜dom ๐‘”) / ๐‘›โฆŒ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
64, 5eqtr4di 2791 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘” โˆˆ V โ†ฆ โฆ‹(โ™ฏโ€˜dom ๐‘”) / ๐‘›โฆŒ((๐‘ฅโ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1))))) = ๐บ)
7 wrecseq3 8252 . . . . . . 7 ((๐‘” โˆˆ V โ†ฆ โฆ‹(โ™ฏโ€˜dom ๐‘”) / ๐‘›โฆŒ((๐‘ฅโ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1))))) = ๐บ โ†’ wrecs( < , โ„•0, (๐‘” โˆˆ V โ†ฆ โฆ‹(โ™ฏโ€˜dom ๐‘”) / ๐‘›โฆŒ((๐‘ฅโ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))) = wrecs( < , โ„•0, ๐บ))
86, 7syl 17 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ wrecs( < , โ„•0, (๐‘” โˆˆ V โ†ฆ โฆ‹(โ™ฏโ€˜dom ๐‘”) / ๐‘›โฆŒ((๐‘ฅโ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))) = wrecs( < , โ„•0, ๐บ))
9 bpoly.2 . . . . . 6 ๐น = wrecs( < , โ„•0, ๐บ)
108, 9eqtr4di 2791 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ wrecs( < , โ„•0, (๐‘” โˆˆ V โ†ฆ โฆ‹(โ™ฏโ€˜dom ๐‘”) / ๐‘›โฆŒ((๐‘ฅโ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))) = ๐น)
1110fveq1d 6845 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (wrecs( < , โ„•0, (๐‘” โˆˆ V โ†ฆ โฆ‹(โ™ฏโ€˜dom ๐‘”) / ๐‘›โฆŒ((๐‘ฅโ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1))))))โ€˜๐‘š) = (๐นโ€˜๐‘š))
12 fveq2 6843 . . . 4 (๐‘š = ๐‘ โ†’ (๐นโ€˜๐‘š) = (๐นโ€˜๐‘))
1311, 12sylan9eqr 2795 . . 3 ((๐‘š = ๐‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โ†’ (wrecs( < , โ„•0, (๐‘” โˆˆ V โ†ฆ โฆ‹(โ™ฏโ€˜dom ๐‘”) / ๐‘›โฆŒ((๐‘ฅโ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1))))))โ€˜๐‘š) = (๐นโ€˜๐‘))
14 df-bpoly 15935 . . 3 BernPoly = (๐‘š โˆˆ โ„•0, ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (wrecs( < , โ„•0, (๐‘” โˆˆ V โ†ฆ โฆ‹(โ™ฏโ€˜dom ๐‘”) / ๐‘›โฆŒ((๐‘ฅโ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1))))))โ€˜๐‘š))
15 fvex 6856 . . 3 (๐นโ€˜๐‘) โˆˆ V
1613, 14, 15ovmpoa 7511 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ BernPoly ๐‘‹) = (๐นโ€˜๐‘))
17 ltweuz 13872 . . . . 5 < We (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
18 nn0uz 12810 . . . . . 6 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
19 weeq2 5623 . . . . . 6 (โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0) โ†’ ( < We โ„•0 โ†” < We (โ„คโ‰ฅโ€˜0)))
2018, 19ax-mp 5 . . . . 5 ( < We โ„•0 โ†” < We (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
2117, 20mpbir 230 . . . 4 < We โ„•0
22 nn0ex 12424 . . . . 5 โ„•0 โˆˆ V
23 exse 5597 . . . . 5 (โ„•0 โˆˆ V โ†’ < Se โ„•0)
2422, 23ax-mp 5 . . . 4 < Se โ„•0
259wfr2 8283 . . . 4 ((( < We โ„•0 โˆง < Se โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜๐‘) = (๐บโ€˜(๐น โ†พ Pred( < , โ„•0, ๐‘))))
2621, 24, 25mpanl12 701 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐นโ€˜๐‘) = (๐บโ€˜(๐น โ†พ Pred( < , โ„•0, ๐‘))))
2726adantr 482 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐นโ€˜๐‘) = (๐บโ€˜(๐น โ†พ Pred( < , โ„•0, ๐‘))))
28 prednn0 13571 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ Pred( < , โ„•0, ๐‘) = (0...(๐‘ โˆ’ 1)))
2928adantr 482 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ Pred( < , โ„•0, ๐‘) = (0...(๐‘ โˆ’ 1)))
3029reseq2d 5938 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐น โ†พ Pred( < , โ„•0, ๐‘)) = (๐น โ†พ (0...(๐‘ โˆ’ 1))))
3130fveq2d 6847 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐บโ€˜(๐น โ†พ Pred( < , โ„•0, ๐‘))) = (๐บโ€˜(๐น โ†พ (0...(๐‘ โˆ’ 1)))))
329wfrfun 8279 . . . . . . 7 (( < We โ„•0 โˆง < Se โ„•0) โ†’ Fun ๐น)
3321, 24, 32mp2an 691 . . . . . 6 Fun ๐น
34 ovex 7391 . . . . . 6 (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ V
35 resfunexg 7166 . . . . . 6 ((Fun ๐น โˆง (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ V) โ†’ (๐น โ†พ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ V)
3633, 34, 35mp2an 691 . . . . 5 (๐น โ†พ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ V
37 dmeq 5860 . . . . . . . . 9 (๐‘” = (๐น โ†พ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ dom ๐‘” = dom (๐น โ†พ (0...(๐‘ โˆ’ 1))))
389wfr1 8282 . . . . . . . . . . . 12 (( < We โ„•0 โˆง < Se โ„•0) โ†’ ๐น Fn โ„•0)
3921, 24, 38mp2an 691 . . . . . . . . . . 11 ๐น Fn โ„•0
40 fz0ssnn0 13542 . . . . . . . . . . 11 (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โŠ† โ„•0
41 fnssres 6625 . . . . . . . . . . 11 ((๐น Fn โ„•0 โˆง (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โŠ† โ„•0) โ†’ (๐น โ†พ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) Fn (0...(๐‘ โˆ’ 1)))
4239, 40, 41mp2an 691 . . . . . . . . . 10 (๐น โ†พ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) Fn (0...(๐‘ โˆ’ 1))
4342fndmi 6607 . . . . . . . . 9 dom (๐น โ†พ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) = (0...(๐‘ โˆ’ 1))
4437, 43eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 (๐‘” = (๐น โ†พ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ dom ๐‘” = (0...(๐‘ โˆ’ 1)))
4544fveq2d 6847 . . . . . . 7 (๐‘” = (๐น โ†พ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (โ™ฏโ€˜dom ๐‘”) = (โ™ฏโ€˜(0...(๐‘ โˆ’ 1))))
46 fveq1 6842 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘” = (๐น โ†พ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘”โ€˜๐‘˜) = ((๐น โ†พ (0...(๐‘ โˆ’ 1)))โ€˜๐‘˜))
47 fvres 6862 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ((๐น โ†พ (0...(๐‘ โˆ’ 1)))โ€˜๐‘˜) = (๐นโ€˜๐‘˜))
4846, 47sylan9eq 2793 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘” = (๐น โ†พ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘”โ€˜๐‘˜) = (๐นโ€˜๐‘˜))
4948oveq1d 7373 . . . . . . . . . 10 ((๐‘” = (๐น โ†พ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)) = ((๐นโ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))
5049oveq2d 7374 . . . . . . . . 9 ((๐‘” = (๐น โ†พ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = ((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐นโ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1))))
5144, 50sumeq12rdv 15597 . . . . . . . 8 (๐‘” = (๐น โ†พ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐นโ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1))))
5251oveq2d 7374 . . . . . . 7 (๐‘” = (๐น โ†พ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))) = ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐นโ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
5345, 52csbeq12dv 3865 . . . . . 6 (๐‘” = (๐น โ†พ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ โฆ‹(โ™ฏโ€˜dom ๐‘”) / ๐‘›โฆŒ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))) = โฆ‹(โ™ฏโ€˜(0...(๐‘ โˆ’ 1))) / ๐‘›โฆŒ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐นโ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
54 ovex 7391 . . . . . . 7 ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐นโ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))) โˆˆ V
5554csbex 5269 . . . . . 6 โฆ‹(โ™ฏโ€˜(0...(๐‘ โˆ’ 1))) / ๐‘›โฆŒ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐นโ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))) โˆˆ V
5653, 5, 55fvmpt 6949 . . . . 5 ((๐น โ†พ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ V โ†’ (๐บโ€˜(๐น โ†พ (0...(๐‘ โˆ’ 1)))) = โฆ‹(โ™ฏโ€˜(0...(๐‘ โˆ’ 1))) / ๐‘›โฆŒ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐นโ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
5736, 56ax-mp 5 . . . 4 (๐บโ€˜(๐น โ†พ (0...(๐‘ โˆ’ 1)))) = โฆ‹(โ™ฏโ€˜(0...(๐‘ โˆ’ 1))) / ๐‘›โฆŒ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐นโ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1))))
58 nfcvd 2905 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ โ„ฒ๐‘›((๐‘‹โ†‘๐‘) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐นโ€˜๐‘˜) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
59 oveq2 7366 . . . . . . . 8 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (๐‘‹โ†‘๐‘›) = (๐‘‹โ†‘๐‘))
60 oveq1 7365 . . . . . . . . . 10 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (๐‘›C๐‘˜) = (๐‘C๐‘˜))
61 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (๐‘› โˆ’ ๐‘˜) = (๐‘ โˆ’ ๐‘˜))
6261oveq1d 7373 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› = ๐‘ โ†’ ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1) = ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1))
6362oveq2d 7374 . . . . . . . . . 10 (๐‘› = ๐‘ โ†’ ((๐นโ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)) = ((๐นโ€˜๐‘˜) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1)))
6460, 63oveq12d 7376 . . . . . . . . 9 (๐‘› = ๐‘ โ†’ ((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐นโ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = ((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐นโ€˜๐‘˜) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1))))
6564sumeq2sdv 15594 . . . . . . . 8 (๐‘› = ๐‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐นโ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐นโ€˜๐‘˜) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1))))
6659, 65oveq12d 7376 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘ โ†’ ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐นโ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))) = ((๐‘‹โ†‘๐‘) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐นโ€˜๐‘˜) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
6758, 66csbiegf 3890 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ โฆ‹๐‘ / ๐‘›โฆŒ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐นโ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))) = ((๐‘‹โ†‘๐‘) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐นโ€˜๐‘˜) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
6867adantr 482 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ โฆ‹๐‘ / ๐‘›โฆŒ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐นโ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))) = ((๐‘‹โ†‘๐‘) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐นโ€˜๐‘˜) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
69 nn0z 12529 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
70 fz01en 13475 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โ‰ˆ (1...๐‘))
7169, 70syl 17 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โ‰ˆ (1...๐‘))
72 fzfi 13883 . . . . . . . . . 10 (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ Fin
73 fzfi 13883 . . . . . . . . . 10 (1...๐‘) โˆˆ Fin
74 hashen 14253 . . . . . . . . . 10 (((0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ Fin โˆง (1...๐‘) โˆˆ Fin) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(0...(๐‘ โˆ’ 1))) = (โ™ฏโ€˜(1...๐‘)) โ†” (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โ‰ˆ (1...๐‘)))
7572, 73, 74mp2an 691 . . . . . . . . 9 ((โ™ฏโ€˜(0...(๐‘ โˆ’ 1))) = (โ™ฏโ€˜(1...๐‘)) โ†” (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โ‰ˆ (1...๐‘))
7671, 75sylibr 233 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ™ฏโ€˜(0...(๐‘ โˆ’ 1))) = (โ™ฏโ€˜(1...๐‘)))
77 hashfz1 14252 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...๐‘)) = ๐‘)
7876, 77eqtrd 2773 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ™ฏโ€˜(0...(๐‘ โˆ’ 1))) = ๐‘)
7978adantr 482 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ™ฏโ€˜(0...(๐‘ โˆ’ 1))) = ๐‘)
8079csbeq1d 3860 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ โฆ‹(โ™ฏโ€˜(0...(๐‘ โˆ’ 1))) / ๐‘›โฆŒ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐นโ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))) = โฆ‹๐‘ / ๐‘›โฆŒ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐นโ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
81 elfznn0 13540 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
82 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
83 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š = ๐‘˜ โ†’ (๐นโ€˜๐‘š) = (๐นโ€˜๐‘˜))
8411, 83sylan9eqr 2795 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘š = ๐‘˜ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โ†’ (wrecs( < , โ„•0, (๐‘” โˆˆ V โ†ฆ โฆ‹(โ™ฏโ€˜dom ๐‘”) / ๐‘›โฆŒ((๐‘ฅโ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ dom ๐‘”((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐‘”โ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1))))))โ€˜๐‘š) = (๐นโ€˜๐‘˜))
85 fvex 6856 . . . . . . . . . . 11 (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ V
8684, 14, 85ovmpoa 7511 . . . . . . . . . 10 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) = (๐นโ€˜๐‘˜))
8781, 82, 86syl2anr 598 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) = (๐นโ€˜๐‘˜))
8887oveq1d 7373 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1)) = ((๐นโ€˜๐‘˜) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1)))
8988oveq2d 7374 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = ((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐นโ€˜๐‘˜) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1))))
9089sumeq2dv 15593 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐นโ€˜๐‘˜) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1))))
9190oveq2d 7374 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘‹โ†‘๐‘) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1)))) = ((๐‘‹โ†‘๐‘) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐นโ€˜๐‘˜) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
9268, 80, 913eqtr4d 2783 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ โฆ‹(โ™ฏโ€˜(0...(๐‘ โˆ’ 1))) / ๐‘›โฆŒ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐นโ€˜๐‘˜) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘˜) + 1)))) = ((๐‘‹โ†‘๐‘) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
9357, 92eqtrid 2785 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐บโ€˜(๐น โ†พ (0...(๐‘ โˆ’ 1)))) = ((๐‘‹โ†‘๐‘) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
9431, 93eqtrd 2773 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐บโ€˜(๐น โ†พ Pred( < , โ„•0, ๐‘))) = ((๐‘‹โ†‘๐‘) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
9516, 27, 943eqtrd 2777 1 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ BernPoly ๐‘‹) = ((๐‘‹โ†‘๐‘) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  Vcvv 3444  โฆ‹csb 3856   โŠ† wss 3911   class class class wbr 5106   โ†ฆ cmpt 5189   Se wse 5587   We wwe 5588  dom cdm 5634   โ†พ cres 5636  Predcpred 6253  Fun wfun 6491   Fn wfn 6492  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  wrecscwrecs 8243   โ‰ˆ cen 8883  Fincfn 8886  โ„‚cc 11054  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061   < clt 11194   โˆ’ cmin 11390   / cdiv 11817  โ„•0cn0 12418  โ„คcz 12504  โ„คโ‰ฅcuz 12768  ...cfz 13430  โ†‘cexp 13973  Ccbc 14208  โ™ฏchash 14236  ฮฃcsu 15576   BernPoly cbp 15934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-seq 13913  df-hash 14237  df-sum 15577  df-bpoly 15935
This theorem is referenced by:  bpolyval  15937
  Copyright terms: Public domain W3C validator