Theorem bpolylem 16011

Description: Lemma for bpolyval 16012. (Contributed by Scott Fenton, 22-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
bpoly.1	⊢ 𝐺 = (𝑔 ∈ V ↦ ⦋(♯‘dom 𝑔) / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))))
bpoly.2	⊢ 𝐹 = wrecs( < , ℕ0, 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
bpolylem	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑁 BernPoly 𝑋) = ((𝑋↑𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1)))))

Distinct variable groups:   𝑔,𝑘,𝑛,𝐹   𝑔,𝑁,𝑘,𝑛   𝑔,𝑋,𝑘,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑔,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem bpolylem

Dummy variables 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥↑𝑛) = (𝑋↑𝑛))
2	1	oveq1d 7378	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))) = ((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))))
3	2	csbeq2dv 3845	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ⦋(♯‘dom 𝑔) / 𝑛⦌((𝑥↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))) = ⦋(♯‘dom 𝑔) / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))))
4	3	mpteq2dv 5173	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑔 ∈ V ↦ ⦋(♯‘dom 𝑔) / 𝑛⦌((𝑥↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))))) = (𝑔 ∈ V ↦ ⦋(♯‘dom 𝑔) / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))))))
5		bpoly.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑔 ∈ V ↦ ⦋(♯‘dom 𝑔) / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))))
6	4, 5	eqtr4di 2793	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑔 ∈ V ↦ ⦋(♯‘dom 𝑔) / 𝑛⦌((𝑥↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))))) = 𝐺)
7		wrecseq3 8264	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 ∈ V ↦ ⦋(♯‘dom 𝑔) / 𝑛⦌((𝑥↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))))) = 𝐺 → wrecs( < , ℕ0, (𝑔 ∈ V ↦ ⦋(♯‘dom 𝑔) / 𝑛⦌((𝑥↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))))) = wrecs( < , ℕ0, 𝐺))
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → wrecs( < , ℕ0, (𝑔 ∈ V ↦ ⦋(♯‘dom 𝑔) / 𝑛⦌((𝑥↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))))) = wrecs( < , ℕ0, 𝐺))
9		bpoly.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = wrecs( < , ℕ0, 𝐺)
10	8, 9	eqtr4di 2793	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → wrecs( < , ℕ0, (𝑔 ∈ V ↦ ⦋(♯‘dom 𝑔) / 𝑛⦌((𝑥↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))))) = 𝐹)
11	10	fveq1d 6836	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (wrecs( < , ℕ0, (𝑔 ∈ V ↦ ⦋(♯‘dom 𝑔) / 𝑛⦌((𝑥↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))))))‘𝑚) = (𝐹‘𝑚))
12		fveq2 6834	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑁))
13	11, 12	sylan9eqr 2797	. . 3 ⊢ ((𝑚 = 𝑁 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (wrecs( < , ℕ0, (𝑔 ∈ V ↦ ⦋(♯‘dom 𝑔) / 𝑛⦌((𝑥↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))))))‘𝑚) = (𝐹‘𝑁))
14		df-bpoly 16010	. . 3 ⊢ BernPoly = (𝑚 ∈ ℕ0, 𝑥 ∈ ℂ ↦ (wrecs( < , ℕ0, (𝑔 ∈ V ↦ ⦋(♯‘dom 𝑔) / 𝑛⦌((𝑥↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))))))‘𝑚))
15		fvex 6847	. . 3 ⊢ (𝐹‘𝑁) ∈ V
16	13, 14, 15	ovmpoa 7518	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑁 BernPoly 𝑋) = (𝐹‘𝑁))
17		ltweuz 13921	. . . . 5 ⊢ < We (ℤ≥‘0)
18		nn0uz 12824	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
19		weeq2 5613	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 = (ℤ≥‘0) → ( < We ℕ0 ↔ < We (ℤ≥‘0)))
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ( < We ℕ0 ↔ < We (ℤ≥‘0))
21	17, 20	mpbir 232	. . . 4 ⊢ < We ℕ0
22		nn0ex 12441	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
23		exse 5585	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ∈ V → < Se ℕ0)
24	22, 23	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ < Se ℕ0
25	9	wfr2 8274	. . . 4 ⊢ ((( < We ℕ0 ∧ < Se ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑁) = (𝐺‘(𝐹 ↾ Pred( < , ℕ0, 𝑁))))
26	21, 24, 25	mpanl12 708	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑁) = (𝐺‘(𝐹 ↾ Pred( < , ℕ0, 𝑁))))
27	26	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑁) = (𝐺‘(𝐹 ↾ Pred( < , ℕ0, 𝑁))))
28		prednn0 13604	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Pred( < , ℕ0, 𝑁) = (0...(𝑁 − 1)))
29	28	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → Pred( < , ℕ0, 𝑁) = (0...(𝑁 − 1)))
30	29	reseq2d 5938	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝐹 ↾ Pred( < , ℕ0, 𝑁)) = (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))))
31	30	fveq2d 6838	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝐺‘(𝐹 ↾ Pred( < , ℕ0, 𝑁))) = (𝐺‘(𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1)))))
32	9	wfrfun 8270	. . . . . . 7 ⊢ (( < We ℕ0 ∧ < Se ℕ0) → Fun 𝐹)
33	21, 24, 32	mp2an 698	. . . . . 6 ⊢ Fun 𝐹
34		ovex 7396	. . . . . 6 ⊢ (0...(𝑁 − 1)) ∈ V
35		resfunexg 7166	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ (0...(𝑁 − 1)) ∈ V) → (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) ∈ V)
36	33, 34, 35	mp2an 698	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) ∈ V
37		dmeq 5852	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) → dom 𝑔 = dom (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))))
38	9	wfr1 8273	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (( < We ℕ0 ∧ < Se ℕ0) → 𝐹 Fn ℕ0)
39	21, 24, 38	mp2an 698	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 Fn ℕ0
40		fz0ssnn0 13574	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0...(𝑁 − 1)) ⊆ ℕ0
41		fnssres 6615	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 Fn ℕ0 ∧ (0...(𝑁 − 1)) ⊆ ℕ0) → (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) Fn (0...(𝑁 − 1)))
42	39, 40, 41	mp2an 698	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) Fn (0...(𝑁 − 1))
43	42	fndmi 6596	. . . . . . . . 9 ⊢ dom (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) = (0...(𝑁 − 1))
44	37, 43	eqtrdi 2791	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) → dom 𝑔 = (0...(𝑁 − 1)))
45	44	fveq2d 6838	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) → (♯‘dom 𝑔) = (♯‘(0...(𝑁 − 1))))
46		fveq1 6833	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 = (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑔‘𝑘) = ((𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1)))‘𝑘))
47		fvres 6853	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → ((𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1)))‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
48	46, 47	sylan9eq 2795	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑔 = (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑔‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
49	48	oveq1d 7378	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑔 = (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)) = ((𝐹‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))
50	49	oveq2d 7379	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑔 = (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))) = ((𝑛C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))))
51	44, 50	sumeq12rdv 15667	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) → Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))))
52	51	oveq2d 7379	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))) = ((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))))
53	45, 52	csbeq12dv 3847	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) → ⦋(♯‘dom 𝑔) / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))) = ⦋(♯‘(0...(𝑁 − 1))) / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))))
54		ovex 7396	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))) ∈ V
55	54	csbex 5240	. . . . . 6 ⊢ ⦋(♯‘(0...(𝑁 − 1))) / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))) ∈ V
56	53, 5, 55	fvmpt 6942	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) ∈ V → (𝐺‘(𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1)))) = ⦋(♯‘(0...(𝑁 − 1))) / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))))
57	36, 56	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝐺‘(𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1)))) = ⦋(♯‘(0...(𝑁 − 1))) / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))))
58		nfcvd 2903	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Ⅎ𝑛((𝑋↑𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑁 − 𝑘) + 1)))))
59		oveq2 7371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑋↑𝑛) = (𝑋↑𝑁))
60		oveq1 7370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛C𝑘) = (𝑁C𝑘))
61		oveq1 7370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 − 𝑘) = (𝑁 − 𝑘))
62	61	oveq1d 7378	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝑛 − 𝑘) + 1) = ((𝑁 − 𝑘) + 1))
63	62	oveq2d 7379	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝐹‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)) = ((𝐹‘𝑘) / ((𝑁 − 𝑘) + 1)))
64	60, 63	oveq12d 7381	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝑛C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))) = ((𝑁C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑁 − 𝑘) + 1))))
65	64	sumeq2sdv 15663	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑁 − 𝑘) + 1))))
66	59, 65	oveq12d 7381	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))) = ((𝑋↑𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑁 − 𝑘) + 1)))))
67	58, 66	csbiegf 3871	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))) = ((𝑋↑𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑁 − 𝑘) + 1)))))
68	67	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))) = ((𝑋↑𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑁 − 𝑘) + 1)))))
69		nn0z 12546	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
70		fz01en 13504	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0...(𝑁 − 1)) ≈ (1...𝑁))
71	69, 70	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0...(𝑁 − 1)) ≈ (1...𝑁))
72		fzfi 13932	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0...(𝑁 − 1)) ∈ Fin
73		fzfi 13932	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1...𝑁) ∈ Fin
74		hashen 14307	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((0...(𝑁 − 1)) ∈ Fin ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → ((♯‘(0...(𝑁 − 1))) = (♯‘(1...𝑁)) ↔ (0...(𝑁 − 1)) ≈ (1...𝑁)))
75	72, 73, 74	mp2an 698	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘(0...(𝑁 − 1))) = (♯‘(1...𝑁)) ↔ (0...(𝑁 − 1)) ≈ (1...𝑁))
76	71, 75	sylibr 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(0...(𝑁 − 1))) = (♯‘(1...𝑁)))
77		hashfz1 14306	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
78	76, 77	eqtrd 2775	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(0...(𝑁 − 1))) = 𝑁)
79	78	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (♯‘(0...(𝑁 − 1))) = 𝑁)
80	79	csbeq1d 3842	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ⦋(♯‘(0...(𝑁 − 1))) / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))) = ⦋𝑁 / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))))
81		elfznn0 13572	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
82		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → 𝑋 ∈ ℂ)
83		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑘))
84	11, 83	sylan9eqr 2797	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 = 𝑘 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (wrecs( < , ℕ0, (𝑔 ∈ V ↦ ⦋(♯‘dom 𝑔) / 𝑛⦌((𝑥↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))))))‘𝑚) = (𝐹‘𝑘))
85		fvex 6847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹‘𝑘) ∈ V
86	84, 14, 85	ovmpoa 7518	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑘 BernPoly 𝑋) = (𝐹‘𝑘))
87	81, 82, 86	syl2anr 603	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑘 BernPoly 𝑋) = (𝐹‘𝑘))
88	87	oveq1d 7378	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1)) = ((𝐹‘𝑘) / ((𝑁 − 𝑘) + 1)))
89	88	oveq2d 7379	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1))) = ((𝑁C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑁 − 𝑘) + 1))))
90	89	sumeq2dv 15662	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑁 − 𝑘) + 1))))
91	90	oveq2d 7379	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑋↑𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1)))) = ((𝑋↑𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑁 − 𝑘) + 1)))))
92	68, 80, 91	3eqtr4d 2785	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ⦋(♯‘(0...(𝑁 − 1))) / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))) = ((𝑋↑𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1)))))
93	57, 92	eqtrid 2787	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝐺‘(𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1)))) = ((𝑋↑𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1)))))
94	31, 93	eqtrd 2775	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝐺‘(𝐹 ↾ Pred( < , ℕ0, 𝑁))) = ((𝑋↑𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1)))))
95	16, 27, 94	3eqtrd 2779	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑁 BernPoly 𝑋) = ((𝑋↑𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3432  ⦋csb 3838   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5079   ↦ cmpt 5160   Se wse 5576   We wwe 5577  dom cdm 5625   ↾ cres 5627  Predcpred 6258  Fun wfun 6486   Fn wfn 6487  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  wrecscwrecs 8258   ≈ cen 8887  Fincfn 8890  ℂcc 11034  0cc0 11036  1c1 11037   + caddc 11039   · cmul 11041   < clt 11177   − cmin 11375   / cdiv 11805  ℕ₀cn0 12435  ℤcz 12522  ℤ_≥cuz 12786  ...cfz 13459  ↑cexp 14021  Ccbc 14262  ♯chash 14290  Σcsu 15646   BernPoly cbp 16009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-inf2 9560  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-fz 13460  df-seq 13962  df-hash 14291  df-sum 15647  df-bpoly 16010

This theorem is referenced by:  bpolyval  16012