Theorem bpolylem 16243

Description: Lemma for bpolyval 16244. (Contributed by Scott Fenton, 22-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
bpoly.1	⊢ 𝐺 = (𝑔 ∈ V ↦ ⦋(♯‘dom 𝑔) / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))))
bpoly.2	⊢ 𝐹 = wrecs( < , ℕ0, 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
bpolylem	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑁 BernPoly 𝑋) = ((𝑋↑𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1)))))

Distinct variable groups:   𝑔,𝑘,𝑛,𝐹   𝑔,𝑁,𝑘,𝑛   𝑔,𝑋,𝑘,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑔, 𝑘, 𝑛)

Proof of Theorem bpolylem

Dummy variables 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥↑𝑛) = (𝑋↑𝑛))
2	1	oveq1d 7458	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))) = ((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))))
3	2	csbeq2dv 3858	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ⦋(♯‘dom 𝑔) / 𝑛⦌((𝑥↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))) = ⦋(♯‘dom 𝑔) / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))))
4	3	mpteq2dv 5202	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑔 ∈ V ↦ ⦋(♯‘dom 𝑔) / 𝑛⦌((𝑥↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))))) = (𝑔 ∈ V ↦ ⦋(♯‘dom 𝑔) / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))))))
5		bpoly.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑔 ∈ V ↦ ⦋(♯‘dom 𝑔) / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))))
6	4, 5	eqtr4di 2816	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑔 ∈ V ↦ ⦋(♯‘dom 𝑔) / 𝑛⦌((𝑥↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))))) = 𝐺)
7		wrecseq3 8363	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 ∈ V ↦ ⦋(♯‘dom 𝑔) / 𝑛⦌((𝑥↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))))) = 𝐺 → wrecs( < , ℕ0, (𝑔 ∈ V ↦ ⦋(♯‘dom 𝑔) / 𝑛⦌((𝑥↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))))) = wrecs( < , ℕ0, 𝐺))
8	6, 7	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → wrecs( < , ℕ0, (𝑔 ∈ V ↦ ⦋(♯‘dom 𝑔) / 𝑛⦌((𝑥↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))))) = wrecs( < , ℕ0, 𝐺))
9		bpoly.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = wrecs( < , ℕ0, 𝐺)
10	8, 9	eqtr4di 2816	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → wrecs( < , ℕ0, (𝑔 ∈ V ↦ ⦋(♯‘dom 𝑔) / 𝑛⦌((𝑥↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))))) = 𝐹)
11	10	fveq1d 6910	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (wrecs( < , ℕ0, (𝑔 ∈ V ↦ ⦋(♯‘dom 𝑔) / 𝑛⦌((𝑥↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))))))‘𝑚) = (𝐹‘𝑚))
12		fveq2 6908	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑁))
13	11, 12	sylan9eqr 2820	. . 3 ⊢ ((𝑚 = 𝑁 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (wrecs( < , ℕ0, (𝑔 ∈ V ↦ ⦋(♯‘dom 𝑔) / 𝑛⦌((𝑥↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))))))‘𝑚) = (𝐹‘𝑁))
14		df-bpoly 16242	. . 3 ⊢ BernPoly = (𝑚 ∈ ℕ0, 𝑥 ∈ ℂ ↦ (wrecs( < , ℕ0, (𝑔 ∈ V ↦ ⦋(♯‘dom 𝑔) / 𝑛⦌((𝑥↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))))))‘𝑚))
15		fvex 6921	. . 3 ⊢ (𝐹‘𝑁) ∈ V
16	13, 14, 15	ovmpoa 7599	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑁 BernPoly 𝑋) = (𝐹‘𝑁))
17		ltweuz 14131	. . . . 5 ⊢ < We (ℤ≥‘0)
18		nn0uz 13030	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
19		weeq2 5643	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 = (ℤ≥‘0) → ( < We ℕ0 ↔ < We (ℤ≥‘0)))
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ( < We ℕ0 ↔ < We (ℤ≥‘0))
21	17, 20	mpbir 234	. . . 4 ⊢ < We ℕ0
22		nn0ex 12639	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
23		exse 5615	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ∈ V → < Se ℕ0)
24	22, 23	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ < Se ℕ0
25	9	wfr2 8373	. . . 4 ⊢ ((( < We ℕ0 ∧ < Se ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑁) = (𝐺‘(𝐹 ↾ Pred( < , ℕ0, 𝑁))))
26	21, 24, 25	mpanl12 715	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑁) = (𝐺‘(𝐹 ↾ Pred( < , ℕ0, 𝑁))))
27	26	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑁) = (𝐺‘(𝐹 ↾ Pred( < , ℕ0, 𝑁))))
28		prednn0 13813	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Pred( < , ℕ0, 𝑁) = (0...(𝑁 − 1)))
29	28	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → Pred( < , ℕ0, 𝑁) = (0...(𝑁 − 1)))
30	29	reseq2d 5981	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝐹 ↾ Pred( < , ℕ0, 𝑁)) = (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))))
31	30	fveq2d 6912	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝐺‘(𝐹 ↾ Pred( < , ℕ0, 𝑁))) = (𝐺‘(𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1)))))
32	9	wfrfun 8369	. . . . . . 7 ⊢ (( < We ℕ0 ∧ < Se ℕ0) → Fun 𝐹)
33	21, 24, 32	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ Fun 𝐹
34		ovex 7476	. . . . . 6 ⊢ (0...(𝑁 − 1)) ∈ V
35		resfunexg 7244	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ (0...(𝑁 − 1)) ∈ V) → (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) ∈ V)
36	33, 34, 35	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) ∈ V
37		dmeq 5892	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) → dom 𝑔 = dom (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))))
38	9	wfr1 8372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (( < We ℕ0 ∧ < Se ℕ0) → 𝐹 Fn ℕ0)
39	21, 24, 38	mp2an 705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 Fn ℕ0
40		fz0ssnn0 13783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0...(𝑁 − 1)) ⊆ ℕ0
41		fnssres 6684	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 Fn ℕ0 ∧ (0...(𝑁 − 1)) ⊆ ℕ0) → (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) Fn (0...(𝑁 − 1)))
42	39, 40, 41	mp2an 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) Fn (0...(𝑁 − 1))
43	42	fndmi 6665	. . . . . . . . 9 ⊢ dom (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) = (0...(𝑁 − 1))
44	37, 43	eqtrdi 2814	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) → dom 𝑔 = (0...(𝑁 − 1)))
45	44	fveq2d 6912	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) → (♯‘dom 𝑔) = (♯‘(0...(𝑁 − 1))))
46		fveq1 6907	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 = (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑔‘𝑘) = ((𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1)))‘𝑘))
47		fvres 6927	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → ((𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1)))‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
48	46, 47	sylan9eq 2818	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑔 = (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑔‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
49	48	oveq1d 7458	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑔 = (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)) = ((𝐹‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))
50	49	oveq2d 7459	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑔 = (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))) = ((𝑛C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))))
51	44, 50	sumeq12rdv 15902	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) → Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))))
52	51	oveq2d 7459	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))) = ((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))))
53	45, 52	csbeq12dv 3860	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) → ⦋(♯‘dom 𝑔) / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))) = ⦋(♯‘(0...(𝑁 − 1))) / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))))
54		ovex 7476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))) ∈ V
55	54	csbex 5268	. . . . . 6 ⊢ ⦋(♯‘(0...(𝑁 − 1))) / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))) ∈ V
56	53, 5, 55	fvmpt 7016	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) ∈ V → (𝐺‘(𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1)))) = ⦋(♯‘(0...(𝑁 − 1))) / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))))
57	36, 56	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝐺‘(𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1)))) = ⦋(♯‘(0...(𝑁 − 1))) / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))))
58		nfcvd 2927	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Ⅎ𝑛((𝑋↑𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑁 − 𝑘) + 1)))))
59		oveq2 7451	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑋↑𝑛) = (𝑋↑𝑁))
60		oveq1 7450	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛C𝑘) = (𝑁C𝑘))
61		oveq1 7450	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 − 𝑘) = (𝑁 − 𝑘))
62	61	oveq1d 7458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝑛 − 𝑘) + 1) = ((𝑁 − 𝑘) + 1))
63	62	oveq2d 7459	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝐹‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)) = ((𝐹‘𝑘) / ((𝑁 − 𝑘) + 1)))
64	60, 63	oveq12d 7461	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝑛C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))) = ((𝑁C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑁 − 𝑘) + 1))))
65	64	sumeq2sdv 15899	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑁 − 𝑘) + 1))))
66	59, 65	oveq12d 7461	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))) = ((𝑋↑𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑁 − 𝑘) + 1)))))
67	58, 66	csbiegf 3884	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))) = ((𝑋↑𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑁 − 𝑘) + 1)))))
68	67	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))) = ((𝑋↑𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑁 − 𝑘) + 1)))))
69		nn0z 12744	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
70		fz01en 13713	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0...(𝑁 − 1)) ≈ (1...𝑁))
71	69, 70	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0...(𝑁 − 1)) ≈ (1...𝑁))
72		fzfi 14142	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0...(𝑁 − 1)) ∈ Fin
73		fzfi 14142	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1...𝑁) ∈ Fin
74		hashen 14518	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((0...(𝑁 − 1)) ∈ Fin ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → ((♯‘(0...(𝑁 − 1))) = (♯‘(1...𝑁)) ↔ (0...(𝑁 − 1)) ≈ (1...𝑁)))
75	72, 73, 74	mp2an 705	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘(0...(𝑁 − 1))) = (♯‘(1...𝑁)) ↔ (0...(𝑁 − 1)) ≈ (1...𝑁))
76	71, 75	sylibr 237	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(0...(𝑁 − 1))) = (♯‘(1...𝑁)))
77		hashfz1 14517	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
78	76, 77	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(0...(𝑁 − 1))) = 𝑁)
79	78	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (♯‘(0...(𝑁 − 1))) = 𝑁)
80	79	csbeq1d 3855	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ⦋(♯‘(0...(𝑁 − 1))) / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))) = ⦋𝑁 / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))))
81		elfznn0 13781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
82		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → 𝑋 ∈ ℂ)
83		fveq2 6908	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑘))
84	11, 83	sylan9eqr 2820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 = 𝑘 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (wrecs( < , ℕ0, (𝑔 ∈ V ↦ ⦋(♯‘dom 𝑔) / 𝑛⦌((𝑥↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1))))))‘𝑚) = (𝐹‘𝑘))
85		fvex 6921	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹‘𝑘) ∈ V
86	84, 14, 85	ovmpoa 7599	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑘 BernPoly 𝑋) = (𝐹‘𝑘))
87	81, 82, 86	syl2anr 609	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑘 BernPoly 𝑋) = (𝐹‘𝑘))
88	87	oveq1d 7458	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1)) = ((𝐹‘𝑘) / ((𝑁 − 𝑘) + 1)))
89	88	oveq2d 7459	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1))) = ((𝑁C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑁 − 𝑘) + 1))))
90	89	sumeq2dv 15898	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑁 − 𝑘) + 1))))
91	90	oveq2d 7459	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑋↑𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1)))) = ((𝑋↑𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑁 − 𝑘) + 1)))))
92	68, 80, 91	3eqtr4d 2808	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ⦋(♯‘(0...(𝑁 − 1))) / 𝑛⦌((𝑋↑𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹‘𝑘) / ((𝑛 − 𝑘) + 1)))) = ((𝑋↑𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1)))))
93	57, 92	eqtrid 2810	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝐺‘(𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1)))) = ((𝑋↑𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1)))))
94	31, 93	eqtrd 2798	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝐺‘(𝐹 ↾ Pred( < , ℕ0, 𝑁))) = ((𝑋↑𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1)))))
95	16, 27, 94	3eqtrd 2802	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑁 BernPoly 𝑋) = ((𝑋↑𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁 − 𝑘) + 1)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454  ⦋csb 3851   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189   Se wse 5606   We wwe 5607  dom cdm 5655   ↾ cres 5657  Predcpred 6321  Fun wfun 6552   Fn wfn 6553  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  wrecscwrecs 8357   ≈ cen 8998  Fincfn 9001  ℂcc 11225  0cc0 11227  1c1 11228   + caddc 11230   · cmul 11232   < clt 11370   − cmin 11568   / cdiv 12000  ℕ₀cn0 12633  ℤcz 12720  ℤ_≥cuz 12992  ...cfz 13666  ↑cexp 14231  Ccbc 14473  ♯chash 14501  Σcsu 15882   BernPoly cbp 16241

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-inf2 9669  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-fz 13667  df-seq 14172  df-hash 14502  df-sum 15883  df-bpoly 16242

This theorem is used by:  bpolyval  16244