MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bpolylem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bpolylem 16081
Description: Lemma for bpolyval 16082. (Contributed by Scott Fenton, 22-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bpoly.1 𝐺 = (𝑔 ∈ V ↦ (♯‘dom 𝑔) / 𝑛((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))))
bpoly.2 𝐹 = wrecs( < , ℕ0, 𝐺)
Assertion
Ref Expression
bpolylem ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (𝑁 BernPoly 𝑋) = ((𝑋𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)))))
Distinct variable groups:   𝑔,𝑘,𝑛,𝐹   𝑔,𝑁,𝑘,𝑛   𝑔,𝑋,𝑘,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑔,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem bpolylem
Dummy variables 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7438 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝑛) = (𝑋𝑛))
21oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))) = ((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))))
32csbeq2dv 3915 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋(♯‘dom 𝑔) / 𝑛((𝑥𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))) = (♯‘dom 𝑔) / 𝑛((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))))
43mpteq2dv 5250 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → (𝑔 ∈ V ↦ (♯‘dom 𝑔) / 𝑛((𝑥𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1))))) = (𝑔 ∈ V ↦ (♯‘dom 𝑔) / 𝑛((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1))))))
5 bpoly.1 . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑔 ∈ V ↦ (♯‘dom 𝑔) / 𝑛((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))))
64, 5eqtr4di 2793 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝑔 ∈ V ↦ (♯‘dom 𝑔) / 𝑛((𝑥𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1))))) = 𝐺)
7 wrecseq3 8344 . . . . . . 7 ((𝑔 ∈ V ↦ (♯‘dom 𝑔) / 𝑛((𝑥𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1))))) = 𝐺 → wrecs( < , ℕ0, (𝑔 ∈ V ↦ (♯‘dom 𝑔) / 𝑛((𝑥𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))))) = wrecs( < , ℕ0, 𝐺))
86, 7syl 17 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → wrecs( < , ℕ0, (𝑔 ∈ V ↦ (♯‘dom 𝑔) / 𝑛((𝑥𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))))) = wrecs( < , ℕ0, 𝐺))
9 bpoly.2 . . . . . 6 𝐹 = wrecs( < , ℕ0, 𝐺)
108, 9eqtr4di 2793 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → wrecs( < , ℕ0, (𝑔 ∈ V ↦ (♯‘dom 𝑔) / 𝑛((𝑥𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))))) = 𝐹)
1110fveq1d 6909 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (wrecs( < , ℕ0, (𝑔 ∈ V ↦ (♯‘dom 𝑔) / 𝑛((𝑥𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1))))))‘𝑚) = (𝐹𝑚))
12 fveq2 6907 . . . 4 (𝑚 = 𝑁 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑁))
1311, 12sylan9eqr 2797 . . 3 ((𝑚 = 𝑁𝑥 = 𝑋) → (wrecs( < , ℕ0, (𝑔 ∈ V ↦ (♯‘dom 𝑔) / 𝑛((𝑥𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1))))))‘𝑚) = (𝐹𝑁))
14 df-bpoly 16080 . . 3 BernPoly = (𝑚 ∈ ℕ0, 𝑥 ∈ ℂ ↦ (wrecs( < , ℕ0, (𝑔 ∈ V ↦ (♯‘dom 𝑔) / 𝑛((𝑥𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1))))))‘𝑚))
15 fvex 6920 . . 3 (𝐹𝑁) ∈ V
1613, 14, 15ovmpoa 7588 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (𝑁 BernPoly 𝑋) = (𝐹𝑁))
17 ltweuz 13999 . . . . 5 < We (ℤ‘0)
18 nn0uz 12918 . . . . . 6 0 = (ℤ‘0)
19 weeq2 5677 . . . . . 6 (ℕ0 = (ℤ‘0) → ( < We ℕ0 ↔ < We (ℤ‘0)))
2018, 19ax-mp 5 . . . . 5 ( < We ℕ0 ↔ < We (ℤ‘0))
2117, 20mpbir 231 . . . 4 < We ℕ0
22 nn0ex 12530 . . . . 5 0 ∈ V
23 exse 5649 . . . . 5 (ℕ0 ∈ V → < Se ℕ0)
2422, 23ax-mp 5 . . . 4 < Se ℕ0
259wfr2 8375 . . . 4 ((( < We ℕ0 ∧ < Se ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑁) = (𝐺‘(𝐹 ↾ Pred( < , ℕ0, 𝑁))))
2621, 24, 25mpanl12 702 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐹𝑁) = (𝐺‘(𝐹 ↾ Pred( < , ℕ0, 𝑁))))
2726adantr 480 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (𝐹𝑁) = (𝐺‘(𝐹 ↾ Pred( < , ℕ0, 𝑁))))
28 prednn0 13689 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → Pred( < , ℕ0, 𝑁) = (0...(𝑁 − 1)))
2928adantr 480 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → Pred( < , ℕ0, 𝑁) = (0...(𝑁 − 1)))
3029reseq2d 6000 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (𝐹 ↾ Pred( < , ℕ0, 𝑁)) = (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))))
3130fveq2d 6911 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (𝐺‘(𝐹 ↾ Pred( < , ℕ0, 𝑁))) = (𝐺‘(𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1)))))
329wfrfun 8371 . . . . . . 7 (( < We ℕ0 ∧ < Se ℕ0) → Fun 𝐹)
3321, 24, 32mp2an 692 . . . . . 6 Fun 𝐹
34 ovex 7464 . . . . . 6 (0...(𝑁 − 1)) ∈ V
35 resfunexg 7235 . . . . . 6 ((Fun 𝐹 ∧ (0...(𝑁 − 1)) ∈ V) → (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) ∈ V)
3633, 34, 35mp2an 692 . . . . 5 (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) ∈ V
37 dmeq 5917 . . . . . . . . 9 (𝑔 = (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) → dom 𝑔 = dom (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))))
389wfr1 8374 . . . . . . . . . . . 12 (( < We ℕ0 ∧ < Se ℕ0) → 𝐹 Fn ℕ0)
3921, 24, 38mp2an 692 . . . . . . . . . . 11 𝐹 Fn ℕ0
40 fz0ssnn0 13659 . . . . . . . . . . 11 (0...(𝑁 − 1)) ⊆ ℕ0
41 fnssres 6692 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 Fn ℕ0 ∧ (0...(𝑁 − 1)) ⊆ ℕ0) → (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) Fn (0...(𝑁 − 1)))
4239, 40, 41mp2an 692 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) Fn (0...(𝑁 − 1))
4342fndmi 6673 . . . . . . . . 9 dom (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) = (0...(𝑁 − 1))
4437, 43eqtrdi 2791 . . . . . . . 8 (𝑔 = (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) → dom 𝑔 = (0...(𝑁 − 1)))
4544fveq2d 6911 . . . . . . 7 (𝑔 = (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) → (♯‘dom 𝑔) = (♯‘(0...(𝑁 − 1))))
46 fveq1 6906 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑔𝑘) = ((𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1)))‘𝑘))
47 fvres 6926 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → ((𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1)))‘𝑘) = (𝐹𝑘))
4846, 47sylan9eq 2795 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔 = (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑔𝑘) = (𝐹𝑘))
4948oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 ((𝑔 = (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)) = ((𝐹𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))
5049oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 ((𝑔 = (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1))) = ((𝑛C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1))))
5144, 50sumeq12rdv 15740 . . . . . . . 8 (𝑔 = (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) → Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1))))
5251oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝑔 = (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))) = ((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))))
5345, 52csbeq12dv 3917 . . . . . 6 (𝑔 = (𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) → (♯‘dom 𝑔) / 𝑛((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))) = (♯‘(0...(𝑁 − 1))) / 𝑛((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))))
54 ovex 7464 . . . . . . 7 ((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))) ∈ V
5554csbex 5317 . . . . . 6 (♯‘(0...(𝑁 − 1))) / 𝑛((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))) ∈ V
5653, 5, 55fvmpt 7016 . . . . 5 ((𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1))) ∈ V → (𝐺‘(𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1)))) = (♯‘(0...(𝑁 − 1))) / 𝑛((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))))
5736, 56ax-mp 5 . . . 4 (𝐺‘(𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1)))) = (♯‘(0...(𝑁 − 1))) / 𝑛((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1))))
58 nfcvd 2904 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑛((𝑋𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑁𝑘) + 1)))))
59 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁 → (𝑋𝑛) = (𝑋𝑁))
60 oveq1 7438 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛C𝑘) = (𝑁C𝑘))
61 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛𝑘) = (𝑁𝑘))
6261oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑁 → ((𝑛𝑘) + 1) = ((𝑁𝑘) + 1))
6362oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑁 → ((𝐹𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)) = ((𝐹𝑘) / ((𝑁𝑘) + 1)))
6460, 63oveq12d 7449 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑁 → ((𝑛C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1))) = ((𝑁C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑁𝑘) + 1))))
6564sumeq2sdv 15736 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑁𝑘) + 1))))
6659, 65oveq12d 7449 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → ((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))) = ((𝑋𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑁𝑘) + 1)))))
6758, 66csbiegf 3942 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 / 𝑛((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))) = ((𝑋𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑁𝑘) + 1)))))
6867adantr 480 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → 𝑁 / 𝑛((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))) = ((𝑋𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑁𝑘) + 1)))))
69 nn0z 12636 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
70 fz01en 13589 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (0...(𝑁 − 1)) ≈ (1...𝑁))
7169, 70syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0...(𝑁 − 1)) ≈ (1...𝑁))
72 fzfi 14010 . . . . . . . . . 10 (0...(𝑁 − 1)) ∈ Fin
73 fzfi 14010 . . . . . . . . . 10 (1...𝑁) ∈ Fin
74 hashen 14383 . . . . . . . . . 10 (((0...(𝑁 − 1)) ∈ Fin ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → ((♯‘(0...(𝑁 − 1))) = (♯‘(1...𝑁)) ↔ (0...(𝑁 − 1)) ≈ (1...𝑁)))
7572, 73, 74mp2an 692 . . . . . . . . 9 ((♯‘(0...(𝑁 − 1))) = (♯‘(1...𝑁)) ↔ (0...(𝑁 − 1)) ≈ (1...𝑁))
7671, 75sylibr 234 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(0...(𝑁 − 1))) = (♯‘(1...𝑁)))
77 hashfz1 14382 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
7876, 77eqtrd 2775 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(0...(𝑁 − 1))) = 𝑁)
7978adantr 480 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (♯‘(0...(𝑁 − 1))) = 𝑁)
8079csbeq1d 3912 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (♯‘(0...(𝑁 − 1))) / 𝑛((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))) = 𝑁 / 𝑛((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))))
81 elfznn0 13657 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
82 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → 𝑋 ∈ ℂ)
83 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑘 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑘))
8411, 83sylan9eqr 2797 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 = 𝑘𝑥 = 𝑋) → (wrecs( < , ℕ0, (𝑔 ∈ V ↦ (♯‘dom 𝑔) / 𝑛((𝑥𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1))))))‘𝑚) = (𝐹𝑘))
85 fvex 6920 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝑘) ∈ V
8684, 14, 85ovmpoa 7588 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (𝑘 BernPoly 𝑋) = (𝐹𝑘))
8781, 82, 86syl2anr 597 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑘 BernPoly 𝑋) = (𝐹𝑘))
8887oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)) = ((𝐹𝑘) / ((𝑁𝑘) + 1)))
8988oveq2d 7447 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))) = ((𝑁C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑁𝑘) + 1))))
9089sumeq2dv 15735 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑁𝑘) + 1))))
9190oveq2d 7447 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑋𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)))) = ((𝑋𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑁𝑘) + 1)))))
9268, 80, 913eqtr4d 2785 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (♯‘(0...(𝑁 − 1))) / 𝑛((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑛C𝑘) · ((𝐹𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))) = ((𝑋𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)))))
9357, 92eqtrid 2787 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (𝐺‘(𝐹 ↾ (0...(𝑁 − 1)))) = ((𝑋𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)))))
9431, 93eqtrd 2775 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (𝐺‘(𝐹 ↾ Pred( < , ℕ0, 𝑁))) = ((𝑋𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)))))
9516, 27, 943eqtrd 2779 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (𝑁 BernPoly 𝑋) = ((𝑋𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  csb 3908  wss 3963   class class class wbr 5148  cmpt 5231   Se wse 5639   We wwe 5640  dom cdm 5689  cres 5691  Predcpred 6322  Fun wfun 6557   Fn wfn 6558  cfv 6563  (class class class)co 7431  wrecscwrecs 8335  cen 8981  Fincfn 8984  cc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293  cmin 11490   / cdiv 11918  0cn0 12524  cz 12611  cuz 12876  ...cfz 13544  cexp 14099  Ccbc 14338  chash 14366  Σcsu 15719   BernPoly cbp 16079
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-seq 14040  df-hash 14367  df-sum 15720  df-bpoly 16080
This theorem is referenced by:  bpolyval  16082
  Copyright terms: Public domain W3C validator