Theorem tfr2ALT 8401

Description: Alternate proof of tfr2 8398 using well-ordered recursion. (Contributed by Scott Fenton, 3-Aug-2020.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
tfrALT.1	⊢ 𝐹 = recs(𝐺)

Assertion

Ref	Expression
tfr2ALT	⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐹‘𝐴) = (𝐺‘(𝐹 ↾ 𝐴)))

Proof of Theorem tfr2ALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		epweon 7762	. . 3 ⊢ E We On
2		epse 5660	. . 3 ⊢ E Se On
3		tfrALT.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = recs(𝐺)
4		df-recs 8371	. . . . 5 ⊢ recs(𝐺) = wrecs( E , On, 𝐺)
5	3, 4	eqtri 2761	. . . 4 ⊢ 𝐹 = wrecs( E , On, 𝐺)
6	5	wfr2 8336	. . 3 ⊢ ((( E We On ∧ E Se On) ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐹‘𝐴) = (𝐺‘(𝐹 ↾ Pred( E , On, 𝐴))))
7	1, 2, 6	mpanl12 701	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐹‘𝐴) = (𝐺‘(𝐹 ↾ Pred( E , On, 𝐴))))
8		predon 7773	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → Pred( E , On, 𝐴) = 𝐴)
9	8	reseq2d 5982	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐹 ↾ Pred( E , On, 𝐴)) = (𝐹 ↾ 𝐴))
10	9	fveq2d 6896	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐺‘(𝐹 ↾ Pred( E , On, 𝐴))) = (𝐺‘(𝐹 ↾ 𝐴)))
11	7, 10	eqtrd 2773	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐹‘𝐴) = (𝐺‘(𝐹 ↾ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   E cep 5580   Se wse 5630   We wwe 5631   ↾ cres 5679  Predcpred 6300  Oncon0 6365  ‘cfv 6544  wrecscwrecs 8296  recscrecs 8370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371

This theorem is referenced by: (None)