MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tfr2ALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tfr2ALT 8422
Description: Alternate proof of tfr2 8419 using well-ordered recursion. (Contributed by Scott Fenton, 3-Aug-2020.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
tfrALT.1 𝐹 = recs(𝐺)
Assertion
Ref Expression
tfr2ALT (𝐴 ∈ On → (𝐹𝐴) = (𝐺‘(𝐹𝐴)))

Proof of Theorem tfr2ALT
StepHypRef Expression
1 epweon 7777 . . 3 E We On
2 epse 5661 . . 3 E Se On
3 tfrALT.1 . . . . 5 𝐹 = recs(𝐺)
4 df-recs 8392 . . . . 5 recs(𝐺) = wrecs( E , On, 𝐺)
53, 4eqtri 2756 . . . 4 𝐹 = wrecs( E , On, 𝐺)
65wfr2 8357 . . 3 ((( E We On ∧ E Se On) ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐹𝐴) = (𝐺‘(𝐹 ↾ Pred( E , On, 𝐴))))
71, 2, 6mpanl12 701 . 2 (𝐴 ∈ On → (𝐹𝐴) = (𝐺‘(𝐹 ↾ Pred( E , On, 𝐴))))
8 predon 7788 . . . 4 (𝐴 ∈ On → Pred( E , On, 𝐴) = 𝐴)
98reseq2d 5985 . . 3 (𝐴 ∈ On → (𝐹 ↾ Pred( E , On, 𝐴)) = (𝐹𝐴))
109fveq2d 6901 . 2 (𝐴 ∈ On → (𝐺‘(𝐹 ↾ Pred( E , On, 𝐴))) = (𝐺‘(𝐹𝐴)))
117, 10eqtrd 2768 1 (𝐴 ∈ On → (𝐹𝐴) = (𝐺‘(𝐹𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1534  wcel 2099   E cep 5581   Se wse 5631   We wwe 5632  cres 5680  Predcpred 6304  Oncon0 6369  cfv 6548  wrecscwrecs 8317  recscrecs 8391
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator