Theorem tfr2ALT 8369

Description: Alternate proof of tfr2 8366 using well-ordered recursion. (Contributed by Scott Fenton, 3-Aug-2020.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
tfrALT.1	⊢ 𝐹 = recs(𝐺)

Assertion

Ref	Expression
tfr2ALT	⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐹‘𝐴) = (𝐺‘(𝐹 ↾ 𝐴)))

Proof of Theorem tfr2ALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		epweon 7751	. . 3 ⊢ E We On
2		epse 5620	. . 3 ⊢ E Se On
3		tfrALT.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = recs(𝐺)
4		df-recs 8340	. . . . 5 ⊢ recs(𝐺) = wrecs( E , On, 𝐺)
5	3, 4	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ 𝐹 = wrecs( E , On, 𝐺)
6	5	wfr2 8306	. . 3 ⊢ ((( E We On ∧ E Se On) ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐹‘𝐴) = (𝐺‘(𝐹 ↾ Pred( E , On, 𝐴))))
7	1, 2, 6	mpanl12 702	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐹‘𝐴) = (𝐺‘(𝐹 ↾ Pred( E , On, 𝐴))))
8		predon 7762	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → Pred( E , On, 𝐴) = 𝐴)
9	8	reseq2d 5950	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐹 ↾ Pred( E , On, 𝐴)) = (𝐹 ↾ 𝐴))
10	9	fveq2d 6862	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐺‘(𝐹 ↾ Pred( E , On, 𝐴))) = (𝐺‘(𝐹 ↾ 𝐴)))
11	7, 10	eqtrd 2764	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐹‘𝐴) = (𝐺‘(𝐹 ↾ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   E cep 5537   Se wse 5589   We wwe 5590   ↾ cres 5640  Predcpred 6273  Oncon0 6332  ‘cfv 6511  wrecscwrecs 8290  recscrecs 8339

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340

This theorem is referenced by: (None)