Theorem tfr2ALT 8040

Description: Alternate proof of tfr2 8037 using well-founded recursion. (Contributed by Scott Fenton, 3-Aug-2020.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
tfrALT.1	⊢ 𝐹 = recs(𝐺)

Assertion

Ref	Expression
tfr2ALT	⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐹‘𝐴) = (𝐺‘(𝐹 ↾ 𝐴)))

Proof of Theorem tfr2ALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		epweon 7500	. . 3 ⊢ E We On
2		epse 5541	. . 3 ⊢ E Se On
3		tfrALT.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = recs(𝐺)
4		df-recs 8011	. . . 4 ⊢ recs(𝐺) = wrecs( E , On, 𝐺)
5	3, 4	eqtri 2847	. . 3 ⊢ 𝐹 = wrecs( E , On, 𝐺)
6	1, 2, 5	wfr2 7977	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐹‘𝐴) = (𝐺‘(𝐹 ↾ Pred( E , On, 𝐴))))
7		predon 7509	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → Pred( E , On, 𝐴) = 𝐴)
8	7	reseq2d 5856	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐹 ↾ Pred( E , On, 𝐴)) = (𝐹 ↾ 𝐴))
9	8	fveq2d 6677	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐺‘(𝐹 ↾ Pred( E , On, 𝐴))) = (𝐺‘(𝐹 ↾ 𝐴)))
10	6, 9	eqtrd 2859	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐹‘𝐴) = (𝐺‘(𝐹 ↾ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   E cep 5467   ↾ cres 5560  Predcpred 6150  Oncon0 6194  ‘cfv 6358  wrecscwrecs 7949  recscrecs 8010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-se 5518  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-wrecs 7950  df-recs 8011

This theorem is referenced by: (None)