Theorem tfr2ALT 8441

Description: Alternate proof of tfr2 8438 using well-ordered recursion. (Contributed by Scott Fenton, 3-Aug-2020.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
tfrALT.1	⊢ 𝐹 = recs(𝐺)

Assertion

Ref	Expression
tfr2ALT	⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐹‘𝐴) = (𝐺‘(𝐹 ↾ 𝐴)))

Proof of Theorem tfr2ALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		epweon 7795	. . 3 ⊢ E We On
2		epse 5667	. . 3 ⊢ E Se On
3		tfrALT.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = recs(𝐺)
4		df-recs 8411	. . . . 5 ⊢ recs(𝐺) = wrecs( E , On, 𝐺)
5	3, 4	eqtri 2765	. . . 4 ⊢ 𝐹 = wrecs( E , On, 𝐺)
6	5	wfr2 8376	. . 3 ⊢ ((( E We On ∧ E Se On) ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐹‘𝐴) = (𝐺‘(𝐹 ↾ Pred( E , On, 𝐴))))
7	1, 2, 6	mpanl12 702	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐹‘𝐴) = (𝐺‘(𝐹 ↾ Pred( E , On, 𝐴))))
8		predon 7806	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → Pred( E , On, 𝐴) = 𝐴)
9	8	reseq2d 5997	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐹 ↾ Pred( E , On, 𝐴)) = (𝐹 ↾ 𝐴))
10	9	fveq2d 6910	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐺‘(𝐹 ↾ Pred( E , On, 𝐴))) = (𝐺‘(𝐹 ↾ 𝐴)))
11	7, 10	eqtrd 2777	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐹‘𝐴) = (𝐺‘(𝐹 ↾ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   E cep 5583   Se wse 5635   We wwe 5636   ↾ cres 5687  Predcpred 6320  Oncon0 6384  ‘cfv 6561  wrecscwrecs 8336  recscrecs 8410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411

This theorem is referenced by: (None)