Theorem xrsupexmnf 13332

Description: Adding minus infinity to a set does not affect the existence of its supremum. (Contributed by NM, 26-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
xrsupexmnf	⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∪ {-∞}) ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {-∞})𝑦 < 𝑧)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem xrsupexmnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elun 4108	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴 ∪ {-∞}) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∨ 𝑦 ∈ {-∞}))
2		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑥 < 𝑦)) → (𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑥 < 𝑦))
3		velsn 4606	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ {-∞} ↔ 𝑦 = -∞)
4		nltmnf 13155	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → ¬ 𝑥 < -∞)
5		breq2 5114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = -∞ → (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝑥 < -∞))
6	5	notbid 321	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = -∞ → (¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑥 < -∞))
7	4, 6	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑦 = -∞ → ¬ 𝑥 < 𝑦))
8	3, 7	biimtrid 245	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ {-∞} → ¬ 𝑥 < 𝑦))
9	8	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑥 < 𝑦)) → (𝑦 ∈ {-∞} → ¬ 𝑥 < 𝑦))
10	2, 9	jaod 872	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑥 < 𝑦)) → ((𝑦 ∈ 𝐴 ∨ 𝑦 ∈ {-∞}) → ¬ 𝑥 < 𝑦))
11	1, 10	biimtrid 245	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑥 < 𝑦)) → (𝑦 ∈ (𝐴 ∪ {-∞}) → ¬ 𝑥 < 𝑦))
12	11	ex 417	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → ((𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑥 < 𝑦) → (𝑦 ∈ (𝐴 ∪ {-∞}) → ¬ 𝑥 < 𝑦)))
13	12	ralimdv2 3174	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 → ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∪ {-∞}) ¬ 𝑥 < 𝑦))
14		elun1 4136	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {-∞}))
15	14	anim1i 626	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 < 𝑧) → (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {-∞}) ∧ 𝑦 < 𝑧))
16	15	reximi2 3098	. . . . 5 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧 → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {-∞})𝑦 < 𝑧)
17	16	imim2i 17	. . . 4 ⊢ ((𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧) → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {-∞})𝑦 < 𝑧))
18	17	ralimi 3102	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧) → ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {-∞})𝑦 < 𝑧))
19	13, 18	anim12d1 621	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → ((∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)) → (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∪ {-∞}) ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {-∞})𝑦 < 𝑧))))
20	19	reximia 3100	1 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∪ {-∞}) ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {-∞})𝑦 < 𝑧)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ∃wrex 3089   ∪ cun 3904  {csn 4590   class class class wbr 5110  -∞cmnf 11242  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249

This theorem is referenced by:  xrsupss  13336