Theorem xrsupss 13323

Description: Any subset of extended reals has a supremum. (Contributed by NM, 25-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
xrsupss	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem xrsupss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrsupsslem 13321	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
2		ssdifss 4132	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝐴 ∖ {-∞}) ⊆ ℝ*)
3		ssxr 11315	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∖ {-∞}) ⊆ ℝ* → ((𝐴 ∖ {-∞}) ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞}) ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞})))
4		df-3or 1085	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∖ {-∞}) ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞}) ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞})) ↔ (((𝐴 ∖ {-∞}) ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞})) ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞})))
5		neldifsn 4797	. . . . . . 7 ⊢ ¬ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞})
6	5	biorfi 936	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∖ {-∞}) ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞})) ↔ (((𝐴 ∖ {-∞}) ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞})) ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞})))
7	4, 6	bitr4i 277	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∖ {-∞}) ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞}) ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞})) ↔ ((𝐴 ∖ {-∞}) ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞})))
8	3, 7	sylib 217	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∖ {-∞}) ⊆ ℝ* → ((𝐴 ∖ {-∞}) ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞})))
9		xrsupsslem 13321	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∖ {-∞}) ⊆ ℝ* ∧ ((𝐴 ∖ {-∞}) ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞}))) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {-∞}) ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {-∞})𝑦 < 𝑧)))
10	2, 8, 9	syl2anc2 583	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {-∞}) ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {-∞})𝑦 < 𝑧)))
11		xrsupexmnf 13319	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {-∞}) ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {-∞})𝑦 < 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}) ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞})𝑦 < 𝑧)))
12		snssi 4813	. . . . . 6 ⊢ (-∞ ∈ 𝐴 → {-∞} ⊆ 𝐴)
13		undif 4483	. . . . . . . 8 ⊢ ({-∞} ⊆ 𝐴 ↔ ({-∞} ∪ (𝐴 ∖ {-∞})) = 𝐴)
14		uncom 4150	. . . . . . . . 9 ⊢ ({-∞} ∪ (𝐴 ∖ {-∞})) = ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞})
15	14	eqeq1i 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (({-∞} ∪ (𝐴 ∖ {-∞})) = 𝐴 ↔ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}) = 𝐴)
16	13, 15	bitri 274	. . . . . . 7 ⊢ ({-∞} ⊆ 𝐴 ↔ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}) = 𝐴)
17		raleq 3311	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}) = 𝐴 → (∀𝑦 ∈ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}) ¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦))
18		rexeq 3310	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}) = 𝐴 → (∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞})𝑦 < 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))
19	18	imbi2d 339	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}) = 𝐴 → ((𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞})𝑦 < 𝑧) ↔ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
20	19	ralbidv 3167	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}) = 𝐴 → (∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞})𝑦 < 𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
21	17, 20	anbi12d 630	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}) = 𝐴 → ((∀𝑦 ∈ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}) ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞})𝑦 < 𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))))
22	16, 21	sylbi 216	. . . . . 6 ⊢ ({-∞} ⊆ 𝐴 → ((∀𝑦 ∈ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}) ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞})𝑦 < 𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))))
23	12, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ (-∞ ∈ 𝐴 → ((∀𝑦 ∈ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}) ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞})𝑦 < 𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))))
24	23	rexbidv 3168	. . . 4 ⊢ (-∞ ∈ 𝐴 → (∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}) ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞})𝑦 < 𝑧)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))))
25	11, 24	imbitrid 243	. . 3 ⊢ (-∞ ∈ 𝐴 → (∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {-∞}) ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {-∞})𝑦 < 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))))
26	10, 25	mpan9 505	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ -∞ ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
27		ssxr 11315	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴))
28		df-3or 1085	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴) ↔ ((𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴) ∨ -∞ ∈ 𝐴))
29	27, 28	sylib 217	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ((𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴) ∨ -∞ ∈ 𝐴))
30	1, 26, 29	mpjaodan 956	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∨ w3o 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3050  ∃wrex 3059   ∖ cdif 3941   ∪ cun 3942   ⊆ wss 3944  {csn 4630   class class class wbr 5149  ℝcr 11139  +∞cpnf 11277  -∞cmnf 11278  ℝ^*cxr 11279   < clt 11280

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479

This theorem is referenced by:  supxrcl  13329  supxrun  13330  supxrunb1  13333  supxrunb2  13334  supxrub  13338  supxrlub  13339  xrsupssd  32611  xrsclat  32827  itg2addnclem  37275