Theorem xrsupss 13208

Description: Any subset of extended reals has a supremum. (Contributed by NM, 25-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
xrsupss	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem xrsupss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrsupsslem 13206	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
2		ssdifss 4087	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝐴 ∖ {-∞}) ⊆ ℝ*)
3		ssxr 11182	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∖ {-∞}) ⊆ ℝ* → ((𝐴 ∖ {-∞}) ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞}) ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞})))
4		df-3or 1087	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∖ {-∞}) ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞}) ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞})) ↔ (((𝐴 ∖ {-∞}) ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞})) ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞})))
5		neldifsn 4741	. . . . . . 7 ⊢ ¬ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞})
6	5	biorfri 939	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∖ {-∞}) ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞})) ↔ (((𝐴 ∖ {-∞}) ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞})) ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞})))
7	4, 6	bitr4i 278	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∖ {-∞}) ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞}) ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞})) ↔ ((𝐴 ∖ {-∞}) ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞})))
8	3, 7	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∖ {-∞}) ⊆ ℝ* → ((𝐴 ∖ {-∞}) ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞})))
9		xrsupsslem 13206	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∖ {-∞}) ⊆ ℝ* ∧ ((𝐴 ∖ {-∞}) ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞}))) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {-∞}) ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {-∞})𝑦 < 𝑧)))
10	2, 8, 9	syl2anc2 585	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {-∞}) ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {-∞})𝑦 < 𝑧)))
11		xrsupexmnf 13204	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {-∞}) ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {-∞})𝑦 < 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}) ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞})𝑦 < 𝑧)))
12		snssi 4757	. . . . . 6 ⊢ (-∞ ∈ 𝐴 → {-∞} ⊆ 𝐴)
13		undif 4429	. . . . . . . 8 ⊢ ({-∞} ⊆ 𝐴 ↔ ({-∞} ∪ (𝐴 ∖ {-∞})) = 𝐴)
14		uncom 4105	. . . . . . . . 9 ⊢ ({-∞} ∪ (𝐴 ∖ {-∞})) = ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞})
15	14	eqeq1i 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (({-∞} ∪ (𝐴 ∖ {-∞})) = 𝐴 ↔ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}) = 𝐴)
16	13, 15	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ ({-∞} ⊆ 𝐴 ↔ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}) = 𝐴)
17		raleq 3289	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}) = 𝐴 → (∀𝑦 ∈ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}) ¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦))
18		rexeq 3288	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}) = 𝐴 → (∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞})𝑦 < 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))
19	18	imbi2d 340	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}) = 𝐴 → ((𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞})𝑦 < 𝑧) ↔ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
20	19	ralbidv 3155	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}) = 𝐴 → (∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞})𝑦 < 𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
21	17, 20	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}) = 𝐴 → ((∀𝑦 ∈ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}) ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞})𝑦 < 𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))))
22	16, 21	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ ({-∞} ⊆ 𝐴 → ((∀𝑦 ∈ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}) ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞})𝑦 < 𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))))
23	12, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ (-∞ ∈ 𝐴 → ((∀𝑦 ∈ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}) ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞})𝑦 < 𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))))
24	23	rexbidv 3156	. . . 4 ⊢ (-∞ ∈ 𝐴 → (∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}) ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞})𝑦 < 𝑧)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))))
25	11, 24	imbitrid 244	. . 3 ⊢ (-∞ ∈ 𝐴 → (∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {-∞}) ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {-∞})𝑦 < 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))))
26	10, 25	mpan9 506	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ -∞ ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
27		ssxr 11182	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴))
28		df-3or 1087	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴) ↔ ((𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴) ∨ -∞ ∈ 𝐴))
29	27, 28	sylib 218	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ((𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴) ∨ -∞ ∈ 𝐴))
30	1, 26, 29	mpjaodan 960	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∨ w3o 1085   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ∃wrex 3056   ∖ cdif 3894   ∪ cun 3895   ⊆ wss 3897  {csn 4573   class class class wbr 5089  ℝcr 11005  +∞cpnf 11143  -∞cmnf 11144  ℝ^*cxr 11145   < clt 11146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347

This theorem is referenced by:  supxrcl  13214  supxrun  13215  supxrunb1  13218  supxrunb2  13219  supxrub  13223  supxrlub  13224  xrsupssd  13232  xrsclat  32992  itg2addnclem  37721