Theorem xrsupss 13330

Description: Any subset of extended reals has a supremum. (Contributed by NM, 25-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
xrsupss	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem xrsupss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrsupsslem 13328	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
2		ssdifss 4094	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝐴 ∖ {-∞}) ⊆ ℝ*)
3		ssxr 11274	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∖ {-∞}) ⊆ ℝ* → ((𝐴 ∖ {-∞}) ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞}) ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞})))
4		df-3or 1104	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∖ {-∞}) ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞}) ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞})) ↔ (((𝐴 ∖ {-∞}) ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞})) ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞})))
5		neldifsn 4760	. . . . . . 7 ⊢ ¬ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞})
6	5	biorfri 952	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∖ {-∞}) ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞})) ↔ (((𝐴 ∖ {-∞}) ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞})) ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞})))
7	4, 6	bitr4i 281	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∖ {-∞}) ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞}) ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞})) ↔ ((𝐴 ∖ {-∞}) ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞})))
8	3, 7	sylib 221	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∖ {-∞}) ⊆ ℝ* → ((𝐴 ∖ {-∞}) ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞})))
9		xrsupsslem 13328	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∖ {-∞}) ⊆ ℝ* ∧ ((𝐴 ∖ {-∞}) ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞}))) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {-∞}) ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {-∞})𝑦 < 𝑧)))
10	2, 8, 9	syl2anc2 596	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {-∞}) ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {-∞})𝑦 < 𝑧)))
11		xrsupexmnf 13326	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {-∞}) ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {-∞})𝑦 < 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}) ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞})𝑦 < 𝑧)))
12		snssi 4751	. . . . . 6 ⊢ (-∞ ∈ 𝐴 → {-∞} ⊆ 𝐴)
13		undif 4443	. . . . . . . 8 ⊢ ({-∞} ⊆ 𝐴 ↔ ({-∞} ∪ (𝐴 ∖ {-∞})) = 𝐴)
14		uncom 4112	. . . . . . . . 9 ⊢ ({-∞} ∪ (𝐴 ∖ {-∞})) = ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞})
15	14	eqeq1i 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (({-∞} ∪ (𝐴 ∖ {-∞})) = 𝐴 ↔ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}) = 𝐴)
16	13, 15	bitri 278	. . . . . . 7 ⊢ ({-∞} ⊆ 𝐴 ↔ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}) = 𝐴)
17		raleq 3320	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}) = 𝐴 → (∀𝑦 ∈ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}) ¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦))
18		rexeq 3319	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}) = 𝐴 → (∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞})𝑦 < 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))
19	18	imbi2d 343	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}) = 𝐴 → ((𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞})𝑦 < 𝑧) ↔ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
20	19	ralbidv 3188	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}) = 𝐴 → (∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞})𝑦 < 𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
21	17, 20	anbi12d 643	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}) = 𝐴 → ((∀𝑦 ∈ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}) ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞})𝑦 < 𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))))
22	16, 21	sylbi 220	. . . . . 6 ⊢ ({-∞} ⊆ 𝐴 → ((∀𝑦 ∈ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}) ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞})𝑦 < 𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))))
23	12, 22	syl 18	. . . . 5 ⊢ (-∞ ∈ 𝐴 → ((∀𝑦 ∈ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}) ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞})𝑦 < 𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))))
24	23	rexbidv 3189	. . . 4 ⊢ (-∞ ∈ 𝐴 → (∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}) ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞})𝑦 < 𝑧)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))))
25	11, 24	imbitrid 247	. . 3 ⊢ (-∞ ∈ 𝐴 → (∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {-∞}) ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {-∞})𝑦 < 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))))
26	10, 25	mpan9 515	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ -∞ ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
27		ssxr 11274	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴))
28		df-3or 1104	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴) ↔ ((𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴) ∨ -∞ ∈ 𝐴))
29	27, 28	sylib 221	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ((𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴) ∨ -∞ ∈ 𝐴))
30	1, 26, 29	mpjaodan 973	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ∃wrex 3089   ∖ cdif 3902   ∪ cun 3903   ⊆ wss 3905  {csn 4589   class class class wbr 5109  ℝcr 11094  +∞cpnf 11235  -∞cmnf 11236  ℝ^*cxr 11237   < clt 11238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439

This theorem is referenced by:  supxrcl  13336  supxrun  13337  supxrunb1  13340  supxrunb2  13341  supxrub  13345  supxrlub  13346  xrsupssd  13354  xrsclat  33331  itg2addnclem  38342