Theorem xrsupss 13236

Description: Any subset of extended reals has a supremum. (Contributed by NM, 25-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
xrsupss	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem xrsupss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrsupsslem 13234	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
2		ssdifss 4094	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝐴 ∖ {-∞}) ⊆ ℝ*)
3		ssxr 11214	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∖ {-∞}) ⊆ ℝ* → ((𝐴 ∖ {-∞}) ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞}) ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞})))
4		df-3or 1088	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∖ {-∞}) ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞}) ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞})) ↔ (((𝐴 ∖ {-∞}) ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞})) ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞})))
5		neldifsn 4750	. . . . . . 7 ⊢ ¬ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞})
6	5	biorfri 940	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∖ {-∞}) ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞})) ↔ (((𝐴 ∖ {-∞}) ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞})) ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞})))
7	4, 6	bitr4i 278	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∖ {-∞}) ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞}) ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞})) ↔ ((𝐴 ∖ {-∞}) ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞})))
8	3, 7	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∖ {-∞}) ⊆ ℝ* → ((𝐴 ∖ {-∞}) ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞})))
9		xrsupsslem 13234	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∖ {-∞}) ⊆ ℝ* ∧ ((𝐴 ∖ {-∞}) ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ (𝐴 ∖ {-∞}))) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {-∞}) ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {-∞})𝑦 < 𝑧)))
10	2, 8, 9	syl2anc2 586	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {-∞}) ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {-∞})𝑦 < 𝑧)))
11		xrsupexmnf 13232	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {-∞}) ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {-∞})𝑦 < 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}) ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞})𝑦 < 𝑧)))
12		snssi 4766	. . . . . 6 ⊢ (-∞ ∈ 𝐴 → {-∞} ⊆ 𝐴)
13		undif 4436	. . . . . . . 8 ⊢ ({-∞} ⊆ 𝐴 ↔ ({-∞} ∪ (𝐴 ∖ {-∞})) = 𝐴)
14		uncom 4112	. . . . . . . . 9 ⊢ ({-∞} ∪ (𝐴 ∖ {-∞})) = ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞})
15	14	eqeq1i 2742	. . . . . . . 8 ⊢ (({-∞} ∪ (𝐴 ∖ {-∞})) = 𝐴 ↔ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}) = 𝐴)
16	13, 15	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ ({-∞} ⊆ 𝐴 ↔ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}) = 𝐴)
17		raleq 3295	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}) = 𝐴 → (∀𝑦 ∈ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}) ¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦))
18		rexeq 3294	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}) = 𝐴 → (∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞})𝑦 < 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))
19	18	imbi2d 340	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}) = 𝐴 → ((𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞})𝑦 < 𝑧) ↔ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
20	19	ralbidv 3161	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}) = 𝐴 → (∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞})𝑦 < 𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
21	17, 20	anbi12d 633	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}) = 𝐴 → ((∀𝑦 ∈ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}) ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞})𝑦 < 𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))))
22	16, 21	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ ({-∞} ⊆ 𝐴 → ((∀𝑦 ∈ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}) ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞})𝑦 < 𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))))
23	12, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ (-∞ ∈ 𝐴 → ((∀𝑦 ∈ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}) ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞})𝑦 < 𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))))
24	23	rexbidv 3162	. . . 4 ⊢ (-∞ ∈ 𝐴 → (∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}) ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞})𝑦 < 𝑧)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))))
25	11, 24	imbitrid 244	. . 3 ⊢ (-∞ ∈ 𝐴 → (∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {-∞}) ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {-∞})𝑦 < 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))))
26	10, 25	mpan9 506	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ -∞ ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
27		ssxr 11214	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴))
28		df-3or 1088	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴) ↔ ((𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴) ∨ -∞ ∈ 𝐴))
29	27, 28	sylib 218	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ((𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴) ∨ -∞ ∈ 𝐴))
30	1, 26, 29	mpjaodan 961	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∨ w3o 1086   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ∖ cdif 3900   ∪ cun 3901   ⊆ wss 3903  {csn 4582   class class class wbr 5100  ℝcr 11037  +∞cpnf 11175  -∞cmnf 11176  ℝ^*cxr 11177   < clt 11178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379

This theorem is referenced by:  supxrcl  13242  supxrun  13243  supxrunb1  13246  supxrunb2  13247  supxrub  13251  supxrlub  13252  xrsupssd  13260  xrsclat  33104  itg2addnclem  37922