Theorem xnn0add4d 13325

Description: Rearrangement of 4 terms in a sum for extended addition of extended nonnegative integers, analogous to xadd4d 13324. (Contributed by AV, 12-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
xnn0add4d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0*)
xnn0add4d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0*)
xnn0add4d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0*)
xnn0add4d.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0*)

Assertion

Ref	Expression
xnn0add4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)))

Proof of Theorem xnn0add4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xnn0add4d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0*)
2		xnn0xrnemnf 12596	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0* → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞))
4		xnn0add4d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0*)
5		xnn0xrnemnf 12596	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0* → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞))
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞))
7		xnn0add4d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0*)
8		xnn0xrnemnf 12596	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0* → (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞))
9	7, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞))
10		xnn0add4d.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0*)
11		xnn0xrnemnf 12596	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ0* → (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≠ -∞))
12	10, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≠ -∞))
13	3, 6, 9, 12	xadd4d 13324	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2937  (class class class)co 7426  -∞cmnf 11286  ℝ^*cxr 11287  ℕ₀^*cxnn0 12584   +_𝑒 cxad 13132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-nn 12253  df-n0 12513  df-xnn0 12585  df-xadd 13135

This theorem is referenced by:  vtxdun  29323  vtxdginducedm1  29385