MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xnn0add4d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xnn0add4d 13279
Description: Rearrangement of 4 terms in a sum for extended addition of extended nonnegative integers, analogous to xadd4d 13278. (Contributed by AV, 12-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
xnn0add4d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0*)
xnn0add4d.2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ0*)
xnn0add4d.3 (𝜑𝐶 ∈ ℕ0*)
xnn0add4d.4 (𝜑𝐷 ∈ ℕ0*)
Assertion
Ref Expression
xnn0add4d (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)))

Proof of Theorem xnn0add4d
StepHypRef Expression
1 xnn0add4d.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0*)
2 xnn0xrnemnf 12552 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ0* → (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞))
31, 2syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞))
4 xnn0add4d.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℕ0*)
5 xnn0xrnemnf 12552 . . 3 (𝐵 ∈ ℕ0* → (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞))
64, 5syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞))
7 xnn0add4d.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℕ0*)
8 xnn0xrnemnf 12552 . . 3 (𝐶 ∈ ℕ0* → (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞))
97, 8syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞))
10 xnn0add4d.4 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℕ0*)
11 xnn0xrnemnf 12552 . . 3 (𝐷 ∈ ℕ0* → (𝐷 ∈ ℝ*𝐷 ≠ -∞))
1210, 11syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐷 ∈ ℝ*𝐷 ≠ -∞))
133, 6, 9, 12xadd4d 13278 1 (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  (class class class)co 7404  -∞cmnf 11242  *cxr 11243  0*cxnn0 12540   +𝑒 cxad 13086
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-nn 12209  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-xadd 13089
This theorem is referenced by:  vtxdun  28718  vtxdginducedm1  28780
  Copyright terms: Public domain W3C validator