MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xnn0add4d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xnn0add4d 13282
Description: Rearrangement of 4 terms in a sum for extended addition of extended nonnegative integers, analogous to xadd4d 13281. (Contributed by AV, 12-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
xnn0add4d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0*)
xnn0add4d.2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ0*)
xnn0add4d.3 (𝜑𝐶 ∈ ℕ0*)
xnn0add4d.4 (𝜑𝐷 ∈ ℕ0*)
Assertion
Ref Expression
xnn0add4d (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)))

Proof of Theorem xnn0add4d
StepHypRef Expression
1 xnn0add4d.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0*)
2 xnn0xrnemnf 12555 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ0* → (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞))
31, 2syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞))
4 xnn0add4d.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℕ0*)
5 xnn0xrnemnf 12555 . . 3 (𝐵 ∈ ℕ0* → (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞))
64, 5syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞))
7 xnn0add4d.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℕ0*)
8 xnn0xrnemnf 12555 . . 3 (𝐶 ∈ ℕ0* → (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞))
97, 8syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞))
10 xnn0add4d.4 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℕ0*)
11 xnn0xrnemnf 12555 . . 3 (𝐷 ∈ ℕ0* → (𝐷 ∈ ℝ*𝐷 ≠ -∞))
1210, 11syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐷 ∈ ℝ*𝐷 ≠ -∞))
133, 6, 9, 12xadd4d 13281 1 (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2940  (class class class)co 7408  -∞cmnf 11245  *cxr 11246  0*cxnn0 12543   +𝑒 cxad 13089
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-nn 12212  df-n0 12472  df-xnn0 12544  df-xadd 13092
This theorem is referenced by:  vtxdun  28735  vtxdginducedm1  28797
  Copyright terms: Public domain W3C validator