MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xnn0add4d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xnn0add4d 13343
Description: Rearrangement of 4 terms in a sum for extended addition of extended nonnegative integers, analogous to xadd4d 13342. (Contributed by AV, 12-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
xnn0add4d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0*)
xnn0add4d.2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ0*)
xnn0add4d.3 (𝜑𝐶 ∈ ℕ0*)
xnn0add4d.4 (𝜑𝐷 ∈ ℕ0*)
Assertion
Ref Expression
xnn0add4d (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)))

Proof of Theorem xnn0add4d
StepHypRef Expression
1 xnn0add4d.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0*)
2 xnn0xrnemnf 12609 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ0* → (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞))
31, 2syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞))
4 xnn0add4d.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℕ0*)
5 xnn0xrnemnf 12609 . . 3 (𝐵 ∈ ℕ0* → (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞))
64, 5syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞))
7 xnn0add4d.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℕ0*)
8 xnn0xrnemnf 12609 . . 3 (𝐶 ∈ ℕ0* → (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞))
97, 8syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞))
10 xnn0add4d.4 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℕ0*)
11 xnn0xrnemnf 12609 . . 3 (𝐷 ∈ ℕ0* → (𝐷 ∈ ℝ*𝐷 ≠ -∞))
1210, 11syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐷 ∈ ℝ*𝐷 ≠ -∞))
133, 6, 9, 12xadd4d 13342 1 (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  (class class class)co 7431  -∞cmnf 11291  *cxr 11292  0*cxnn0 12597   +𝑒 cxad 13150
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-nn 12265  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-xadd 13153
This theorem is referenced by:  vtxdun  29514  vtxdginducedm1  29576
  Copyright terms: Public domain W3C validator