Theorem co01 5093

Description: Composition with the empty set. (Contributed by set.mm contributors, 24-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
co01	⊢ (∅ ∘ A) = ∅

Proof of Theorem co01

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eq0 3564	. 2 ⊢ ((∅ ∘ A) = ∅ ↔ ∀x ¬ x ∈ (∅ ∘ A))
2		noel 3554	. . . . . 6 ⊢ ¬ ⟨y, Proj2 x⟩ ∈ ∅
3		df-br 4640	. . . . . 6 ⊢ (y∅ Proj2 x ↔ ⟨y, Proj2 x⟩ ∈ ∅)
4	2, 3	mtbir 290	. . . . 5 ⊢ ¬ y∅ Proj2 x
5	4	intnan 880	. . . 4 ⊢ ¬ ( Proj1 xAy ∧ y∅ Proj2 x)
6	5	nex 1555	. . 3 ⊢ ¬ ∃y( Proj1 xAy ∧ y∅ Proj2 x)
7		opeq 4619	. . . . 5 ⊢ x = ⟨ Proj1 x, Proj2 x⟩
8	7	eleq1i 2416	. . . 4 ⊢ (x ∈ (∅ ∘ A) ↔ ⟨ Proj1 x, Proj2 x⟩ ∈ (∅ ∘ A))
9		opelco 4884	. . . 4 ⊢ (⟨ Proj1 x, Proj2 x⟩ ∈ (∅ ∘ A) ↔ ∃y( Proj1 xAy ∧ y∅ Proj2 x))
10	8, 9	bitri 240	. . 3 ⊢ (x ∈ (∅ ∘ A) ↔ ∃y( Proj1 xAy ∧ y∅ Proj2 x))
11	6, 10	mtbir 290	. 2 ⊢ ¬ x ∈ (∅ ∘ A)
12	1, 11	mpgbir 1550	1 ⊢ (∅ ∘ A) = ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 358  ∃wex 1541   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  ∅c0 3550  ⟨cop 4561   Proj1 cproj1 4563   Proj2 cproj2 4564   class class class wbr 4639   ∘ ccom 4721

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-co 4726

This theorem is referenced by:  fun0  5154