New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  f1co GIF version

Theorem f1co 5264
 Description: Composition of one-to-one functions. Exercise 30 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by set.mm contributors, 28-May-1998.)
Assertion
Ref Expression
f1co ((F:B1-1C G:A1-1B) → (F G):A1-1C)

Proof of Theorem f1co
StepHypRef Expression
1 fco 5231 . . . 4 ((F:B–→C G:A–→B) → (F G):A–→C)
2 funco 5142 . . . . . 6 ((Fun G Fun F) → Fun (G F))
3 cnvco 4894 . . . . . . 7 (F G) = (G F)
43funeqi 5128 . . . . . 6 (Fun (F G) ↔ Fun (G F))
52, 4sylibr 203 . . . . 5 ((Fun G Fun F) → Fun (F G))
65ancoms 439 . . . 4 ((Fun F Fun G) → Fun (F G))
71, 6anim12i 549 . . 3 (((F:B–→C G:A–→B) (Fun F Fun G)) → ((F G):A–→C Fun (F G)))
87an4s 799 . 2 (((F:B–→C Fun F) (G:A–→B Fun G)) → ((F G):A–→C Fun (F G)))
9 df-f1 4792 . . 3 (F:B1-1C ↔ (F:B–→C Fun F))
10 df-f1 4792 . . 3 (G:A1-1B ↔ (G:A–→B Fun G))
119, 10anbi12i 678 . 2 ((F:B1-1C G:A1-1B) ↔ ((F:B–→C Fun F) (G:A–→B Fun G)))
12 df-f1 4792 . 2 ((F G):A1-1C ↔ ((F G):A–→C Fun (F G)))
138, 11, 123imtr4i 257 1 ((F:B1-1C G:A1-1B) → (F G):A1-1C)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 358   ∘ ccom 4721  ◡ccnv 4771  Fun wfun 4775  –→wf 4777  –1-1→wf1 4778 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-co 4726  df-ima 4727  df-id 4767  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-fun 4789  df-fn 4790  df-f 4791  df-f1 4792 This theorem is referenced by:  f1oco  5308  nclenc  6222
 Copyright terms: Public domain W3C validator