Theorem fnfullfunlem2 5858

Description: Lemma for fnfullfun 5859. Part one of the full function operator yields a function. (Contributed by SF, 9-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fnfullfunlem2	⊢ Fun (( I ∘ F) ∖ ( ∼ I ∘ F))

Proof of Theorem fnfullfunlem2

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffun2 5120	. 2 ⊢ (Fun (( I ∘ F) ∖ ( ∼ I ∘ F)) ↔ ∀x∀y∀z((x(( I ∘ F) ∖ ( ∼ I ∘ F))y ∧ x(( I ∘ F) ∖ ( ∼ I ∘ F))z) → y = z))
2		fnfullfunlem1 5857	. . . 4 ⊢ (x(( I ∘ F) ∖ ( ∼ I ∘ F))y ↔ (xFy ∧ ∀z(xFz → z = y)))
3		fnfullfunlem1 5857	. . . 4 ⊢ (x(( I ∘ F) ∖ ( ∼ I ∘ F))z ↔ (xFz ∧ ∀y(xFy → y = z)))
4		sp 1747	. . . . . 6 ⊢ (∀y(xFy → y = z) → (xFy → y = z))
5	4	impcom 419	. . . . 5 ⊢ ((xFy ∧ ∀y(xFy → y = z)) → y = z)
6	5	ad2ant2rl 729	. . . 4 ⊢ (((xFy ∧ ∀z(xFz → z = y)) ∧ (xFz ∧ ∀y(xFy → y = z))) → y = z)
7	2, 3, 6	syl2anb 465	. . 3 ⊢ ((x(( I ∘ F) ∖ ( ∼ I ∘ F))y ∧ x(( I ∘ F) ∖ ( ∼ I ∘ F))z) → y = z)
8	7	gen2 1547	. 2 ⊢ ∀y∀z((x(( I ∘ F) ∖ ( ∼ I ∘ F))y ∧ x(( I ∘ F) ∖ ( ∼ I ∘ F))z) → y = z)
9	1, 8	mpgbir 1550	1 ⊢ Fun (( I ∘ F) ∖ ( ∼ I ∘ F))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 358  ∀wal 1540   ∼ ccompl 3206   ∖ cdif 3207   class class class wbr 4640   ∘ ccom 4722   I cid 4764  Fun wfun 4776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-opab 4624  df-br 4641  df-co 4727  df-id 4768  df-cnv 4786  df-fun 4790

This theorem is referenced by:  fnfullfun  5859  fvfullfun  5865