Theorem funssxp 5233

Description: Two ways of specifying a partial function from A to B. (Contributed by set.mm contributors, 13-Nov-2007.)

Assertion

Ref	Expression
funssxp	⊢ ((Fun F ∧ F ⊆ (A × B)) ↔ (F:dom F–→B ∧ dom F ⊆ A))

Proof of Theorem funssxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfn 5136	. . . . . 6 ⊢ (Fun F ↔ F Fn dom F)
2	1	biimpi 186	. . . . 5 ⊢ (Fun F → F Fn dom F)
3		rnss 4959	. . . . . 6 ⊢ (F ⊆ (A × B) → ran F ⊆ ran (A × B))
4		rnxpss 5053	. . . . . 6 ⊢ ran (A × B) ⊆ B
5	3, 4	syl6ss 3284	. . . . 5 ⊢ (F ⊆ (A × B) → ran F ⊆ B)
6	2, 5	anim12i 549	. . . 4 ⊢ ((Fun F ∧ F ⊆ (A × B)) → (F Fn dom F ∧ ran F ⊆ B))
7		df-f 4791	. . . 4 ⊢ (F:dom F–→B ↔ (F Fn dom F ∧ ran F ⊆ B))
8	6, 7	sylibr 203	. . 3 ⊢ ((Fun F ∧ F ⊆ (A × B)) → F:dom F–→B)
9		dmss 4906	. . . . 5 ⊢ (F ⊆ (A × B) → dom F ⊆ dom (A × B))
10		dmxpss 5052	. . . . 5 ⊢ dom (A × B) ⊆ A
11	9, 10	syl6ss 3284	. . . 4 ⊢ (F ⊆ (A × B) → dom F ⊆ A)
12	11	adantl 452	. . 3 ⊢ ((Fun F ∧ F ⊆ (A × B)) → dom F ⊆ A)
13	8, 12	jca 518	. 2 ⊢ ((Fun F ∧ F ⊆ (A × B)) → (F:dom F–→B ∧ dom F ⊆ A))
14		ffun 5225	. . . 4 ⊢ (F:dom F–→B → Fun F)
15	14	adantr 451	. . 3 ⊢ ((F:dom F–→B ∧ dom F ⊆ A) → Fun F)
16		fssxp 5232	. . . 4 ⊢ (F:dom F–→B → F ⊆ (dom F × B))
17		xpss1 4856	. . . 4 ⊢ (dom F ⊆ A → (dom F × B) ⊆ (A × B))
18	16, 17	sylan9ss 3285	. . 3 ⊢ ((F:dom F–→B ∧ dom F ⊆ A) → F ⊆ (A × B))
19	15, 18	jca 518	. 2 ⊢ ((F:dom F–→B ∧ dom F ⊆ A) → (Fun F ∧ F ⊆ (A × B)))
20	13, 19	impbii 180	1 ⊢ ((Fun F ∧ F ⊆ (A × B)) ↔ (F:dom F–→B ∧ dom F ⊆ A))

Syntax hints:   ↔ wb 176   ∧ wa 358   ⊆ wss 3257   × cxp 4770  dom cdm 4772  ran crn 4773  Fun wfun 4775   Fn wfn 4776  –→wf 4777

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-ima 4727  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-fn 4790  df-f 4791

This theorem is referenced by:  elpm2g  6014