Theorem lec0cg 6199

Description: Cardinal zero is a minimal element of cardinal less than or equal. Theorem XI.2.15 of [Rosser] p. 376. (Contributed by SF, 4-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lec0cg	⊢ ((A ∈ V ∧ A ≠ ∅) → 0c ≤c A)

Proof of Theorem lec0cg

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 3580	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ⊆ y
2	1	jctr 526	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ A → (y ∈ A ∧ ∅ ⊆ y))
3	2	eximi 1576	. . . . 5 ⊢ (∃y y ∈ A → ∃y(y ∈ A ∧ ∅ ⊆ y))
4		n0 3560	. . . . 5 ⊢ (A ≠ ∅ ↔ ∃y y ∈ A)
5		df-rex 2621	. . . . 5 ⊢ (∃y ∈ A ∅ ⊆ y ↔ ∃y(y ∈ A ∧ ∅ ⊆ y))
6	3, 4, 5	3imtr4i 257	. . . 4 ⊢ (A ≠ ∅ → ∃y ∈ A ∅ ⊆ y)
7		df-0c 4378	. . . . . 6 ⊢ 0c = {∅}
8		rexeq 2809	. . . . . 6 ⊢ (0c = {∅} → (∃x ∈ 0c ∃y ∈ A x ⊆ y ↔ ∃x ∈ {∅}∃y ∈ A x ⊆ y))
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (∃x ∈ 0c ∃y ∈ A x ⊆ y ↔ ∃x ∈ {∅}∃y ∈ A x ⊆ y)
10		0ex 4111	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
11		sseq1 3293	. . . . . . 7 ⊢ (x = ∅ → (x ⊆ y ↔ ∅ ⊆ y))
12	11	rexbidv 2636	. . . . . 6 ⊢ (x = ∅ → (∃y ∈ A x ⊆ y ↔ ∃y ∈ A ∅ ⊆ y))
13	10, 12	rexsn 3769	. . . . 5 ⊢ (∃x ∈ {∅}∃y ∈ A x ⊆ y ↔ ∃y ∈ A ∅ ⊆ y)
14	9, 13	bitri 240	. . . 4 ⊢ (∃x ∈ 0c ∃y ∈ A x ⊆ y ↔ ∃y ∈ A ∅ ⊆ y)
15	6, 14	sylibr 203	. . 3 ⊢ (A ≠ ∅ → ∃x ∈ 0c ∃y ∈ A x ⊆ y)
16	15	adantl 452	. 2 ⊢ ((A ∈ V ∧ A ≠ ∅) → ∃x ∈ 0c ∃y ∈ A x ⊆ y)
17		0cex 4393	. . . 4 ⊢ 0c ∈ V
18		brlecg 6113	. . . 4 ⊢ ((0c ∈ V ∧ A ∈ V) → (0c ≤c A ↔ ∃x ∈ 0c ∃y ∈ A x ⊆ y))
19	17, 18	mpan 651	. . 3 ⊢ (A ∈ V → (0c ≤c A ↔ ∃x ∈ 0c ∃y ∈ A x ⊆ y))
20	19	adantr 451	. 2 ⊢ ((A ∈ V ∧ A ≠ ∅) → (0c ≤c A ↔ ∃x ∈ 0c ∃y ∈ A x ⊆ y))
21	16, 20	mpbird 223	1 ⊢ ((A ∈ V ∧ A ≠ ∅) → 0c ≤c A)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358  ∃wex 1541   = wceq 1642   ∈ wcel 1710   ≠ wne 2517  ∃wrex 2616  Vcvv 2860   ⊆ wss 3258  ∅c0 3551  {csn 3738  0_cc0c 4375   class class class wbr 4640   ≤_c clec 6090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-opab 4624  df-br 4641  df-lec 6100

This theorem is referenced by:  le0nc  6201