Theorem opelopabt 4700

Description: Closed theorem form of opelopab 4709. (Contributed by NM, 19-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
opelopabt	⊢ ((∀x∀y(x = A → (φ ↔ ψ)) ∧ ∀x∀y(y = B → (ψ ↔ χ)) ∧ (A ∈ V ∧ B ∈ W)) → (⟨A, B⟩ ∈ {⟨x, y⟩ ∣ φ} ↔ χ))

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y   χ,x,y

Allowed substitution hints:   φ(x,y)   ψ(x,y)   V(x,y)   W(x,y)

Proof of Theorem opelopabt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elopab 4697	. 2 ⊢ (⟨A, B⟩ ∈ {⟨x, y⟩ ∣ φ} ↔ ∃x∃y(⟨A, B⟩ = ⟨x, y⟩ ∧ φ))
2		19.26-2 1594	. . . . 5 ⊢ (∀x∀y((x = A → (φ ↔ ψ)) ∧ (y = B → (ψ ↔ χ))) ↔ (∀x∀y(x = A → (φ ↔ ψ)) ∧ ∀x∀y(y = B → (ψ ↔ χ))))
3		prth 554	. . . . . . 7 ⊢ (((x = A → (φ ↔ ψ)) ∧ (y = B → (ψ ↔ χ))) → ((x = A ∧ y = B) → ((φ ↔ ψ) ∧ (ψ ↔ χ))))
4		bitr 689	. . . . . . 7 ⊢ (((φ ↔ ψ) ∧ (ψ ↔ χ)) → (φ ↔ χ))
5	3, 4	syl6 29	. . . . . 6 ⊢ (((x = A → (φ ↔ ψ)) ∧ (y = B → (ψ ↔ χ))) → ((x = A ∧ y = B) → (φ ↔ χ)))
6	5	2alimi 1560	. . . . 5 ⊢ (∀x∀y((x = A → (φ ↔ ψ)) ∧ (y = B → (ψ ↔ χ))) → ∀x∀y((x = A ∧ y = B) → (φ ↔ χ)))
7	2, 6	sylbir 204	. . . 4 ⊢ ((∀x∀y(x = A → (φ ↔ ψ)) ∧ ∀x∀y(y = B → (ψ ↔ χ))) → ∀x∀y((x = A ∧ y = B) → (φ ↔ χ)))
8		copsex2t 4609	. . . 4 ⊢ ((∀x∀y((x = A ∧ y = B) → (φ ↔ χ)) ∧ (A ∈ V ∧ B ∈ W)) → (∃x∃y(⟨A, B⟩ = ⟨x, y⟩ ∧ φ) ↔ χ))
9	7, 8	sylan 457	. . 3 ⊢ (((∀x∀y(x = A → (φ ↔ ψ)) ∧ ∀x∀y(y = B → (ψ ↔ χ))) ∧ (A ∈ V ∧ B ∈ W)) → (∃x∃y(⟨A, B⟩ = ⟨x, y⟩ ∧ φ) ↔ χ))
10	9	3impa 1146	. 2 ⊢ ((∀x∀y(x = A → (φ ↔ ψ)) ∧ ∀x∀y(y = B → (ψ ↔ χ)) ∧ (A ∈ V ∧ B ∈ W)) → (∃x∃y(⟨A, B⟩ = ⟨x, y⟩ ∧ φ) ↔ χ))
11	1, 10	syl5bb 248	1 ⊢ ((∀x∀y(x = A → (φ ↔ ψ)) ∧ ∀x∀y(y = B → (ψ ↔ χ)) ∧ (A ∈ V ∧ B ∈ W)) → (⟨A, B⟩ ∈ {⟨x, y⟩ ∣ φ} ↔ χ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358   ∧ w3a 934  ∀wal 1540  ∃wex 1541   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  ⟨cop 4562  {copab 4623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-opab 4624

This theorem is referenced by:  fvopab4t  5386