Theorem 3halfnz 9368

Description: Three halves is not an integer. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
3halfnz	|- -. ( 3 / 2 ) e. ZZ

Proof of Theorem 3halfnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9297	. 2 |- 1 e. ZZ
2		2cn 9008	. . . . 5 |- 2 e. CC
3	2	mullidi 7978	. . . 4 |- ( 1 x. 2 ) = 2
4		2lt3 9107	. . . 4 |- 2 < 3
5	3, 4	eqbrtri 4039	. . 3 |- ( 1 x. 2 ) < 3
6		1re 7974	. . . 4 |- 1 e. RR
7		3re 9011	. . . 4 |- 3 e. RR
8		2re 9007	. . . . 5 |- 2 e. RR
9		2pos 9028	. . . . 5 |- 0 < 2
10	8, 9	pm3.2i 272	. . . 4 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
11		ltmuldiv 8849	. . . 4 |- ( ( 1 e. RR /\ 3 e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( 1 x. 2 ) < 3 <-> 1 < ( 3 / 2 ) ) )
12	6, 7, 10, 11	mp3an 1348	. . 3 |- ( ( 1 x. 2 ) < 3 <-> 1 < ( 3 / 2 ) )
13	5, 12	mpbi 145	. 2 |- 1 < ( 3 / 2 )
14		3lt4 9109	. . . 4 |- 3 < 4
15		2t2e4 9091	. . . . 5 |- ( 2 x. 2 ) = 4
16	15	breq2i 4026	. . . 4 |- ( 3 < ( 2 x. 2 ) <-> 3 < 4 )
17	14, 16	mpbir 146	. . 3 |- 3 < ( 2 x. 2 )
18		1p1e2 9054	. . . . 5 |- ( 1 + 1 ) = 2
19	18	breq2i 4026	. . . 4 |- ( ( 3 / 2 ) < ( 1 + 1 ) <-> ( 3 / 2 ) < 2 )
20		ltdivmul 8851	. . . . 5 |- ( ( 3 e. RR /\ 2 e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( 3 / 2 ) < 2 <-> 3 < ( 2 x. 2 ) ) )
21	7, 8, 10, 20	mp3an 1348	. . . 4 |- ( ( 3 / 2 ) < 2 <-> 3 < ( 2 x. 2 ) )
22	19, 21	bitri 184	. . 3 |- ( ( 3 / 2 ) < ( 1 + 1 ) <-> 3 < ( 2 x. 2 ) )
23	17, 22	mpbir 146	. 2 |- ( 3 / 2 ) < ( 1 + 1 )
24		btwnnz 9365	. 2 |- ( ( 1 e. ZZ /\ 1 < ( 3 / 2 ) /\ ( 3 / 2 ) < ( 1 + 1 ) ) -> -. ( 3 / 2 ) e. ZZ )
25	1, 13, 23, 24	mp3an 1348	1 |- -. ( 3 / 2 ) e. ZZ

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5891   RRcr 7828   0cc0 7829   1c1 7830   + caddc 7832   x. cmul 7834   < clt 8010   / cdiv 8647   2c2 8988   3c3 8989   4c4 8990   ZZcz 9271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-mulrcl 7928  ax-addcom 7929  ax-mulcom 7930  ax-addass 7931  ax-mulass 7932  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-1rid 7936  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-precex 7939  ax-cnre 7940  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltwlin 7942  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-apti 7944  ax-pre-ltadd 7945  ax-pre-mulgt0 7946  ax-pre-mulext 7947

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-sub 8148  df-neg 8149  df-reap 8550  df-ap 8557  df-div 8648  df-inn 8938  df-2 8996  df-3 8997  df-4 8998  df-n0 9195  df-z 9272

This theorem is referenced by:  nn0o1gt2  11928