Theorem 3halfnz 9423

Description: Three halves is not an integer. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
3halfnz	|- -. ( 3 / 2 ) e. ZZ

Proof of Theorem 3halfnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9352	. 2 |- 1 e. ZZ
2		2cn 9061	. . . . 5 |- 2 e. CC
3	2	mullidi 8029	. . . 4 |- ( 1 x. 2 ) = 2
4		2lt3 9161	. . . 4 |- 2 < 3
5	3, 4	eqbrtri 4054	. . 3 |- ( 1 x. 2 ) < 3
6		1re 8025	. . . 4 |- 1 e. RR
7		3re 9064	. . . 4 |- 3 e. RR
8		2re 9060	. . . . 5 |- 2 e. RR
9		2pos 9081	. . . . 5 |- 0 < 2
10	8, 9	pm3.2i 272	. . . 4 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
11		ltmuldiv 8901	. . . 4 |- ( ( 1 e. RR /\ 3 e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( 1 x. 2 ) < 3 <-> 1 < ( 3 / 2 ) ) )
12	6, 7, 10, 11	mp3an 1348	. . 3 |- ( ( 1 x. 2 ) < 3 <-> 1 < ( 3 / 2 ) )
13	5, 12	mpbi 145	. 2 |- 1 < ( 3 / 2 )
14		3lt4 9163	. . . 4 |- 3 < 4
15		2t2e4 9145	. . . . 5 |- ( 2 x. 2 ) = 4
16	15	breq2i 4041	. . . 4 |- ( 3 < ( 2 x. 2 ) <-> 3 < 4 )
17	14, 16	mpbir 146	. . 3 |- 3 < ( 2 x. 2 )
18		1p1e2 9107	. . . . 5 |- ( 1 + 1 ) = 2
19	18	breq2i 4041	. . . 4 |- ( ( 3 / 2 ) < ( 1 + 1 ) <-> ( 3 / 2 ) < 2 )
20		ltdivmul 8903	. . . . 5 |- ( ( 3 e. RR /\ 2 e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( 3 / 2 ) < 2 <-> 3 < ( 2 x. 2 ) ) )
21	7, 8, 10, 20	mp3an 1348	. . . 4 |- ( ( 3 / 2 ) < 2 <-> 3 < ( 2 x. 2 ) )
22	19, 21	bitri 184	. . 3 |- ( ( 3 / 2 ) < ( 1 + 1 ) <-> 3 < ( 2 x. 2 ) )
23	17, 22	mpbir 146	. 2 |- ( 3 / 2 ) < ( 1 + 1 )
24		btwnnz 9420	. 2 |- ( ( 1 e. ZZ /\ 1 < ( 3 / 2 ) /\ ( 3 / 2 ) < ( 1 + 1 ) ) -> -. ( 3 / 2 ) e. ZZ )
25	1, 13, 23, 24	mp3an 1348	1 |- -. ( 3 / 2 ) e. ZZ

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2167   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922   RRcr 7878   0cc0 7879   1c1 7880   + caddc 7882   x. cmul 7884   < clt 8061   / cdiv 8699   2c2 9041   3c3 9042   4c4 9043   ZZcz 9326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327

This theorem is referenced by:  nn0o1gt2  12070