Theorem 3halfnz 9240

Description: Three halves is not an integer. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
3halfnz	|- -. ( 3 / 2 ) e. ZZ

Proof of Theorem 3halfnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9172	. 2 |- 1 e. ZZ
2		2cn 8883	. . . . 5 |- 2 e. CC
3	2	mulid2i 7860	. . . 4 |- ( 1 x. 2 ) = 2
4		2lt3 8982	. . . 4 |- 2 < 3
5	3, 4	eqbrtri 3981	. . 3 |- ( 1 x. 2 ) < 3
6		1re 7856	. . . 4 |- 1 e. RR
7		3re 8886	. . . 4 |- 3 e. RR
8		2re 8882	. . . . 5 |- 2 e. RR
9		2pos 8903	. . . . 5 |- 0 < 2
10	8, 9	pm3.2i 270	. . . 4 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
11		ltmuldiv 8724	. . . 4 |- ( ( 1 e. RR /\ 3 e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( 1 x. 2 ) < 3 <-> 1 < ( 3 / 2 ) ) )
12	6, 7, 10, 11	mp3an 1316	. . 3 |- ( ( 1 x. 2 ) < 3 <-> 1 < ( 3 / 2 ) )
13	5, 12	mpbi 144	. 2 |- 1 < ( 3 / 2 )
14		3lt4 8984	. . . 4 |- 3 < 4
15		2t2e4 8966	. . . . 5 |- ( 2 x. 2 ) = 4
16	15	breq2i 3969	. . . 4 |- ( 3 < ( 2 x. 2 ) <-> 3 < 4 )
17	14, 16	mpbir 145	. . 3 |- 3 < ( 2 x. 2 )
18		1p1e2 8929	. . . . 5 |- ( 1 + 1 ) = 2
19	18	breq2i 3969	. . . 4 |- ( ( 3 / 2 ) < ( 1 + 1 ) <-> ( 3 / 2 ) < 2 )
20		ltdivmul 8726	. . . . 5 |- ( ( 3 e. RR /\ 2 e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( 3 / 2 ) < 2 <-> 3 < ( 2 x. 2 ) ) )
21	7, 8, 10, 20	mp3an 1316	. . . 4 |- ( ( 3 / 2 ) < 2 <-> 3 < ( 2 x. 2 ) )
22	19, 21	bitri 183	. . 3 |- ( ( 3 / 2 ) < ( 1 + 1 ) <-> 3 < ( 2 x. 2 ) )
23	17, 22	mpbir 145	. 2 |- ( 3 / 2 ) < ( 1 + 1 )
24		btwnnz 9237	. 2 |- ( ( 1 e. ZZ /\ 1 < ( 3 / 2 ) /\ ( 3 / 2 ) < ( 1 + 1 ) ) -> -. ( 3 / 2 ) e. ZZ )
25	1, 13, 23, 24	mp3an 1316	1 |- -. ( 3 / 2 ) e. ZZ

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2125   class class class wbr 3961  (class class class)co 5814   RRcr 7710   0cc0 7711   1c1 7712   + caddc 7714   x. cmul 7716   < clt 7891   / cdiv 8524   2c2 8863   3c3 8864   4c4 8865   ZZcz 9146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-sep 4078  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-1re 7805  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-mulrcl 7810  ax-addcom 7811  ax-mulcom 7812  ax-addass 7813  ax-mulass 7814  ax-distr 7815  ax-i2m1 7816  ax-0lt1 7817  ax-1rid 7818  ax-0id 7819  ax-rnegex 7820  ax-precex 7821  ax-cnre 7822  ax-pre-ltirr 7823  ax-pre-ltwlin 7824  ax-pre-lttrn 7825  ax-pre-apti 7826  ax-pre-ltadd 7827  ax-pre-mulgt0 7828  ax-pre-mulext 7829

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rmo 2440  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-br 3962  df-opab 4022  df-id 4248  df-po 4251  df-iso 4252  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fv 5171  df-riota 5770  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-ltxr 7896  df-le 7897  df-sub 8027  df-neg 8028  df-reap 8429  df-ap 8436  df-div 8525  df-inn 8813  df-2 8871  df-3 8872  df-4 8873  df-n0 9070  df-z 9147

This theorem is referenced by:  nn0o1gt2  11769