Theorem 3halfnz 9555

Description: Three halves is not an integer. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
3halfnz	|- -. ( 3 / 2 ) e. ZZ

Proof of Theorem 3halfnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9483	. 2 |- 1 e. ZZ
2		2cn 9192	. . . . 5 |- 2 e. CC
3	2	mullidi 8160	. . . 4 |- ( 1 x. 2 ) = 2
4		2lt3 9292	. . . 4 |- 2 < 3
5	3, 4	eqbrtri 4104	. . 3 |- ( 1 x. 2 ) < 3
6		1re 8156	. . . 4 |- 1 e. RR
7		3re 9195	. . . 4 |- 3 e. RR
8		2re 9191	. . . . 5 |- 2 e. RR
9		2pos 9212	. . . . 5 |- 0 < 2
10	8, 9	pm3.2i 272	. . . 4 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
11		ltmuldiv 9032	. . . 4 |- ( ( 1 e. RR /\ 3 e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( 1 x. 2 ) < 3 <-> 1 < ( 3 / 2 ) ) )
12	6, 7, 10, 11	mp3an 1371	. . 3 |- ( ( 1 x. 2 ) < 3 <-> 1 < ( 3 / 2 ) )
13	5, 12	mpbi 145	. 2 |- 1 < ( 3 / 2 )
14		3lt4 9294	. . . 4 |- 3 < 4
15		2t2e4 9276	. . . . 5 |- ( 2 x. 2 ) = 4
16	15	breq2i 4091	. . . 4 |- ( 3 < ( 2 x. 2 ) <-> 3 < 4 )
17	14, 16	mpbir 146	. . 3 |- 3 < ( 2 x. 2 )
18		1p1e2 9238	. . . . 5 |- ( 1 + 1 ) = 2
19	18	breq2i 4091	. . . 4 |- ( ( 3 / 2 ) < ( 1 + 1 ) <-> ( 3 / 2 ) < 2 )
20		ltdivmul 9034	. . . . 5 |- ( ( 3 e. RR /\ 2 e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( 3 / 2 ) < 2 <-> 3 < ( 2 x. 2 ) ) )
21	7, 8, 10, 20	mp3an 1371	. . . 4 |- ( ( 3 / 2 ) < 2 <-> 3 < ( 2 x. 2 ) )
22	19, 21	bitri 184	. . 3 |- ( ( 3 / 2 ) < ( 1 + 1 ) <-> 3 < ( 2 x. 2 ) )
23	17, 22	mpbir 146	. 2 |- ( 3 / 2 ) < ( 1 + 1 )
24		btwnnz 9552	. 2 |- ( ( 1 e. ZZ /\ 1 < ( 3 / 2 ) /\ ( 3 / 2 ) < ( 1 + 1 ) ) -> -. ( 3 / 2 ) e. ZZ )
25	1, 13, 23, 24	mp3an 1371	1 |- -. ( 3 / 2 ) e. ZZ

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6007   RRcr 8009   0cc0 8010   1c1 8011   + caddc 8013   x. cmul 8015   < clt 8192   / cdiv 8830   2c2 9172   3c3 9173   4c4 9174   ZZcz 9457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-n0 9381  df-z 9458

This theorem is referenced by:  nn0o1gt2  12431