Theorem 3halfnz 9540

Description: Three halves is not an integer. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
3halfnz	|- -. ( 3 / 2 ) e. ZZ

Proof of Theorem 3halfnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9468	. 2 |- 1 e. ZZ
2		2cn 9177	. . . . 5 |- 2 e. CC
3	2	mullidi 8145	. . . 4 |- ( 1 x. 2 ) = 2
4		2lt3 9277	. . . 4 |- 2 < 3
5	3, 4	eqbrtri 4103	. . 3 |- ( 1 x. 2 ) < 3
6		1re 8141	. . . 4 |- 1 e. RR
7		3re 9180	. . . 4 |- 3 e. RR
8		2re 9176	. . . . 5 |- 2 e. RR
9		2pos 9197	. . . . 5 |- 0 < 2
10	8, 9	pm3.2i 272	. . . 4 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
11		ltmuldiv 9017	. . . 4 |- ( ( 1 e. RR /\ 3 e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( 1 x. 2 ) < 3 <-> 1 < ( 3 / 2 ) ) )
12	6, 7, 10, 11	mp3an 1371	. . 3 |- ( ( 1 x. 2 ) < 3 <-> 1 < ( 3 / 2 ) )
13	5, 12	mpbi 145	. 2 |- 1 < ( 3 / 2 )
14		3lt4 9279	. . . 4 |- 3 < 4
15		2t2e4 9261	. . . . 5 |- ( 2 x. 2 ) = 4
16	15	breq2i 4090	. . . 4 |- ( 3 < ( 2 x. 2 ) <-> 3 < 4 )
17	14, 16	mpbir 146	. . 3 |- 3 < ( 2 x. 2 )
18		1p1e2 9223	. . . . 5 |- ( 1 + 1 ) = 2
19	18	breq2i 4090	. . . 4 |- ( ( 3 / 2 ) < ( 1 + 1 ) <-> ( 3 / 2 ) < 2 )
20		ltdivmul 9019	. . . . 5 |- ( ( 3 e. RR /\ 2 e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( 3 / 2 ) < 2 <-> 3 < ( 2 x. 2 ) ) )
21	7, 8, 10, 20	mp3an 1371	. . . 4 |- ( ( 3 / 2 ) < 2 <-> 3 < ( 2 x. 2 ) )
22	19, 21	bitri 184	. . 3 |- ( ( 3 / 2 ) < ( 1 + 1 ) <-> 3 < ( 2 x. 2 ) )
23	17, 22	mpbir 146	. 2 |- ( 3 / 2 ) < ( 1 + 1 )
24		btwnnz 9537	. 2 |- ( ( 1 e. ZZ /\ 1 < ( 3 / 2 ) /\ ( 3 / 2 ) < ( 1 + 1 ) ) -> -. ( 3 / 2 ) e. ZZ )
25	1, 13, 23, 24	mp3an 1371	1 |- -. ( 3 / 2 ) e. ZZ

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2200   class class class wbr 4082  (class class class)co 6000   RRcr 7994   0cc0 7995   1c1 7996   + caddc 7998   x. cmul 8000   < clt 8177   / cdiv 8815   2c2 9157   3c3 9158   4c4 9159   ZZcz 9442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-n0 9366  df-z 9443

This theorem is referenced by:  nn0o1gt2  12411