ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  3halfnz Unicode version

Theorem 3halfnz 9368
Description: Three halves is not an integer. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
3halfnz  |-  -.  (
3  /  2 )  e.  ZZ

Proof of Theorem 3halfnz
StepHypRef Expression
1 1z 9297 . 2  |-  1  e.  ZZ
2 2cn 9008 . . . . 5  |-  2  e.  CC
32mullidi 7978 . . . 4  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
4 2lt3 9107 . . . 4  |-  2  <  3
53, 4eqbrtri 4039 . . 3  |-  ( 1  x.  2 )  <  3
6 1re 7974 . . . 4  |-  1  e.  RR
7 3re 9011 . . . 4  |-  3  e.  RR
8 2re 9007 . . . . 5  |-  2  e.  RR
9 2pos 9028 . . . . 5  |-  0  <  2
108, 9pm3.2i 272 . . . 4  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
11 ltmuldiv 8849 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  3  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( 1  x.  2 )  <  3  <->  1  <  (
3  /  2 ) ) )
126, 7, 10, 11mp3an 1348 . . 3  |-  ( ( 1  x.  2 )  <  3  <->  1  <  ( 3  /  2 ) )
135, 12mpbi 145 . 2  |-  1  <  ( 3  /  2
)
14 3lt4 9109 . . . 4  |-  3  <  4
15 2t2e4 9091 . . . . 5  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
1615breq2i 4026 . . . 4  |-  ( 3  <  ( 2  x.  2 )  <->  3  <  4 )
1714, 16mpbir 146 . . 3  |-  3  <  ( 2  x.  2 )
18 1p1e2 9054 . . . . 5  |-  ( 1  +  1 )  =  2
1918breq2i 4026 . . . 4  |-  ( ( 3  /  2 )  <  ( 1  +  1 )  <->  ( 3  /  2 )  <  2 )
20 ltdivmul 8851 . . . . 5  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( 3  /  2 )  <  2  <->  3  <  (
2  x.  2 ) ) )
217, 8, 10, 20mp3an 1348 . . . 4  |-  ( ( 3  /  2 )  <  2  <->  3  <  ( 2  x.  2 ) )
2219, 21bitri 184 . . 3  |-  ( ( 3  /  2 )  <  ( 1  +  1 )  <->  3  <  ( 2  x.  2 ) )
2317, 22mpbir 146 . 2  |-  ( 3  /  2 )  < 
( 1  +  1 )
24 btwnnz 9365 . 2  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  1  <  ( 3  / 
2 )  /\  (
3  /  2 )  <  ( 1  +  1 ) )  ->  -.  ( 3  /  2
)  e.  ZZ )
251, 13, 23, 24mp3an 1348 1  |-  -.  (
3  /  2 )  e.  ZZ
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 104    <-> wb 105    e. wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5891   RRcr 7828   0cc0 7829   1c1 7830    + caddc 7832    x. cmul 7834    < clt 8010    / cdiv 8647   2c2 8988   3c3 8989   4c4 8990   ZZcz 9271
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-mulrcl 7928  ax-addcom 7929  ax-mulcom 7930  ax-addass 7931  ax-mulass 7932  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-1rid 7936  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-precex 7939  ax-cnre 7940  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltwlin 7942  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-apti 7944  ax-pre-ltadd 7945  ax-pre-mulgt0 7946  ax-pre-mulext 7947
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-sub 8148  df-neg 8149  df-reap 8550  df-ap 8557  df-div 8648  df-inn 8938  df-2 8996  df-3 8997  df-4 8998  df-n0 9195  df-z 9272
This theorem is referenced by:  nn0o1gt2  11928
  Copyright terms: Public domain W3C validator