Theorem 4fvwrd4 10209

Description: The first four function values of a word of length at least 4. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
4fvwrd4	⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ∃𝑑 ∈ 𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ (𝑃‘3) = 𝑑)))

Distinct variable groups:   𝑃,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑   𝑉,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑

Allowed substitution hints:   𝐿(𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem 4fvwrd4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉)
2		0nn0 9258	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3		elnn0uz 9633	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℕ0 ↔ 0 ∈ (ℤ≥‘0))
4	2, 3	mpbi 145	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ (ℤ≥‘0)
5		3nn0 9261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℕ0
6		elnn0uz 9633	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 ∈ ℕ0 ↔ 3 ∈ (ℤ≥‘0))
7	5, 6	mpbi 145	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘0)
8		uzss 9616	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘0) → (ℤ≥‘3) ⊆ (ℤ≥‘0))
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘3) ⊆ (ℤ≥‘0)
10	9	sseli 3176	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐿 ∈ (ℤ≥‘0))
11		eluzfz 10089	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘0)) → 0 ∈ (0...𝐿))
12	4, 10, 11	sylancr 414	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤ≥‘3) → 0 ∈ (0...𝐿))
13	12	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → 0 ∈ (0...𝐿))
14	1, 13	ffvelcdmd 5695	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → (𝑃‘0) ∈ 𝑉)
15		risset 2522	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 𝑎 = (𝑃‘0))
16		eqcom 2195	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑃‘0) ↔ (𝑃‘0) = 𝑎)
17	16	rexbii 2501	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 𝑎 = (𝑃‘0) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝑃‘0) = 𝑎)
18	15, 17	bitri 184	. . . . 5 ⊢ ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝑃‘0) = 𝑎)
19	14, 18	sylib 122	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝑃‘0) = 𝑎)
20		1eluzge0 9642	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ (ℤ≥‘0)
21		1z 9346	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℤ
22		3z 9349	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℤ
23		1le3 9196	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ≤ 3
24		eluz2 9601	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 3))
25	21, 22, 23, 24	mpbir3an 1181	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘1)
26		uzss 9616	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘1) → (ℤ≥‘3) ⊆ (ℤ≥‘1))
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘3) ⊆ (ℤ≥‘1)
28	27	sseli 3176	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐿 ∈ (ℤ≥‘1))
29		eluzfz 10089	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘1)) → 1 ∈ (0...𝐿))
30	20, 28, 29	sylancr 414	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 ∈ (0...𝐿))
31	30	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → 1 ∈ (0...𝐿))
32	1, 31	ffvelcdmd 5695	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → (𝑃‘1) ∈ 𝑉)
33		risset 2522	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃‘1) ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑏 = (𝑃‘1))
34		eqcom 2195	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = (𝑃‘1) ↔ (𝑃‘1) = 𝑏)
35	34	rexbii 2501	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑏 = (𝑃‘1) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏)
36	33, 35	bitri 184	. . . . 5 ⊢ ((𝑃‘1) ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏)
37	32, 36	sylib 122	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏)
38	19, 37	jca 306	. . 3 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → (∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏))
39		2eluzge0 9643	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘0)
40		uzuzle23 9639	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐿 ∈ (ℤ≥‘2))
41		eluzfz 10089	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘2)) → 2 ∈ (0...𝐿))
42	39, 40, 41	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 ∈ (0...𝐿))
43	42	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → 2 ∈ (0...𝐿))
44	1, 43	ffvelcdmd 5695	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → (𝑃‘2) ∈ 𝑉)
45		risset 2522	. . . . 5 ⊢ ((𝑃‘2) ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑉 𝑐 = (𝑃‘2))
46		eqcom 2195	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = (𝑃‘2) ↔ (𝑃‘2) = 𝑐)
47	46	rexbii 2501	. . . . 5 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝑉 𝑐 = (𝑃‘2) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐)
48	45, 47	bitri 184	. . . 4 ⊢ ((𝑃‘2) ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐)
49	44, 48	sylib 122	. . 3 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → ∃𝑐 ∈ 𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐)
50		eluzfz 10089	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘3)) → 3 ∈ (0...𝐿))
51	7, 50	mpan 424	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ∈ (0...𝐿))
52	51	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → 3 ∈ (0...𝐿))
53	1, 52	ffvelcdmd 5695	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → (𝑃‘3) ∈ 𝑉)
54		risset 2522	. . . . 5 ⊢ ((𝑃‘3) ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑑 ∈ 𝑉 𝑑 = (𝑃‘3))
55		eqcom 2195	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = (𝑃‘3) ↔ (𝑃‘3) = 𝑑)
56	55	rexbii 2501	. . . . 5 ⊢ (∃𝑑 ∈ 𝑉 𝑑 = (𝑃‘3) ↔ ∃𝑑 ∈ 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)
57	54, 56	bitri 184	. . . 4 ⊢ ((𝑃‘3) ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑑 ∈ 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)
58	53, 57	sylib 122	. . 3 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → ∃𝑑 ∈ 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)
59	38, 49, 58	jca32 310	. 2 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → ((∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐 ∈ 𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
60		r19.42v 2651	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑑 ∈ 𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑉 ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ (𝑃‘3) = 𝑑)))
61		r19.42v 2651	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑑 ∈ 𝑉 ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ (𝑃‘3) = 𝑑) ↔ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑))
62	61	anbi2i 457	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑉 ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
63	60, 62	bitri 184	. . . . 5 ⊢ (∃𝑑 ∈ 𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
64	63	rexbii 2501	. . . 4 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝑉 ∃𝑑 ∈ 𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
65	64	2rexbii 2503	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ∃𝑑 ∈ 𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
66		r19.42v 2651	. . . . 5 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ∃𝑐 ∈ 𝑉 ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
67		r19.41v 2650	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝑉 ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑) ↔ (∃𝑐 ∈ 𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑))
68	67	anbi2i 457	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ∃𝑐 ∈ 𝑉 ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐 ∈ 𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
69	66, 68	bitri 184	. . . 4 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐 ∈ 𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
70	69	2rexbii 2503	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐 ∈ 𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
71		r19.41v 2650	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑏 ∈ 𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐 ∈ 𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (∃𝑏 ∈ 𝑉 ((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐 ∈ 𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
72		r19.42v 2651	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑏 ∈ 𝑉 ((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ↔ ((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏))
73	72	anbi1i 458	. . . . . 6 ⊢ ((∃𝑏 ∈ 𝑉 ((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐 ∈ 𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐 ∈ 𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
74	71, 73	bitri 184	. . . . 5 ⊢ (∃𝑏 ∈ 𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐 ∈ 𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐 ∈ 𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
75	74	rexbii 2501	. . . 4 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐 ∈ 𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐 ∈ 𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
76		r19.41v 2650	. . . 4 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐 ∈ 𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐 ∈ 𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
77		r19.41v 2650	. . . . 5 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ↔ (∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏))
78	77	anbi1i 458	. . . 4 ⊢ ((∃𝑎 ∈ 𝑉 ((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐 ∈ 𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ ((∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐 ∈ 𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
79	75, 76, 78	3bitri 206	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐 ∈ 𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ ((∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐 ∈ 𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
80	65, 70, 79	3bitri 206	. 2 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ∃𝑑 ∈ 𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ ((∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐 ∈ 𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
81	59, 80	sylibr 134	1 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ∃𝑑 ∈ 𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ (𝑃‘3) = 𝑑)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∃wrex 2473   ⊆ wss 3154   class class class wbr 4030  ⟶wf 5251  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  0cc0 7874  1c1 7875   ≤ cle 8057  2c2 9035  3c3 9036  ℕ₀cn0 9243  ℤcz 9320  ℤ_≥cuz 9595  ...cfz 10077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-fz 10078

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