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Theorem 4fvwrd4 9516
Description: The first four function values of a word of length at least 4. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
4fvwrd4 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉𝑑𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ (𝑃‘3) = 𝑑)))
Distinct variable groups:   𝑃,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑   𝑉,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑
Allowed substitution hints:   𝐿(𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem 4fvwrd4
StepHypRef Expression
1 simpr 108 . . . . . 6 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉)
2 0nn0 8658 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℕ0
3 elnn0uz 9025 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℕ0 ↔ 0 ∈ (ℤ‘0))
42, 3mpbi 143 . . . . . . . 8 0 ∈ (ℤ‘0)
5 3nn0 8661 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℕ0
6 elnn0uz 9025 . . . . . . . . . . 11 (3 ∈ ℕ0 ↔ 3 ∈ (ℤ‘0))
75, 6mpbi 143 . . . . . . . . . 10 3 ∈ (ℤ‘0)
8 uzss 9008 . . . . . . . . . 10 (3 ∈ (ℤ‘0) → (ℤ‘3) ⊆ (ℤ‘0))
97, 8ax-mp 7 . . . . . . . . 9 (ℤ‘3) ⊆ (ℤ‘0)
109sseli 3019 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ (ℤ‘3) → 𝐿 ∈ (ℤ‘0))
11 eluzfz 9404 . . . . . . . 8 ((0 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝐿 ∈ (ℤ‘0)) → 0 ∈ (0...𝐿))
124, 10, 11sylancr 405 . . . . . . 7 (𝐿 ∈ (ℤ‘3) → 0 ∈ (0...𝐿))
1312adantr 270 . . . . . 6 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → 0 ∈ (0...𝐿))
141, 13ffvelrnd 5419 . . . . 5 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → (𝑃‘0) ∈ 𝑉)
15 risset 2406 . . . . . 6 ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑎𝑉 𝑎 = (𝑃‘0))
16 eqcom 2090 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑃‘0) ↔ (𝑃‘0) = 𝑎)
1716rexbii 2385 . . . . . 6 (∃𝑎𝑉 𝑎 = (𝑃‘0) ↔ ∃𝑎𝑉 (𝑃‘0) = 𝑎)
1815, 17bitri 182 . . . . 5 ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑎𝑉 (𝑃‘0) = 𝑎)
1914, 18sylib 120 . . . 4 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → ∃𝑎𝑉 (𝑃‘0) = 𝑎)
20 1eluzge0 9031 . . . . . . . 8 1 ∈ (ℤ‘0)
21 1z 8746 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℤ
22 3z 8749 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℤ
23 1le3 8597 . . . . . . . . . . 11 1 ≤ 3
24 eluz2 8994 . . . . . . . . . . 11 (3 ∈ (ℤ‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 3))
2521, 22, 23, 24mpbir3an 1125 . . . . . . . . . 10 3 ∈ (ℤ‘1)
26 uzss 9008 . . . . . . . . . 10 (3 ∈ (ℤ‘1) → (ℤ‘3) ⊆ (ℤ‘1))
2725, 26ax-mp 7 . . . . . . . . 9 (ℤ‘3) ⊆ (ℤ‘1)
2827sseli 3019 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ (ℤ‘3) → 𝐿 ∈ (ℤ‘1))
29 eluzfz 9404 . . . . . . . 8 ((1 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝐿 ∈ (ℤ‘1)) → 1 ∈ (0...𝐿))
3020, 28, 29sylancr 405 . . . . . . 7 (𝐿 ∈ (ℤ‘3) → 1 ∈ (0...𝐿))
3130adantr 270 . . . . . 6 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → 1 ∈ (0...𝐿))
321, 31ffvelrnd 5419 . . . . 5 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → (𝑃‘1) ∈ 𝑉)
33 risset 2406 . . . . . 6 ((𝑃‘1) ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑏𝑉 𝑏 = (𝑃‘1))
34 eqcom 2090 . . . . . . 7 (𝑏 = (𝑃‘1) ↔ (𝑃‘1) = 𝑏)
3534rexbii 2385 . . . . . 6 (∃𝑏𝑉 𝑏 = (𝑃‘1) ↔ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏)
3633, 35bitri 182 . . . . 5 ((𝑃‘1) ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏)
3732, 36sylib 120 . . . 4 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏)
3819, 37jca 300 . . 3 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → (∃𝑎𝑉 (𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏))
39 2eluzge0 9032 . . . . . . 7 2 ∈ (ℤ‘0)
40 uzuzle23 9028 . . . . . . 7 (𝐿 ∈ (ℤ‘3) → 𝐿 ∈ (ℤ‘2))
41 eluzfz 9404 . . . . . . 7 ((2 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝐿 ∈ (ℤ‘2)) → 2 ∈ (0...𝐿))
4239, 40, 41sylancr 405 . . . . . 6 (𝐿 ∈ (ℤ‘3) → 2 ∈ (0...𝐿))
4342adantr 270 . . . . 5 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → 2 ∈ (0...𝐿))
441, 43ffvelrnd 5419 . . . 4 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → (𝑃‘2) ∈ 𝑉)
45 risset 2406 . . . . 5 ((𝑃‘2) ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑐𝑉 𝑐 = (𝑃‘2))
46 eqcom 2090 . . . . . 6 (𝑐 = (𝑃‘2) ↔ (𝑃‘2) = 𝑐)
4746rexbii 2385 . . . . 5 (∃𝑐𝑉 𝑐 = (𝑃‘2) ↔ ∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐)
4845, 47bitri 182 . . . 4 ((𝑃‘2) ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐)
4944, 48sylib 120 . . 3 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → ∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐)
50 eluzfz 9404 . . . . . . 7 ((3 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝐿 ∈ (ℤ‘3)) → 3 ∈ (0...𝐿))
517, 50mpan 415 . . . . . 6 (𝐿 ∈ (ℤ‘3) → 3 ∈ (0...𝐿))
5251adantr 270 . . . . 5 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → 3 ∈ (0...𝐿))
531, 52ffvelrnd 5419 . . . 4 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → (𝑃‘3) ∈ 𝑉)
54 risset 2406 . . . . 5 ((𝑃‘3) ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑑𝑉 𝑑 = (𝑃‘3))
55 eqcom 2090 . . . . . 6 (𝑑 = (𝑃‘3) ↔ (𝑃‘3) = 𝑑)
5655rexbii 2385 . . . . 5 (∃𝑑𝑉 𝑑 = (𝑃‘3) ↔ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)
5754, 56bitri 182 . . . 4 ((𝑃‘3) ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)
5853, 57sylib 120 . . 3 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)
5938, 49, 58jca32 303 . 2 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → ((∃𝑎𝑉 (𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
60 r19.42v 2524 . . . . . 6 (∃𝑑𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ∃𝑑𝑉 ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ (𝑃‘3) = 𝑑)))
61 r19.42v 2524 . . . . . . 7 (∃𝑑𝑉 ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ (𝑃‘3) = 𝑑) ↔ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑))
6261anbi2i 445 . . . . . 6 ((((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ∃𝑑𝑉 ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
6360, 62bitri 182 . . . . 5 (∃𝑑𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
6463rexbii 2385 . . . 4 (∃𝑐𝑉𝑑𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ ∃𝑐𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
65642rexbii 2387 . . 3 (∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉𝑑𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
66 r19.42v 2524 . . . . 5 (∃𝑐𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ∃𝑐𝑉 ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
67 r19.41v 2523 . . . . . 6 (∃𝑐𝑉 ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑) ↔ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑))
6867anbi2i 445 . . . . 5 ((((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ∃𝑐𝑉 ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
6966, 68bitri 182 . . . 4 (∃𝑐𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
70692rexbii 2387 . . 3 (∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
71 r19.41v 2523 . . . . . 6 (∃𝑏𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (∃𝑏𝑉 ((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
72 r19.42v 2524 . . . . . . 7 (∃𝑏𝑉 ((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ↔ ((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏))
7372anbi1i 446 . . . . . 6 ((∃𝑏𝑉 ((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
7471, 73bitri 182 . . . . 5 (∃𝑏𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
7574rexbii 2385 . . . 4 (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ ∃𝑎𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
76 r19.41v 2523 . . . 4 (∃𝑎𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ (∃𝑎𝑉 ((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
77 r19.41v 2523 . . . . 5 (∃𝑎𝑉 ((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ↔ (∃𝑎𝑉 (𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏))
7877anbi1i 446 . . . 4 ((∃𝑎𝑉 ((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ ((∃𝑎𝑉 (𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
7975, 76, 783bitri 204 . . 3 (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ ((∃𝑎𝑉 (𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
8065, 70, 793bitri 204 . 2 (∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉𝑑𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ (𝑃‘3) = 𝑑)) ↔ ((∃𝑎𝑉 (𝑃‘0) = 𝑎 ∧ ∃𝑏𝑉 (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ (∃𝑐𝑉 (𝑃‘2) = 𝑐 ∧ ∃𝑑𝑉 (𝑃‘3) = 𝑑)))
8159, 80sylibr 132 1 ((𝐿 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑃:(0...𝐿)⟶𝑉) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉𝑑𝑉 (((𝑃‘0) = 𝑎 ∧ (𝑃‘1) = 𝑏) ∧ ((𝑃‘2) = 𝑐 ∧ (𝑃‘3) = 𝑑)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1289  wcel 1438  wrex 2360  wss 2997   class class class wbr 3837  wf 4998  cfv 5002  (class class class)co 5634  0cc0 7329  1c1 7330  cle 7502  2c2 8444  3c3 8445  0cn0 8643  cz 8720  cuz 8988  ...cfz 9393
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-addcom 7424  ax-addass 7426  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-ltadd 7440
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-inn 8395  df-2 8452  df-3 8453  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-fz 9394
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