Theorem axpre-mulgt0 7719

Description: The product of two positive reals is positive. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-mulgt0 7761. (Contributed by NM, 13-May-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axpre-mulgt0	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( 0 <RR A /\ 0 <RR B ) -> 0 <RR ( A x. B ) ) )

Proof of Theorem axpre-mulgt0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 7660	. 2 |- ( A e. RR <-> E. x e. R. <. x , 0R >. = A )
2		elreal 7660	. 2 |- ( B e. RR <-> E. y e. R. <. y , 0R >. = B )
3		breq2 3941	. . . 4 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( 0 <RR <. x , 0R >. <-> 0 <RR A ) )
4	3	anbi1d 461	. . 3 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( ( 0 <RR <. x , 0R >. /\ 0 <RR <. y , 0R >. ) <-> ( 0 <RR A /\ 0 <RR <. y , 0R >. ) ) )
5		oveq1 5789	. . . 4 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( <. x , 0R >. x. <. y , 0R >. ) = ( A x. <. y , 0R >. ) )
6	5	breq2d 3949	. . 3 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( 0 <RR ( <. x , 0R >. x. <. y , 0R >. ) <-> 0 <RR ( A x. <. y , 0R >. ) ) )
7	4, 6	imbi12d 233	. 2 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( ( ( 0 <RR <. x , 0R >. /\ 0 <RR <. y , 0R >. ) -> 0 <RR ( <. x , 0R >. x. <. y , 0R >. ) ) <-> ( ( 0 <RR A /\ 0 <RR <. y , 0R >. ) -> 0 <RR ( A x. <. y , 0R >. ) ) ) )
8		breq2 3941	. . . 4 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( 0 <RR <. y , 0R >. <-> 0 <RR B ) )
9	8	anbi2d 460	. . 3 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( ( 0 <RR A /\ 0 <RR <. y , 0R >. ) <-> ( 0 <RR A /\ 0 <RR B ) ) )
10		oveq2 5790	. . . 4 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( A x. <. y , 0R >. ) = ( A x. B ) )
11	10	breq2d 3949	. . 3 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( 0 <RR ( A x. <. y , 0R >. ) <-> 0 <RR ( A x. B ) ) )
12	9, 11	imbi12d 233	. 2 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( ( ( 0 <RR A /\ 0 <RR <. y , 0R >. ) -> 0 <RR ( A x. <. y , 0R >. ) ) <-> ( ( 0 <RR A /\ 0 <RR B ) -> 0 <RR ( A x. B ) ) ) )
13		df-0 7651	. . . . . 6 |- 0 = <. 0R , 0R >.
14	13	breq1i 3944	. . . . 5 |- ( 0 <RR <. x , 0R >. <-> <. 0R , 0R >. <RR <. x , 0R >. )
15		ltresr 7671	. . . . 5 |- ( <. 0R , 0R >. <RR <. x , 0R >. <-> 0R <R x )
16	14, 15	bitri 183	. . . 4 |- ( 0 <RR <. x , 0R >. <-> 0R <R x )
17	13	breq1i 3944	. . . . 5 |- ( 0 <RR <. y , 0R >. <-> <. 0R , 0R >. <RR <. y , 0R >. )
18		ltresr 7671	. . . . 5 |- ( <. 0R , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> 0R <R y )
19	17, 18	bitri 183	. . . 4 |- ( 0 <RR <. y , 0R >. <-> 0R <R y )
20		mulgt0sr 7610	. . . 4 |- ( ( 0R <R x /\ 0R <R y ) -> 0R <R ( x .R y ) )
21	16, 19, 20	syl2anb 289	. . 3 |- ( ( 0 <RR <. x , 0R >. /\ 0 <RR <. y , 0R >. ) -> 0R <R ( x .R y ) )
22	13	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. ) -> 0 = <. 0R , 0R >. )
23		mulresr 7670	. . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. ) -> ( <. x , 0R >. x. <. y , 0R >. ) = <. ( x .R y ) , 0R >. )
24	22, 23	breq12d 3950	. . . 4 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. ) -> ( 0 <RR ( <. x , 0R >. x. <. y , 0R >. ) <-> <. 0R , 0R >. <RR <. ( x .R y ) , 0R >. ) )
25		ltresr 7671	. . . 4 |- ( <. 0R , 0R >. <RR <. ( x .R y ) , 0R >. <-> 0R <R ( x .R y ) )
26	24, 25	syl6bb 195	. . 3 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. ) -> ( 0 <RR ( <. x , 0R >. x. <. y , 0R >. ) <-> 0R <R ( x .R y ) ) )
27	21, 26	syl5ibr 155	. 2 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. ) -> ( ( 0 <RR <. x , 0R >. /\ 0 <RR <. y , 0R >. ) -> 0 <RR ( <. x , 0R >. x. <. y , 0R >. ) ) )
28	1, 2, 7, 12, 27	2gencl 2722	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( 0 <RR A /\ 0 <RR B ) -> 0 <RR ( A x. B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1332   e. wcel 1481   <.cop 3535   class class class wbr 3937  (class class class)co 5782   R.cnr 7129   0Rc0r 7130   .R cmr 7134   <R cltr 7135   RRcr 7643   0cc0 7644   <RR cltrr 7648   x. cmul 7649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-eprel 4219  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-1o 6321  df-2o 6322  df-oadd 6325  df-omul 6326  df-er 6437  df-ec 6439  df-qs 6443  df-ni 7136  df-pli 7137  df-mi 7138  df-lti 7139  df-plpq 7176  df-mpq 7177  df-enq 7179  df-nqqs 7180  df-plqqs 7181  df-mqqs 7182  df-1nqqs 7183  df-rq 7184  df-ltnqqs 7185  df-enq0 7256  df-nq0 7257  df-0nq0 7258  df-plq0 7259  df-mq0 7260  df-inp 7298  df-i1p 7299  df-iplp 7300  df-imp 7301  df-iltp 7302  df-enr 7558  df-nr 7559  df-plr 7560  df-mr 7561  df-ltr 7562  df-0r 7563  df-m1r 7565  df-c 7650  df-0 7651  df-r 7654  df-mul 7656  df-lt 7657

This theorem is referenced by: (None)