ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axpre-mulgt0 Unicode version

Theorem axpre-mulgt0 7422
Description: The product of two positive reals is positive. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-mulgt0 7462. (Contributed by NM, 13-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axpre-mulgt0  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( 0  <RR  A  /\  0  <RR  B )  ->  0  <RR  ( A  x.  B ) ) )

Proof of Theorem axpre-mulgt0
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elreal 7366 . 2  |-  ( A  e.  RR  <->  E. x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A )
2 elreal 7366 . 2  |-  ( B  e.  RR  <->  E. y  e.  R.  <. y ,  0R >.  =  B )
3 breq2 3849 . . . 4  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( 0 
<RR  <. x ,  0R >.  <->  0  <RR  A ) )
43anbi1d 453 . . 3  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( (
0  <RR  <. x ,  0R >.  /\  0  <RR  <. y ,  0R >. )  <->  ( 0 
<RR  A  /\  0  <RR  <.
y ,  0R >. ) ) )
5 oveq1 5659 . . . 4  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( <. x ,  0R >.  x.  <. y ,  0R >. )  =  ( A  x.  <. y ,  0R >. ) )
65breq2d 3857 . . 3  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( 0 
<RR  ( <. x ,  0R >.  x.  <. y ,  0R >. )  <->  0  <RR  ( A  x.  <. y ,  0R >. ) ) )
74, 6imbi12d 232 . 2  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( (
( 0  <RR  <. x ,  0R >.  /\  0  <RR 
<. y ,  0R >. )  ->  0  <RR  ( <.
x ,  0R >.  x. 
<. y ,  0R >. ) )  <->  ( ( 0 
<RR  A  /\  0  <RR  <.
y ,  0R >. )  ->  0  <RR  ( A  x.  <. y ,  0R >. ) ) ) )
8 breq2 3849 . . . 4  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( 0 
<RR  <. y ,  0R >.  <->  0  <RR  B ) )
98anbi2d 452 . . 3  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( (
0  <RR  A  /\  0  <RR 
<. y ,  0R >. )  <-> 
( 0  <RR  A  /\  0  <RR  B ) ) )
10 oveq2 5660 . . . 4  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( A  x.  <. y ,  0R >. )  =  ( A  x.  B ) )
1110breq2d 3857 . . 3  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( 0 
<RR  ( A  x.  <. y ,  0R >. )  <->  0 
<RR  ( A  x.  B
) ) )
129, 11imbi12d 232 . 2  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( (
( 0  <RR  A  /\  0  <RR  <. y ,  0R >. )  ->  0  <RR  ( A  x.  <. y ,  0R >. ) )  <->  ( (
0  <RR  A  /\  0  <RR  B )  ->  0  <RR  ( A  x.  B
) ) ) )
13 df-0 7357 . . . . . 6  |-  0  =  <. 0R ,  0R >.
1413breq1i 3852 . . . . 5  |-  ( 0 
<RR  <. x ,  0R >.  <->  <. 0R ,  0R >.  <RR  <. x ,  0R >. )
15 ltresr 7376 . . . . 5  |-  ( <. 0R ,  0R >.  <RR  <. x ,  0R >.  <->  0R  <R  x )
1614, 15bitri 182 . . . 4  |-  ( 0 
<RR  <. x ,  0R >.  <-> 
0R  <R  x )
1713breq1i 3852 . . . . 5  |-  ( 0 
<RR  <. y ,  0R >.  <->  <. 0R ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >. )
18 ltresr 7376 . . . . 5  |-  ( <. 0R ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  <->  0R  <R  y )
1917, 18bitri 182 . . . 4  |-  ( 0 
<RR  <. y ,  0R >.  <-> 
0R  <R  y )
20 mulgt0sr 7323 . . . 4  |-  ( ( 0R  <R  x  /\  0R  <R  y )  ->  0R  <R  ( x  .R  y ) )
2116, 19, 20syl2anb 285 . . 3  |-  ( ( 0  <RR  <. x ,  0R >.  /\  0  <RR  <. y ,  0R >. )  ->  0R  <R  ( x  .R  y
) )
2213a1i 9 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  ->  0  =  <. 0R ,  0R >. )
23 mulresr 7375 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  ->  ( <. x ,  0R >.  x.  <. y ,  0R >. )  =  <. (
x  .R  y ) ,  0R >. )
2422, 23breq12d 3858 . . . 4  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  ->  ( 0  <RR  ( <.
x ,  0R >.  x. 
<. y ,  0R >. )  <->  <. 0R ,  0R >.  <RR  <. ( x  .R  y
) ,  0R >. ) )
25 ltresr 7376 . . . 4  |-  ( <. 0R ,  0R >.  <RR  <. (
x  .R  y ) ,  0R >.  <->  0R  <R  ( x  .R  y ) )
2624, 25syl6bb 194 . . 3  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  ->  ( 0  <RR  ( <.
x ,  0R >.  x. 
<. y ,  0R >. )  <-> 
0R  <R  ( x  .R  y ) ) )
2721, 26syl5ibr 154 . 2  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  ->  ( ( 0  <RR  <.
x ,  0R >.  /\  0  <RR  <. y ,  0R >. )  ->  0  <RR  (
<. x ,  0R >.  x. 
<. y ,  0R >. ) ) )
281, 2, 7, 12, 272gencl 2652 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( 0  <RR  A  /\  0  <RR  B )  ->  0  <RR  ( A  x.  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1289    e. wcel 1438   <.cop 3449   class class class wbr 3845  (class class class)co 5652   R.cnr 6856   0Rc0r 6857    .R cmr 6861    <R cltr 6862   RRcr 7349   0cc0 7350    <RR cltrr 7354    x. cmul 7355
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-eprel 4116  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-irdg 6135  df-1o 6181  df-2o 6182  df-oadd 6185  df-omul 6186  df-er 6292  df-ec 6294  df-qs 6298  df-ni 6863  df-pli 6864  df-mi 6865  df-lti 6866  df-plpq 6903  df-mpq 6904  df-enq 6906  df-nqqs 6907  df-plqqs 6908  df-mqqs 6909  df-1nqqs 6910  df-rq 6911  df-ltnqqs 6912  df-enq0 6983  df-nq0 6984  df-0nq0 6985  df-plq0 6986  df-mq0 6987  df-inp 7025  df-i1p 7026  df-iplp 7027  df-imp 7028  df-iltp 7029  df-enr 7272  df-nr 7273  df-plr 7274  df-mr 7275  df-ltr 7276  df-0r 7277  df-m1r 7279  df-c 7356  df-0 7357  df-r 7360  df-mul 7362  df-lt 7363
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator