Theorem axpre-mulgt0 7886

Description: The product of two positive reals is positive. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-mulgt0 7928. (Contributed by NM, 13-May-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axpre-mulgt0	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( 0 <RR A /\ 0 <RR B ) -> 0 <RR ( A x. B ) ) )

Proof of Theorem axpre-mulgt0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 7827	. 2 |- ( A e. RR <-> E. x e. R. <. x , 0R >. = A )
2		elreal 7827	. 2 |- ( B e. RR <-> E. y e. R. <. y , 0R >. = B )
3		breq2 4008	. . . 4 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( 0 <RR <. x , 0R >. <-> 0 <RR A ) )
4	3	anbi1d 465	. . 3 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( ( 0 <RR <. x , 0R >. /\ 0 <RR <. y , 0R >. ) <-> ( 0 <RR A /\ 0 <RR <. y , 0R >. ) ) )
5		oveq1 5882	. . . 4 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( <. x , 0R >. x. <. y , 0R >. ) = ( A x. <. y , 0R >. ) )
6	5	breq2d 4016	. . 3 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( 0 <RR ( <. x , 0R >. x. <. y , 0R >. ) <-> 0 <RR ( A x. <. y , 0R >. ) ) )
7	4, 6	imbi12d 234	. 2 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( ( ( 0 <RR <. x , 0R >. /\ 0 <RR <. y , 0R >. ) -> 0 <RR ( <. x , 0R >. x. <. y , 0R >. ) ) <-> ( ( 0 <RR A /\ 0 <RR <. y , 0R >. ) -> 0 <RR ( A x. <. y , 0R >. ) ) ) )
8		breq2 4008	. . . 4 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( 0 <RR <. y , 0R >. <-> 0 <RR B ) )
9	8	anbi2d 464	. . 3 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( ( 0 <RR A /\ 0 <RR <. y , 0R >. ) <-> ( 0 <RR A /\ 0 <RR B ) ) )
10		oveq2 5883	. . . 4 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( A x. <. y , 0R >. ) = ( A x. B ) )
11	10	breq2d 4016	. . 3 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( 0 <RR ( A x. <. y , 0R >. ) <-> 0 <RR ( A x. B ) ) )
12	9, 11	imbi12d 234	. 2 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( ( ( 0 <RR A /\ 0 <RR <. y , 0R >. ) -> 0 <RR ( A x. <. y , 0R >. ) ) <-> ( ( 0 <RR A /\ 0 <RR B ) -> 0 <RR ( A x. B ) ) ) )
13		df-0 7818	. . . . . 6 |- 0 = <. 0R , 0R >.
14	13	breq1i 4011	. . . . 5 |- ( 0 <RR <. x , 0R >. <-> <. 0R , 0R >. <RR <. x , 0R >. )
15		ltresr 7838	. . . . 5 |- ( <. 0R , 0R >. <RR <. x , 0R >. <-> 0R <R x )
16	14, 15	bitri 184	. . . 4 |- ( 0 <RR <. x , 0R >. <-> 0R <R x )
17	13	breq1i 4011	. . . . 5 |- ( 0 <RR <. y , 0R >. <-> <. 0R , 0R >. <RR <. y , 0R >. )
18		ltresr 7838	. . . . 5 |- ( <. 0R , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> 0R <R y )
19	17, 18	bitri 184	. . . 4 |- ( 0 <RR <. y , 0R >. <-> 0R <R y )
20		mulgt0sr 7777	. . . 4 |- ( ( 0R <R x /\ 0R <R y ) -> 0R <R ( x .R y ) )
21	16, 19, 20	syl2anb 291	. . 3 |- ( ( 0 <RR <. x , 0R >. /\ 0 <RR <. y , 0R >. ) -> 0R <R ( x .R y ) )
22	13	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. ) -> 0 = <. 0R , 0R >. )
23		mulresr 7837	. . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. ) -> ( <. x , 0R >. x. <. y , 0R >. ) = <. ( x .R y ) , 0R >. )
24	22, 23	breq12d 4017	. . . 4 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. ) -> ( 0 <RR ( <. x , 0R >. x. <. y , 0R >. ) <-> <. 0R , 0R >. <RR <. ( x .R y ) , 0R >. ) )
25		ltresr 7838	. . . 4 |- ( <. 0R , 0R >. <RR <. ( x .R y ) , 0R >. <-> 0R <R ( x .R y ) )
26	24, 25	bitrdi 196	. . 3 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. ) -> ( 0 <RR ( <. x , 0R >. x. <. y , 0R >. ) <-> 0R <R ( x .R y ) ) )
27	21, 26	imbitrrid 156	. 2 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. ) -> ( ( 0 <RR <. x , 0R >. /\ 0 <RR <. y , 0R >. ) -> 0 <RR ( <. x , 0R >. x. <. y , 0R >. ) ) )
28	1, 2, 7, 12, 27	2gencl 2771	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( 0 <RR A /\ 0 <RR B ) -> 0 <RR ( A x. B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   <.cop 3596   class class class wbr 4004  (class class class)co 5875   R.cnr 7296   0Rc0r 7297   .R cmr 7301   <R cltr 7302   RRcr 7810   0cc0 7811   <RR cltrr 7815   x. cmul 7816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-eprel 4290  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-1o 6417  df-2o 6418  df-oadd 6421  df-omul 6422  df-er 6535  df-ec 6537  df-qs 6541  df-ni 7303  df-pli 7304  df-mi 7305  df-lti 7306  df-plpq 7343  df-mpq 7344  df-enq 7346  df-nqqs 7347  df-plqqs 7348  df-mqqs 7349  df-1nqqs 7350  df-rq 7351  df-ltnqqs 7352  df-enq0 7423  df-nq0 7424  df-0nq0 7425  df-plq0 7426  df-mq0 7427  df-inp 7465  df-i1p 7466  df-iplp 7467  df-imp 7468  df-iltp 7469  df-enr 7725  df-nr 7726  df-plr 7727  df-mr 7728  df-ltr 7729  df-0r 7730  df-m1r 7732  df-c 7817  df-0 7818  df-r 7821  df-mul 7823  df-lt 7824

This theorem is referenced by: (None)