Theorem axpre-mulgt0 7688

Description: The product of two positive reals is positive. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-mulgt0 7730. (Contributed by NM, 13-May-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axpre-mulgt0	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( 0 <RR A /\ 0 <RR B ) -> 0 <RR ( A x. B ) ) )

Proof of Theorem axpre-mulgt0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 7629	. 2 |- ( A e. RR <-> E. x e. R. <. x , 0R >. = A )
2		elreal 7629	. 2 |- ( B e. RR <-> E. y e. R. <. y , 0R >. = B )
3		breq2 3928	. . . 4 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( 0 <RR <. x , 0R >. <-> 0 <RR A ) )
4	3	anbi1d 460	. . 3 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( ( 0 <RR <. x , 0R >. /\ 0 <RR <. y , 0R >. ) <-> ( 0 <RR A /\ 0 <RR <. y , 0R >. ) ) )
5		oveq1 5774	. . . 4 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( <. x , 0R >. x. <. y , 0R >. ) = ( A x. <. y , 0R >. ) )
6	5	breq2d 3936	. . 3 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( 0 <RR ( <. x , 0R >. x. <. y , 0R >. ) <-> 0 <RR ( A x. <. y , 0R >. ) ) )
7	4, 6	imbi12d 233	. 2 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( ( ( 0 <RR <. x , 0R >. /\ 0 <RR <. y , 0R >. ) -> 0 <RR ( <. x , 0R >. x. <. y , 0R >. ) ) <-> ( ( 0 <RR A /\ 0 <RR <. y , 0R >. ) -> 0 <RR ( A x. <. y , 0R >. ) ) ) )
8		breq2 3928	. . . 4 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( 0 <RR <. y , 0R >. <-> 0 <RR B ) )
9	8	anbi2d 459	. . 3 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( ( 0 <RR A /\ 0 <RR <. y , 0R >. ) <-> ( 0 <RR A /\ 0 <RR B ) ) )
10		oveq2 5775	. . . 4 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( A x. <. y , 0R >. ) = ( A x. B ) )
11	10	breq2d 3936	. . 3 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( 0 <RR ( A x. <. y , 0R >. ) <-> 0 <RR ( A x. B ) ) )
12	9, 11	imbi12d 233	. 2 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( ( ( 0 <RR A /\ 0 <RR <. y , 0R >. ) -> 0 <RR ( A x. <. y , 0R >. ) ) <-> ( ( 0 <RR A /\ 0 <RR B ) -> 0 <RR ( A x. B ) ) ) )
13		df-0 7620	. . . . . 6 |- 0 = <. 0R , 0R >.
14	13	breq1i 3931	. . . . 5 |- ( 0 <RR <. x , 0R >. <-> <. 0R , 0R >. <RR <. x , 0R >. )
15		ltresr 7640	. . . . 5 |- ( <. 0R , 0R >. <RR <. x , 0R >. <-> 0R <R x )
16	14, 15	bitri 183	. . . 4 |- ( 0 <RR <. x , 0R >. <-> 0R <R x )
17	13	breq1i 3931	. . . . 5 |- ( 0 <RR <. y , 0R >. <-> <. 0R , 0R >. <RR <. y , 0R >. )
18		ltresr 7640	. . . . 5 |- ( <. 0R , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> 0R <R y )
19	17, 18	bitri 183	. . . 4 |- ( 0 <RR <. y , 0R >. <-> 0R <R y )
20		mulgt0sr 7579	. . . 4 |- ( ( 0R <R x /\ 0R <R y ) -> 0R <R ( x .R y ) )
21	16, 19, 20	syl2anb 289	. . 3 |- ( ( 0 <RR <. x , 0R >. /\ 0 <RR <. y , 0R >. ) -> 0R <R ( x .R y ) )
22	13	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. ) -> 0 = <. 0R , 0R >. )
23		mulresr 7639	. . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. ) -> ( <. x , 0R >. x. <. y , 0R >. ) = <. ( x .R y ) , 0R >. )
24	22, 23	breq12d 3937	. . . 4 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. ) -> ( 0 <RR ( <. x , 0R >. x. <. y , 0R >. ) <-> <. 0R , 0R >. <RR <. ( x .R y ) , 0R >. ) )
25		ltresr 7640	. . . 4 |- ( <. 0R , 0R >. <RR <. ( x .R y ) , 0R >. <-> 0R <R ( x .R y ) )
26	24, 25	syl6bb 195	. . 3 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. ) -> ( 0 <RR ( <. x , 0R >. x. <. y , 0R >. ) <-> 0R <R ( x .R y ) ) )
27	21, 26	syl5ibr 155	. 2 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. ) -> ( ( 0 <RR <. x , 0R >. /\ 0 <RR <. y , 0R >. ) -> 0 <RR ( <. x , 0R >. x. <. y , 0R >. ) ) )
28	1, 2, 7, 12, 27	2gencl 2714	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( 0 <RR A /\ 0 <RR B ) -> 0 <RR ( A x. B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   <.cop 3525   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767   R.cnr 7098   0Rc0r 7099   .R cmr 7103   <R cltr 7104   RRcr 7612   0cc0 7613   <RR cltrr 7617   x. cmul 7618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-eprel 4206  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-1o 6306  df-2o 6307  df-oadd 6310  df-omul 6311  df-er 6422  df-ec 6424  df-qs 6428  df-ni 7105  df-pli 7106  df-mi 7107  df-lti 7108  df-plpq 7145  df-mpq 7146  df-enq 7148  df-nqqs 7149  df-plqqs 7150  df-mqqs 7151  df-1nqqs 7152  df-rq 7153  df-ltnqqs 7154  df-enq0 7225  df-nq0 7226  df-0nq0 7227  df-plq0 7228  df-mq0 7229  df-inp 7267  df-i1p 7268  df-iplp 7269  df-imp 7270  df-iltp 7271  df-enr 7527  df-nr 7528  df-plr 7529  df-mr 7530  df-ltr 7531  df-0r 7532  df-m1r 7534  df-c 7619  df-0 7620  df-r 7623  df-mul 7625  df-lt 7626

This theorem is referenced by: (None)